五年級華羅庚學校數學課本上冊第六講： 能被30以下質數整除的數的特徵

第六講 能被30以下質數整除的數的特徵

大家知道，一個整數能被2整除，那麼它的個位數能被2整除；反過來也對，也就是一個數的個位數能被2整除，那麼這個數本身能被2整除.因此，我們說「一個數的個位數能被2整除」是「這個數能被2整除」的特徵.在這一講中，我們通過尋求對於某些質數成立的等式來導出能被這些質數整除的數的特徵。 為了敘述方便起見，我們把所討論的數N記為：

我們已學過同餘，用mod2表示除以2取餘數.有公式：

①N≡a0（mod2）

②N≡a1a0（mod4）

③N≡a2a1a0（mod8）

④N≡a3a2a1a0（mod16）

這幾個公式表明一個數被2（4，8，16）整除的特性，而且表明了不能整除時，如何求餘數。

此外，被3（9）整除的數的特徵為：它的各位數字之和可以被3（9）整除.我們借用同餘記號及一些運算性質來重新推證一下.如（mod9），如果，

N=a3a2a1a0=a331000+a23100+a1310+a0

＝a33（999＋1）＋a23（99+1）＋a13（9+1）+a0

＝（a3+a2+a1+a0）+（a33999+a2399+a139），

那麼，等式右邊第二個括弧中的數是9的倍數，從而有

N≡a3＋a2+a1+a0（mod9）

對於mod3，理由相仿，從而有公式：

⑤N≡（?＋a3＋a2＋a1＋a0）（mod9），

N≡（?+a3＋a2＋a1＋a0）（mod3）。

對於被11整除的數，它的特徵為：它的奇位數字之和與偶位數字之和的差（大減小）能被11整除。 先看一例.N=31428576，改寫N為如下形式：

N=6＋7（11-1）＋5（99＋1）＋8（1001-1）＋2（9999＋1）＋4（100001-1）+1（999999+1）+3（10000001-1） =6-7+5-8+2-4+1-3+7311+5399＋831001+239999+43100001+13999999＋3310000001。 由於下面這兩行里，11、99、1001、9999、100001、999999、10000001都是11的倍數，所以 N=6-7＋5-8＋2-4＋1-3（mod11）。

小學生在運算時，碰上「小減大」無法減時，可以從上面N的表達式最後一行中「借用」11的適當倍數（這樣，最後一行仍都是11的倍數），把它加到「小減大」的算式中，這樣就得到：

N≡11＋6-7＋5-8＋2-4＋1-3≡3（mod11）。

現在總結成一般性公式（推理理由與例題相仿）.

則N≡（a0-a1+a2-a3＋a4-a5＋a6-a7+?）（mod11）

或者：

⑥N≡（（a0+a2+a4+?）-（a1+a3+a5+?））（mod11）

（當不夠減時，可添加11的適當倍數）。

因此，一個自然數能被11整除的特徵是：它的奇位數字之和與偶位數字之和的差（大減小）能被11整除。

我們這裡的公式不僅包含整除情況，還包含有餘數的情況。

下面研究被7、11、13整除的數的特徵。

有一關鍵性式子：7311313=1001。

表述為：判定某數能否被7或11或13整除，只要把這個數的末三位與前面隔開，分成兩個獨立的數，取它們的差（大減小），看它是否被7或11或13整除。 此法則可以連續使用。

例：N=31428576.判定N是否被11整除。

因為822不能被11整除，所以N不能被11整除。 例：N＝215332.判定N是否被7、11、13整除。

由於117＝1339，所以117能被13整除，但不能被7、11整除，因此N能被13整除，不能被7、11整除。

此方法的優點在於當判定一個較大的數能否被7或11或13整除時，可用減法把這個大數化為一個至多是三位的數，然後再進行判定。

如N＝987654321.判定N能否被13整除？

而654=50313+4，所以原數不能被13整除.如直接計算，很費力： 987654321=75973409313＋4。

下面研究可否被17、19整除的簡易判別法.回顧對比前面，由等式1001＝7311313的啟發，才有簡捷的「隔位相減判整除性」的方法.對於質數17，我們有下面一些等式： 1736＝102，17359=1003，173588=9996， 1735882=99994，

我們不妨從17359=1003出發。

因此，判定一個數可否被17整除，只要將其末三位與前面隔開，看末三位數與前面隔出數的3倍的差（大減小）是否被17整除。

例：N=31428576，判定N能否被17整除。

而429=25317+4，所以N不能被17整除。 例：N＝2661027能否被17整除？

又935=55317。

所以N可被17整除。

下面來推導被19整除的簡易判別法。 尋找關鍵性式子：19352=988，19353=1007.

因此，判定一個數可否被19整除，只要將其末三位與前面隔開，看末三位與前面隔出數的7倍的差（大減小）是否被19整除。

例：N＝123456789可否被19整除？

又603＝31319+14，所以N不能被19整除。 例：N=6111426可否被19整除？

又57=3319，所以N可被19整除：321654319=6111426。 下面來推導被23、29整除的簡易判別法。

尋找關鍵性式子，隨著質數增大，簡易法應該在N的位數多時起主要作用，現有 233435＝10005，293345=10005， 由此啟發得到一個末四位隔開的方法：

因此，判定一個數可否被23或29整除，只要將其末四位與前面隔開，看末四位與前面隔出數的5倍的差（大減小）是否被23或29整除。 例：N＝6938801能否被23或29整除？

又5336＝233232＝2332938， 所以很快判出N可被23及29整除。

最後，如讀者還想尋找以上數的更簡明判別法，或被31以上質數整除的判別法，都是可以去探索的.把這一節得到的公式簡列於下：