證明哥德巴赫猜想的數學新思想(轉)

證明哥德巴赫猜想的數學新思想

侯紹勝¹，馬麟浚²，黎百恬³，王順慶⁴，秦建民⁵

（1,5安陽市商務局 河南 安陽455000；2,3 中山大學 數學系 廣東 廣州510275;

4, 南京財經大學 金融系 江蘇 南京210042.）

摘 要 哥德巴赫猜想是世界最著名的數學難題. 陳景潤證明了「1+2」，世界數學界認為是「篩法發展的頂峰」，又公認用目前方法的改進不能證明猜想A，並且期待以新的思想研究猜想A.本文證明了猜想A成立的充要條件，揭示了猜想A是17個猜想的混合體，全部合數可以劃分為16類，給出了證明猜想A全新的數學思想。

關鍵詞哥德巴赫猜想；猜想A成立的充要條件；16類合數；證明猜想A的新思想

1 前言

眾所周知，1742年德國數學家哥德巴赫（Goldbach）在致世界大數學家歐拉的信中提出了兩個猜想，用略為修改過的語言，這兩個猜想可表述如下：

A：任何一個不小於6的偶數都是兩個奇素數之和，（即「1+1」）.

B：任何一個不小於9的奇數都是3個奇素數之和.

這就是著名的哥德巴赫猜想. 歐拉表示相信猜想是對的，但他不能給出證明. 容易證明，B是A的推論，所以猜想A是最基本的. 有人對3×10ˇ6以內的每一個偶數一一進行驗算，都說明猜想A是成立的.

1742年到1920年，除了用具體偶數驗證猜想外，沒有任何進展. 1920年仆朗（V. Brun）改進了埃氏篩法，用於猜想的研究. 然後有許多人參與：…，1963年，王元、潘承洞、巴爾巴恩都證明了「1＋4」.1965年阿·維諾格拉朵夫、布赫夕塔布與義大利數學家朋比尼證明了「1＋3」. 1966年,陳景潤證明了「1＋2」. 他證明了，任何一個充分大的偶數，都可以表示為兩個數之和，其中一個是素數，另一個或為素數，或為兩個素數的乘積. 「1+2」被稱為「陳氏定理」，並認為是「篩法發展的頂峰」. 世界數學界公認，用目前方法的改進是不可能證明猜想A的，要想證明猜想A，必須有一個全新的數學思想.中科院的4位院士： 陳景潤，王元，潘承洞，楊樂曾經召開新聞發布會，公開告誡人們不要試圖證明哥德巴赫猜想了，因為沒有證明它的數學思想，在幾十年，幾百年，甚至上千年都不可能證明猜想A。

1900年，德國數學家希爾伯特在巴黎召開的第二屆國際數學大會的演講中，把哥德巴赫猜想看成是以往遺留的最重要的問題之一，介紹給20世紀的數學家來解決. 1912年在劍橋召開的第五屆國際數學大會上，德國數學家蘭島在他的演說中，將猜想A作為素數論中

四個未解決的難題之一加以推薦. 1921年，英國數學家哈代在歌本哈根召開的數學大會上說作者簡介：侯紹勝(-)，男，1945年生，河南省浚縣人。1970年蘭州大學現代物理系畢業，當過20年數學教師，此後直到退休從事公務員工作。1977年開始研究哥德巴赫猜想和費爾馬最後猜想。發表過4篇數學論文，2006年出版《哥德巴赫猜想的證明·費爾馬最後猜想的證明》，2009年該書英文版出版。

過，猜想A的困難程度是可以和任何沒有解決的數學問題相比擬的. 因此，哥德巴赫猜想

不僅是數論，也是整個數學中最著名與最困難的問題之一.

2000年3月，英國費伯出版社和美國布盧姆斯伯里出版社聯合懸賞100萬美元向全世界征解，但至今無人能證明猜想.

事實充分說明，從1742年到現在根本沒有找到證明猜想的正確數學思想！由此可知，沒有正確的數學思想是不能證明哥德巴赫猜想的根本原因！雖然有了「1+2」的陳氏定理，但是陳氏定理沒有回答從6到充分大的區間內「1+2」是否成立？「1+2」至今46年了，現在仍有許多人在試圖改進埃氏篩法，也有人試圖改進「1+2」篩法，但是都沒有收穫.

