【備戰期末】「三角形」作輔助線方法大全，強烈推薦！
數姐有話
對於初二的同學來說，三角形與全等三角形，才是同學們正式接觸幾何，而在這塊內容中，輔助線又是必不可少的，所以，希望同學們好好學習這塊內容，對於以後學習更難的幾何知識打下基礎！
1在利用三角形的外角大於任何和它不相鄰的內角證明角的不等關係時，如果直接證不出來，可連結兩點或延長某邊，構造三角形，使求證的大角在某個三角形外角的位置上，小角處在內角的位置上，再利用外角定理證題.例：已知D為△ABC內任一點，求證：∠BDC＞∠BAC
證明：
（一）：延長BD交AC於E，
∵∠BDC是△EDC
的外角，
∴∠BDC＞∠DEC
同理：∠DEC＞∠BAC
∴∠BDC＞∠BAC
證法（二）：連結AD，並延長交BC於F
∵∠BDF是△ABD的外角，
∴∠BDF＞∠BAD
同理∠CDF＞∠CAD
∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD
即：∠BDC＞∠BAC
2有角平分線時常在角兩邊截取相等的線段，構造全等三角形.例：已知，如圖，AD為△ABC的中線且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，
求證：BE＋CF＞EF
證明：
在DA上截取DN = DB，連結NE、NF，
則DN= DC
在△BDE和△NDE中，
DN = DB
∠1 = ∠2
ED = ED
∴△BDE≌△NDE
∴BE = NE
同理可證：CF = NF
在△EFN中，EN＋FN＞EF
∴BE＋CF＞EF
3有以線段中點為端點的線段時，常加倍延長此線段構造全等三角形.例：已知，如圖，AD為△ABC的中線，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，求證：BE＋CF＞EF
證明：
延長ED到M，使DM = DE，連結CM、FM
△BDE和△CDM中，
BD = CD
∠1 = ∠5
ED = MD
∴△BDE≌△CDM
∴CM = BE
又∵∠1 = ∠2，∠3 = ∠4
∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180°
∴∠3 ＋∠2 = 90°
即∠EDF = 90°
∴∠FDM = ∠EDF = 90°
△EDF和△MDF中
ED = MD
∠FDM = ∠EDF
DF = DF
∴△EDF≌△MDF
∴EF = MF
∵在△CMF中，CF＋CM ＞MF
BE＋CF＞EF
（此題也可加倍FD，證法同上）
4在三角形中有中線時，常加倍延長中線構造全等三角形.例：已知，如圖，AD為△ABC的中線，求證：AB＋AC＞2AD
證明：
延長AD至E，使DE = AD，連結BE
∵AD為△ABC的中線
∴BD = CD
在△ACD和△EBD中
BD = CD
∠1 = ∠2
AD = ED
∴△ACD≌△EBD
∵△ABE中有AB＋BE＞AE
∴AB＋AC＞2AD
5截長補短作輔助線的方法
截長法：在較長的線段上截取一條線段等於較短線段；
補短法：延長較短線段和較長線段相等.
這兩種方法統稱截長補短法.
當已知或求證中涉及到線段a、b、c、d有下列情況之一時用此種方法：
①a＞b
②a±b = c
③a±b = c±d
例：已知，如圖，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P為AD上任一點，
求證：AB－AC＞PB－PC
證明：
⑴截長法：在AB上截取AN = AC，連結PN
在△APN和△APC中，
AN = AC
∠1 = ∠2
AP = AP
∴△APN≌△APC
∴PC = PN
∵△BPN中有PB－PC＜BN
∴PB－PC＜AB－AC
⑵補短法：延長AC至M，使AM = AB，連結PM
在△ABP和△AMP中
AB = AM
∠1 = ∠2
AP = AP
∴△ABP≌△AMP
∴PB = PM
又∵在△PCM中有CM ＞PM－PC
∴AB－AC＞PB－PC
練習：
1.已知，在△ABC中，∠B = 60°,AD、CE是△ABC的角平分線,並且它們交於點O
求證：AC = AE＋CD
2.已知，如圖，AB∥CD，∠1 = ∠2 ,∠3 = ∠4.
求證：BC = AB＋CD
①觀察要證線段在哪兩個可能全等的三角形中，然後證這兩個三角形全等。
②若圖中沒有全等三角形，可以把求證線段用和它相等的線段代換，再證它們所在的三角形全等.
③如果沒有相等的線段代換，可設法作輔助線構造全等三角形.
