特殊二位數乘法速算
一、「十位上數字相同，個位上數字互補」的兩個兩位數相乘
如43×47這樣的兩位數乘式，兩個乘數十位上的數字相等（此例都是4），個位上的數字互補（所謂互補，就是其和為10。此例是3和7），這一類兩位數乘法的速算口訣是：十位乘以大一數，個位之積後面拖。就以43×47為例來說明口訣的運用。口訣第一句「十位乘以大一數」的操作是：用4（十位上的數）乘以5（比十位上的數大1的數），得到20。口訣第二句「個位之積後面拖」的操作是：用3乘7得積21，（個位之積）直接寫在20的後面（後面拖），得2021就是答案。需要注意的是當個位數是1和9時，它們的乘積9也是個一位數，在往十位數的乘積後面「拖」的時候，在9的前面要加一個0，即把9看成09。例如91×99，答案不是909而應該是9009。此速演算法的代數證明如下：任意一個兩位數可以用10a＋b來表示，（例如56就是10×5＋6這裡的a是5，b是6）另一個不同的十位數則可以用10c＋d來表示,兩個不同的十位數相乘就可以寫成：（10a＋b）（10c＋d）由於規定的條件是「十位上數字相同」所以上述代數式可以改寫成（10a＋b）（10a＋d），把這個代數式展開如下：（10a＋b）（10a＋d）＝100a2＋10ad＋10ab＋bd ＝100a2＋10a(d＋b) ＋bd由於規定的另一個條件是「個位上數字互補（之和等於10）」，也就是式中的d＋b＝10所以上式可以演化為＝100a2＋100a＋bd ＝100a(a＋1)＋bd這個式子中的a就是「十位上的數字」，而(a＋1)就是「比它大1的數」，它們的乘積再乘以100就是在後面添兩個0罷了。個位數的乘積bd「拖」在後面實際上是加在兩個0位上。這也正是bd＝9時要寫成0 9的道理。適用於此類速演算法的乘式有如下45組：11×19 12×18 13×17 14×16 15×15 21×29 22×28 23×27 24×26 25×2531×39 32×38 33×37 34×36 35×35 41×49 42×48 43×47 44×46 45×4551×59 52×58 53×57 54×56 55×55 61×69 62×68 63×67 64×66 65×6571×79 72×78 73×77 74×76 75×75 81×89 82×88 83×87 84×86 85×8591×99 92×98 93×97 94×96 95×95 速算中遇有小數點時，可先不考慮它，待算出數字後，看兩個乘數中一共有幾位小數點，在答案中點上就是了。例如每斤1.8元的西紅柿，買了1.2斤，該多少錢？1乘2得2，後面拖16（2乘8）得216。點上兩位小數點得2.16元。
二、「十位上數字互補，個位上數字相同」的兩個兩位數相乘
第一種速演算法要求「」而這一類兩位數乘法要求的條件恰恰相反，要求「十位上數字互補，個位上數字相同」。這一類兩位數乘法的速算口訣是：個位加上十位積，個位平方後面接就以47×67為例來說明口訣的運用。用7（「個位」上的數字）加上24（十位上兩個數字的乘積）得31（就是口訣「個位加上十位積」），在31的後面接著寫上49（個位數的平方），得3149就是答案。需要注意的是當個位數的平方也是個一位數時，在 「接」的時候，在其前面要添一個0，即把1看成01；把4看成04；把9看成09。例如23×83，答案不是199而應該是1909。此速演算法的代數證明如下：(10a＋b)(10c＋b)＝100ac＋10ab＋10bc＋b2 ＝100ac＋10b(a＋c) ＋b2因為十位上數字互補，所以式中的a＋c等於10，於是上式演化為 ＝100ac＋100b＋b2 ＝100（ac＋b）這（ac＋b）就是「個位加上十位積」，乘100等於後面添兩個0。式中的「＋b2」就是加上個位數的平方。由於個位數的平方最多也就是兩位數，所以必定是加在兩個0位上，實際效果就是「接」在前面數字的後面。適用於此類速演算法的乘式有如下45組：11×91 21×81 31×71 41×61 51×51 12×92 22×82 32×72 42×62 52×5213×93 23×83 33×73 43×63 53×53 14×94 24×84 34×74 44×64 54×5415×95 25×85 35×75 45×65 55×55 16×96 26×86 36×76 46×66 56×5617×97 27×87 37×77 47×67 57×57 18×98 28×88 38×78 48×68 58×5819×99 29×89 39×79 49×69 59×59其中加黑字體的55×55與第一種速演算法重疊，也就是它既可以適用於第二種速演算法，也適用於第一種速演算法。
三、「十幾乘十幾」