過去270年不能證明猜想A的根本原因是沒有正確的數學思想. 沒有正確數學理論指導的數學實踐是盲動，理所當然不會成功. 實踐已經對過去270年的理論和方法作出了總結：其理論不能為證明猜想A提供任何理論基礎，其方法不能為證明猜想A提供任何幫助.

270年的實踐告訴我們，要想證明猜想A，必須從0開始，從頭開始，從尋找證明猜想A的新的數學思想開始！那麼，正確的數學思想和方法在哪裡？難道真的要等上千年嗎？難道正確的數學思想要否定此前經典的數學理論嗎？當然不會！新理論必須既符合此前已有的經典理論和方法，同時必須有新發現，和對新發現的理論概括，並且由此帶來新的理論突破和新的方法突破. 那麼，全新的數學思想在哪裡？這正是本文要回答的問題。

2 猜想A成立的充要條件定理，證明猜想A的新思想（思路）

1 猜想A成立的充要條件定理

定理 2n=p(1)+p(2)，（3≤n∈N，p(1),p(2)為奇素數），成立的充要條件是存在非負整數△，使n+△, n-△均為奇素數.

證明 猜想A用數學表達式表示就是2n=p(1)+p(2)，（3≤n∈N，p(1),p(2)為奇素數）.

（1）當n是奇素數時，△=0，上述定理成立.

（2）當n不是奇素數時，證明如下：

充分性明顯成立，故不證，下證必要性.

∵2n=p(1)+p(2)，∴n={p(1)+p(2)}÷2.

∴p(2) －n=p(2)－{p(1)+p(2)}÷2= p(2)= {p(2)－p(1)}÷2. (這裡不妨設p(2)＞p(1)).

∴n+{p(2)－p(1)}÷2=p(2). (1)

又n －p(1)= {p(2)+p(1)}÷2－p(1)= {p(2)－p(1)}÷2,

∴n－{p(2)－p(1)}÷2=p(1). (2)

令 △={p(2)－p(1)}÷2，代入（1）、（2）得：

n－△=p(1), n+△=p(2).

證畢.

2 證明猜想A成立的新思想，必要條件不能違背

猜想A成立的充要條件定理為證明「哥德巴赫猜想」指明了方向：n是素數時，猜想顯然成立，無須證明；所以欲證明「猜想A」，只要證明n≥3為非奇素數時，即n為一切奇合數和一切偶數時，都存在整數△＞0，使n±△均為奇素數就足夠了.

這就是證明猜想A的新思想，或者說是證明猜想A的根本數學思想，整體思想.這個數學思想和做法，與「9+9」到「1+2」的數學思想和做法沒有任何共同之處，所以它是證明猜想A的新思想。

這樣的證明，既滿足了充分條件，又符合必要條件，我們做了必須做的工作，又沒有多做任何工作（例如，n是素數時的證明），完全符合傳統的數學經典理論。

這裡我們要強調指出：必要條件是不能違背（迴避）的！上面的充要條件定理告訴我們，猜想A成立的充分條件和必要條件是同一個條件：n－△, n+△均為奇素數.在你違背（迴避）必要條件的同時，你已經違背（迴避）了充分條件，違背了充分條件，又能證明猜想A，這還不是天大的邏輯錯誤嗎？！眾多研究者，竟然試圖在違背（迴避）必要條件的情況下，證明猜想A，這是他們不能證明猜想A的根本原因！

上面已經給出了證明猜想A的整體思想.這裡我們還要說，僅僅有了證明猜想A的整體思想還是不夠的，還必須解決落實整體思想的許多問題，才能夠證明猜想A。這是下面要回答的問題。

3 10個奇合數公式，猜想A是17個猜想的混合體

1 10個奇合數公式

2002年，侯紹勝和王順慶發表了《奇合數的分解公式、素數的分布及一個新篩法》. 題目清楚地告訴大家，論文要解決3個問題：奇合數的分解公式、素數的分布及一個新篩法.