例:如圖，已知，BE、CD相交於F，∠B = ∠C，∠1 = ∠2，求證：DF = EF
證明：∵∠ADF =∠B＋∠3
∠AEF = ∠C＋∠4
又∵∠3 = ∠4
∠B = ∠C
∴∠ADF = ∠AEF
在△ADF和△AEF中
∠ADF = ∠AEF
∠1 = ∠2
AF = AF
∴△ADF≌△AEF
∴DF = EF
7在一個圖形中，有多個垂直關係時，常用同角（等角）的餘角相等來證明兩個角相等.例：已知，如圖Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90°，過A作任一條直線AN，作BD⊥AN於D，CE⊥AN於E，求證：DE = BD－CE
證明：
∴∠1＋∠2 = 90o ∠1＋∠3 = 90°
∴∠2 = ∠3
∵BD⊥AN CE⊥AN
∴∠BDA =∠AEC = 90°
在△ABD和△CAE中，
∠BDA =∠AEC
∠2 = ∠3
AB = AC
∴△ABD≌△CAE
∴BD = AE且AD = CE
∴AE－AD = BD－CE
∴DE = BD－CE
8三角形一邊的兩端點到這邊的中線所在的直線的距離相等.例：AD為△ABC的中線，且CF⊥AD於F，BE⊥AD的延長線於E
求證：BE = CF
證明：（略）
例：已知AC = BD，AD⊥AC於A，BCBD於B
求證：AD = BC
證明：分別延長DA、CB交於點E
∵AD⊥AC BC⊥BD
∴∠CAE = ∠DBE = 90°
在△DBE和△CAE中
∠DBE =∠CAE
BD = AC
∠E =∠E
∴△DBE≌△CAE
∴ED = EC，EB = EA
∴ED－EA = EC－ EB
∴AD = BC
10連接四邊形的對角線，把四邊形問題轉化成三角形來解決問題.例：已知，如圖，AB∥CD，AD∥BC
求證：AB = CD
證明：
∵AB∥CD，AD∥BC
∴∠1 = ∠2
在△ABC和△CDA中，
∠1 = ∠2
AC = CA
∠3 = ∠4
∴△ABC≌△CDA
∴AB = CD
練習：
已知，如圖，AB = DC，AD = BC，DE = BF，
求證：BE = DF
例：已知，如圖，在Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90°，∠1 = ∠2 ，CE⊥BD的延長線於E
求證：BD = 2CE
證明：
分別
延長BA、CE交於F
∵BE⊥CF
∴∠BEF =∠BEC = 90°
在△BEF和△BEC中
∠1 = ∠2
BE = BE
∠BEF =∠BEC
∴△BEF≌△BEC
∴CE = FE =1/2CF
∵∠BAC = 90° , BE⊥CF
∴∠BAC = ∠CAF = 90°
∠1＋∠BDA = 90°
∠1＋∠BFC = 90°
∠BDA = ∠BFC
在△ABD和△ACF中
∠BAC = ∠CAF
∠BDA = ∠BFC
AB = AC
∴△ABD≌△ACF
∴BD = CF
∴BD = 2CE
練習：
已知，如圖，∠ACB = 3∠B，∠1 =∠2,CD⊥AD於D，
求證：AB－AC = 2CD
例：已知，如圖，AC、BD相交於O，且AB = DC，AC = BD，
求證：∠A = ∠D
證明：（連結BC，過程略）
例：已知，如圖，AB = DC，∠A = ∠D
求證：∠ABC = ∠DCB
證明：分別取AD、BC中點N、M，
連結NB、NM、NC（過程略）
例：已知，如圖，∠1 = ∠2 ，P為BN上一點，且PD⊥BC於D，AB＋BC = 2BD，
求證：∠BAP＋∠BCP = 180°
證明：過P作PE⊥BA於E
∵PD⊥BC，∠1 = ∠2
∴PE = PD
在Rt△BPE和Rt△BPD中
BP = BP
PE = PD
∴Rt△BPE≌Rt△BPD
∴BE = BD
∵AB＋BC = 2BD，BC = CD＋BD，AB = BE－AE
∴AE = CD
∵PE⊥BE，PD⊥BC
∠PEB =∠PDC = 90°
在△PEA和△PDC中
PE = PD
∠PEB =∠PDC
AE =CD
∴△PEA≌△PDC
∴∠PCB = ∠EAP
∵∠BAP＋∠EAP = 180°
∴∠BAP＋∠BCP = 180°
練習：
1.已知，如圖，PA、PC分別是△ABC外角∠MAC與∠NCA的平分線，它們交於P，PD⊥BM於M，PF⊥BN於F，求證：BP為∠MBN的平分線
2. 已知，如圖，在△ABC中，∠ABC =100o，∠ACB = 20°，CE是∠ACB的平分線，D是AC上一點，若∠CBD = 20°，求∠CED的度數。
⑴作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線
例：已知，如圖，AB = AC，BD⊥AC於D，
求證：∠BAC = 2∠DBC
證明：
（方法一）作∠BAC的平分線AE，交BC於E，則∠1 = ∠2 = 1/2∠BAC
又∵AB = AC
∴AE⊥BC
∴∠2＋∠ACB = 90°
∵BD⊥AC
∴∠DBC＋∠ACB = 90°
∴∠2 = ∠DBC
∴∠BAC = 2∠DBC
（方法二）過A作AE⊥BC於E（過程略）
（方法三）取BC中點E，連結AE（過程略）
⑵有底邊中點時，常作底邊中線
例：已知，如圖，△ABC中，AB = AC，D為BC中點，DE⊥AB於E，DF⊥AC於F，
求證：DE = DF
證明：連結AD.
∵D為BC中點，
∴BD = CD
又∵AB =AC
∴AD平分∠BAC
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE = DF
⑶將腰延長一倍，構造直角三角形解題
例：已知，如圖，△ABC中，AB = AC，在BA延長線和AC上各取一點E、F，使AE = AF，求證：EF⊥BC
證明：延長BE到N，使AN = AB,連結CN,則AB = AN = AC
∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC
∵∠B＋∠ACB＋∠ACN＋∠ANC = 180°
∴2∠BCA＋2∠ACN = 180°
∴∠BCA＋∠ACN = 90°
即∠BCN = 90°
∴NC⊥BC
∵AE = AF
∴∠AEF = ∠AFE
又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE
∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC
∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC
∴∠AEF = ∠ANC
∴EF∥NC
∴EF⊥BC
⑷常過一腰上的某一已知點做另一腰的平行線
例：已知，如圖，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延長線上，且BD = CE，連結DE交BC於F
求證：DF = EF
證明：（證法一）
過D作DN∥AE，交BC於N，則∠DNB = ∠ACB，∠NDE = ∠E，
∵AB = AC，
∴∠B = ∠ACB
∴∠B =∠DNB
∴BD = DN
又∵BD = CE
∴DN = EC
在△DNF和△ECF中
∠1 = ∠2
∠NDF =∠E
DN = EC
∴△DNF≌△ECF
∴DF = EF
（證法二）
⑸常過一腰上的某一已知點做底的平行線
例：已知，如圖，△ABC中，AB =AC，E在AC上，D在BA延長線上，且AD = AE，連結DE
求證：DE⊥BC
證明：（證法一）過點E作EF∥BC交AB於F，則
∠AFE =∠B
∠AEF =∠C
∵AB = AC
∴∠B =∠C
∴∠AFE =∠AEF
∵AD = AE
∴∠AED =∠ADE
又∵∠AFE＋∠AEF＋∠AED＋∠ADE = 180o
∴2∠AEF＋2∠AED = 90o
即∠FED = 90o
∴DE⊥FE
又∵EF∥BC
∴DE⊥BC
（證法二）過點D作DN∥BC交CA的延長線於N，（過程略）
（證法三）過點A作AM∥BC交DE於M，（過程略）
⑹常將等腰三角形轉化成特殊的等腰三角形------等邊三角形
例：已知，如圖，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 80o ,P為形內一點，若∠PBC = 10o ∠PCB = 30o 求∠PAB的度數.
解法一：以AB為一邊作等邊三角形，連結CE
則∠BAE =∠ABE = 60o
AE = AB = BE
∵AB = AC
∴AE = AC ∠ABC =∠ACB
∴∠AEC =∠ACE
∵∠EAC =∠BAC－∠BAE
= 80°－60° = 20°
∴∠ACE = 1/2(180°－∠EAC)= 80°
∵∠ACB= 1/2(180°－∠BAC)= 50°
∴∠BCE =∠ACE－∠ACB
= 80°－50° = 30°
∵∠PCB = 30°
∴∠PCB = ∠BCE
∵∠ABC =∠ACB = 50°, ∠ABE = 60°
∴∠EBC =∠ABE－∠ABC = 60°－50° =10°
∵∠PBC = 10°
∴∠PBC = ∠EBC
在△PBC和△EBC中
∠PBC = ∠EBC
BC = BC
∠PCB = ∠BCE
∴△PBC≌△EBC
∴BP = BE
∵AB = BE
∴AB = BP
∴∠BAP =∠BPA
∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50°－10° = 40°
∴∠PAB = 1/2(180°－∠ABP)= 70°
解法二：
以AC為一邊作等邊三角形，證法同一。
解法三：
以BC為一邊作等邊三角形△BCE，連結AE,則
EB = EC = BC，∠BEC =∠EBC = 60o
∵EB = EC
∴E在BC的中垂線上
同理A在BC的中垂線上
∴EA所在的直線是BC的中垂線
∴EA⊥BC
∠AEB = 1/2∠BEC = 30° =∠PCB
由解法一知：∠ABC = 50°
∴∠ABE = ∠EBC－∠ABC = 10°=∠PBC
∵∠ABE =∠PBC,BE = BC,∠AEB =∠PCB
∴△ABE≌△PBC
∴AB = BP