《奇合數的分解公式》證明了：個位數是1，3，7，9的任何一個合數僅僅是10個函數式的值. 而且這10個函數公式已經具體化,這10個公式如下：

f(1)(x,y)=(10x+3)(10y+7), f(2)(x,y)=(10x+9)(10y+9),

f(3)(x,y)=(10x+11)(10y+11); f(4)(x,y)=(10x+3)(10y+11),

f(5)(x,y)=(10x+7)(10y+9); f(6)(x,y)=(10x+3)(10y+9),

f(7)(x,y)=(10x+7)(10y+11), f(8)(x,y)=(10x+3)(10y+3),

f(9)(x,y)=(10x+7)(10y+7), f(10)(x,y)=(10x+9)(10y+11).

其中x,y∈N,f(i)(x,y)簡記為f(i)，設F(i) =﹛f(i)﹜， i=1,2,…,10.

眾所周知，除了2,5這兩個數之外，個位數是0,2,4,5,6,8的全部整數都是合數。但是，個位數是1,3,7,9的整數，其中有合數，也有素數。10個公式將其中的合數全部分離出來了，這就是10個公式的重大作用。

有人會問：為什麼不把個位數是5的合數公式總結進去？由於個位數是5的合數公式(f(11)(x)=10x+15，x∈N)是很容易寫出來的. 對於素數和合數的判斷來說，有了10個公式就夠了. 個位數是2，5的全部正整數中，除了2，5是素數之外，其餘全部是合數. 這是侯紹勝和王順慶不將（f(11)(x)=10x+15，x∈N）與10個公式排列在一起的根本原因.

上面的10個公式就是侯紹勝證明哥德巴赫猜想的突破口和主要理論基礎.

2 16類合數，猜想A是17個猜想的混合體

上面的11個公式第一次明確了任何一個奇合數都是它們的函數值. 11個公式，代表了11類正整數，再加上個位數是0，2，4，6，8的正整數，這樣我們就知道不小於3的全部合數可以劃分為16類.全部素數算作1類整數，於是不小於3的全部整數n可以劃分為17類. 由此可知，哥德巴赫猜想是由17個猜想混合組成的！

這是一個重大發現，這個發現從根本上改變了研究哥德巴赫猜想的歷史！這個發現為我們應用軍事思想—先將敵人分割包圍，然後集中兵力各個殲滅，—奠定了基礎.《哥德巴赫猜想的證明》（侯紹勝著）就是按照這個思路完成的.

個位數是0，2，4，6，8的正整數n,其結構與f(11)(x)=10x+15類似，使用時再逐一給出.

前面已經說過，n是素數時猜想A明顯成立，無需證明。因此只需要對16類合數n逐個給出證明。

16類合數的劃分，使研究工作能夠一類一類的集中力量進行，這就是將敵人分割包圍，然後集中兵力殲滅之.在對某一類合數n證明時，拋開了（避開了）其他所有合數和素數的干擾，使問題變得相對具體和單一，便於針對這一類n的特點給出相應的△. 實現了從不可行到可行的根本轉變.現在，只要對這16類合數n，分別給出16類Δ，並且證明n±Δ均為奇素數就足夠了.

3 17個猜想，只需要4個具體的證明

上面把合數n劃分為16類，並且說能夠逐一集中力量進行證明。難道要給出16個證明嗎？不是的！只要給出4個具體的證明就可以了。為什麼？請看10個公式，這10個公式其實可以分成兩大類:個位數是3和7的公式各有2個，只要證明了f(4)(x,y)這一類，按照同理可證的數學思想, f(5)(x,y)可以同理證明，但是實際上不去證明。個位數是7的兩個公式，其結構與個位數是3的兩個公式類似，可以不再證明.

個位數是1和9的公式各有3個，只要證明其中的一個就可以了，其餘同理可證，實際省略證明。

所以對10個公式，我們只需要2個具體的證明。對個位數是5或者是偶數的合數n，同樣可以劃分成兩大類型，只給出2個具體的證明.這樣我們就可以通過4個具體的證明，全面證明了猜想A.

1977年，侯紹勝證明了猜想A成立的充要條件定理. 根據充要條件定理，必須證明每一個不小於3的整數n，都存在一個非負整數△，使n±△都是素數. 我們知道不小於3的整數n有無限多個，顯然地，如果不能將這無限多個n歸納成有限個類型，對每一個具體的n都找到一個非負整數△，再證明n±Δ均為奇素數是不可能的，侯紹勝為有無窮多個n所困擾.到2000年，經過24年的思考與積累之後，終於決定反其道而行之，證明了個位數是1，3，7，9的奇合數僅僅是10個函數式的值. 如上所述，有了16類奇合數的劃分之後，終於克服了有無窮多個n的困擾，通過4個具體的證明，就能夠全面證明猜想A..

4 實施新的數學思想需要解決的問題和數論的基本問題

要證明n±Δ均為奇素數，是一個極其困難的任務.

第一個問題是有無窮多個n. 如果不能將無限多個n歸納成有限個類型，對每一個具體的n都找到一個非負整數△，再證明n±Δ均為奇素數是不可能的！上面已經將不小於3的合數n劃分為16類，已經克服了有無限多個n的困難。

後面的任務是針對16類合數n，分別給出16類相應的Δ，並且證明n±Δ均為奇素數就足夠了.

第二個問題是，因為n±Δ均為奇素數，而且n+Δ,n－Δ是關於n為對稱的兩個素數，所以必須證明在[n,2n]區間內必有素數. 這既是n±Δ均為奇素數的必要條件，又是素數分布的一個基本問題. 不證明這個問題，就是沒有證明猜想A.

第三個問題是，在證明n±Δ均為奇素數之前，首先應該證明n+Δ,n－Δ在甚麼情況下是複合數，在甚麼情況下是素數. 這個問題不解決要證明n±Δ均為奇素數是不可能的.

其實，在有了素數和合數的概念之後，就應該回答素數有多少？在證明了素數有無窮多個之後應該進一步回答個位數為1、3、7、9的素數是否各有無窮多個？素數的分布規律是什麼？

在有了合數的概念之後就應該回答合數有多少？合數的分布規律是甚麼？合數的結構有沒有規律？如果有，這個規律是什麼？合數與合數之間有沒有數量規律？如果有，這個規律是什麼？

在有了素數、合數的概念之後，應該研究素數與合數之間有沒有數量轉變規律？如果有，這個規律是什麼？

在有了素數、合數的概念之後，上述問題就應該是數論回答的基本問題，主要問題.這些基本問題主要回答在《奇合數的分解公式、素數的分布及一個新篩法》和《素數與複合數的關係、正整數是素數的條件》兩文之中. 後面還應繼續回答與證明猜想A有關的問題.

上述三大問題，任何一個不解決都不可能證明猜想A. 由此可以知道，猜想A的問題是和數論的基本問題緊密結合在一起的. 在解決三大基本問題之前，要證明猜想A是不可能的.

第四個問題是，在解決了上述三大問題之後，如何證明n±Δ均為奇素數.這是比上述三大問題更複雜的問題.不但要對16類n，分別給出16類Δ，更要創造全新的篩法，證明確實存在Δ，使n±Δ均為奇素數.

上述四大問題，一個比一個更複雜. 任何一個都是若干問題的集合. 任何一個不解決都不能證明猜想. 任何一個問題的解決都是實質性的進展. 解決了全部問題就證明了「1＋1」.

270年以來，全世界的數學家都在說證明「1＋1」難、難、難.但是，難在何處？為什麼難，幾乎從來都沒有說清楚. 上述分析已經清楚的指出，證明「1＋1」，難，難就難在欲證明「1＋1」，必須先回答上述數論的基本問題. 在回答數論的基本問題之前，要證明「1＋1」是不可能的. 研究「1＋1」的數學家，甚至是著名的數學家，或者不知道「1＋1」成立的充要條件，或者知道充要條件，但是卻被充要條件提出的艱巨任務所嚇退. 於是試圖在迴避充要條件的情況下、另闢蹊徑證明「1＋1」，如此說明他們不知道必要條件是不可違背（迴避）的. 這就是他們雖然已經「絞盡腦汁」，但是仍然不能證明「1＋1」的原因.270年的研究經驗和結果同樣告訴我們，要證明「1＋1」，必須解決充要條件提出的所有問題，如此就能證明「1＋1」，不如此，就不能證明 「1＋1」.

參考文獻及聯繫方式同上，略。

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