∴∠BAP =∠BPA
∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50°－10°= 40°
∴∠PAB = 1/2(180o－∠ABP) = 1/2(180°－40°)= 70°
16有二倍角時常用的輔助線⑴構造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角
例：
已知，如圖，在△ABC中，∠1 = ∠2，∠ABC = 2∠C，
求證：AB＋BD = AC
證明：延長AB到E，使BE = BD，連結DE
則∠BED = ∠BDE
∵∠ABD =∠E＋∠BDE
∴∠ABC =2∠E
∵∠ABC = 2∠C
∴∠E = ∠C
在△AED和△ACD中
∠E = ∠C
∠1 = ∠2
AD = AD
∴△AED≌△ACD
∴AC = AE
∵AE = AB＋BE
∴AC = AB＋BE
即AB＋BD = AC
⑵平分二倍角
例：已知，如圖，在△ABC中，BD⊥AC於D，∠BAC = 2∠DBC
求證：∠ABC = ∠ACB
證明：作∠BAC的平分線AE交BC於E，則∠BAE = ∠CAE = ∠DBC
∵BD⊥AC
∴∠CBD ＋∠C = 90o
∴∠CAE＋∠C= 90o
∵∠AEC= 180o－∠CAE－∠C= 90o
∴AE⊥BC
∴∠ABC＋∠BAE = 90o
∵∠CAE＋∠C= 90o
∠BAE = ∠CAE
∴∠ABC = ∠ACB
⑶加倍小角
例：已知，如圖，在△ABC中，BD⊥AC於D，∠BAC = 2∠DBC
求證：∠ABC = ∠ACB
證明：作∠FBD =∠DBC,BF交AC於F（過程略）
17有垂直平分線時常把垂直平分線上的點與線段兩端點連結起來.例：已知，如圖，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120o，EF為AB的垂直平分線，EF交BC於F，交AB於E
求證：BF =1/2FC
證明：連結AF，則AF = BF
∴∠B =∠FAB
∵AB = AC
∴∠B =∠C
∵∠BAC = 120o
∴∠B =∠C∠BAC =1/2(180°－∠BAC) = 30°
∴∠FAB = 30°
∴∠FAC =∠BAC－∠FAB = 120°－30° =90°
又∵∠C = 30°
∴AF = 1/2FC
∴BF =1/2FC
練習：
已知，如圖，在△ABC中，∠CAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交於點D，DM⊥AB於M，DN⊥AC延長線於N
求證：BM = CN
例：已知，如圖，在△ABC中，∠B =2∠C，AD⊥BC於D
求證：CD = AB＋BD
證明：
（一）在CD上截取DE = DB，連結AE，則AB = AE
∴∠B =∠AEB
∵∠B = 2∠C
∴∠AEB = 2∠C
又∵∠AEB = ∠C＋∠EAC
∴∠C =∠EAC
∴AE = CE
又∵CD = DE＋CE
∴CD = BD＋AB
（二）延長CB到F，使DF = DC，連結AF則AF =AC（過程略）
例：已知，如圖，在△ABC中，BC = 2AB, ∠ABC = 2∠C,BD = CD
求證：△ABC為直角三角形
證明：過D作DE⊥BC，交AC於E，連結BE，則BE = CE，
∴∠C =∠EBC
∵∠ABC = 2∠C
∴∠ABE =∠EBC
∵BC = 2AB，BD = CD
∴BD = AB
在△ABE和△DBE中
AB = BD
∠ABE =∠EBC
BE = BE
∴△ABE≌△DBE
∴∠BAE = ∠BDE
∵∠BDE = 90°
∴∠BAE = 90°
即△ABC為直角三角形
20當涉及到線段平方的關係式時常構造直角三角形，利用勾股定理證題.例：已知，如圖，在△ABC中，∠A = 90°，DE為BC的垂直平分線
求證：BE2－AE2 = AC2
證明：連結CE，則BE = CE
∵∠A = 90°
∴AE2＋AC2 = EC2
∴AE2＋AC2= BE2
∴BE2－AE2 = AC2
練習：
已知，如圖，在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，P為BC上一點
求證：PB2＋PC2= 2PA2
例：已知，如圖，在△ABC中，∠B = 45°，∠C = 30°，AB =根號2，求AC的長.
解：過A作AD⊥BC於D
∴∠B＋∠BAD = 90°，
∵∠B = 45o，∠B = ∠BAD = 45°，
∴AD = BD
∵AB2 = AD2＋BD2，AB =根號2
∴AD = 1
∵∠C = 30°，AD⊥BC
∴AC = 2AD = 2
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