如18×16這樣的乘式，兩個兩位數十位上的數相等而且都是1，但個位上的兩個數字則是任意的（並不要求其互補），這就是「十幾乘十幾」。這一類兩位數乘法的速算口訣是：十幾乘十幾，好做也好記，一數加上另數個，十倍再加個位積以18×16為例來說明口訣的運用。用18（「一數」，即其中的一個數）加上6（另外一個數的個位數，簡稱「另數個」）得24並將其擴大10倍（後面添個0即可）成240，再加上兩個個位數的乘積（6、8得48），所得288就是18×16的答案。當個位數的乘積也是一位數時，由於這個積是加在前面一個已求出的和數擴大10倍後的那個0上的，所以實際上是直接「拖」在那個「和數」的後面就可以了。例如12×13 眼睛一看或是腦子一轉就知道是15（12加3）後面拖一個6（2×3）答案是156了。此速演算法的代數證明如下：（10+a）(10+b)＝100+10a+10b+ab ＝10(10+a+b)+ab括弧中的10+a+b可以看成（10+a）+b或(10+b)+a其中的（10+a）或(10+b)即是兩個乘數中的一個，而所加的b或a就是另一個乘數的個位數，這就是口訣「一數加上另數個」的來由。(10+a+b)的前面還有10相乘，所以第二句口訣一開始就是要求「十倍」，然後「再加個位積」（就是公式中的+ab）。適用於此類速演算法的乘式有如下45組：11×11 11×12 11×13 11×14 11×15 11×16 11×17 11×18 11×1912×12 12×13 12×14 12×15 12×16 12×17 12×18 12×19 13×13 13×14 13×15 13×16 13×17 13×18 13×1914×14 14×15 14×16 14×17 14×18 14×19 15×15 15×16 15×17 15×18 15×19 16×16 16×17 16×18 16×19 17×17 17×18 17×19 18×18 18×19 19×19其中加黑字體的五組與第一種速演算法重疊，也就是這五組乘式既可以適用於第二種速演算法，也適用於第一種速演算法。
四、二十幾乘二十幾
如26×27這樣的乘式，兩個兩位數十位上的數相等而且都是2，但個位上的兩個數字則是任意的（並不要求其互補），這就是「二十幾乘二十幾」。這一類兩位數乘法的速算口訣是：一數加上另數個，廿倍再加個位積以26×27為例來說明口訣的運用。用26加7得33，「廿倍」就是乘2後再添0，所以得660。再加上42（個位上的6乘7）答案是702。當個位數的乘積也是一位數時，由於這個積是加在前面一個已求出的和數擴大20倍後的那個0上的，所以實際上是直接「拖」在那個翻倍後的「和數」的後面就可以了。例如22×23 眼睛一看或是腦子一轉就知道是25（22加3）翻倍後得50，後面拖一個6（2×3）答案是506了。此速演算法的代數證明如下：（20+a）(20+b)＝400+20a+20b+ab ＝20(20+a+b)+ab括弧中的20+a+b可以看成（20+a）+b或(20+b)+a其中的（20+a）或(20+b)即是兩個乘數中的一個，而所加的b或a就是另一個乘數的個位數，這就是口訣「一數加上另數個」的來由。(20+a+b)的前面還有20相乘，所以第二句口訣一開始就是要求「廿倍」，然後「再加個位積」（就是公式中的+ab）。適用於此類速演算法的乘式有如下45組：21×21 21×22 21×23 21×24 21×25 21×26 21×27 21×28 21×29 22×22 22×23 22×24 22×25 22×26 22×27 22×28 22×29 23×23 23×24 23×25 23×26 23×27 23×28 23×29 24×24 24×25 24×26 24×27 24×28 24×29 25×25 25×26 25×27 25×28 25×29 26×26 26×27 26×28 26×29 27×27 27×28 27×29 28×28 28×29 29×29其中加黑字體的五組與第一種速演算法重疊，也就是這五組乘式既可以適用於第三種速演算法，也適用於第一種速演算法，而且是用第一種速演算法更快捷，更不容易出錯。不難看出，「二十幾乘二十幾」的口訣與「十幾乘十幾」的口訣極為相似。所不同的是「十幾乘十幾」速算時，在求出「一數加上另數個」之後，要求「十倍」「再加個位積」，而是「二十幾乘二十幾」是「廿倍（二十倍）」，然後「再加個位積」。實際上，這種方法一直可以適用到「九十幾乘九十幾」。但是「一數加上另數個」之後要乘以9，數字就比較大了，一般人容易出錯。那就真正是「欲速則不達」了。心算底子好的人不妨練慣用此法去做「三十幾乘三十幾」、 「四十幾乘四十幾」……
五、四十幾的平方
所謂「四十幾」，就是十位數是4的兩位數，它的個位數可以是1——9的任意一個數。這樣的數一共有9個，即41、42、43、44、45、46、47、48、49。求它們平方的速算口訣有兩種。方法一的口訣：廿五減去個位補，個補平方後面拖。以求43的平方為例說明口訣的運用。用基數25減去個位數的補數（即減去「個位補」此例的個位數是3，其補數是7）得到差數18後，在後面接著寫上個位數補數的平方（7的平方）49，得到1849就是答案了。當「個位數補數的平方」是個一位數時，在「拖」的時候前面要添一個0。例如求47的平方。個位補是3，被25減得22，個補的平方是9，答案應該是2209而不是229。這9個數字中，求45平方的速演算法與第一種速演算法重疊，也就是45的平方既可以適用於第五種速演算法，也適用於第一種速演算法。此速演算法的代數證明如下：「四十幾」的平方的代數式是（40＋a）2設b是的a補數, 即a＋b＝10 於是a可以用b來表示: a＝10-b 這樣就有：（40＋a）2＝[40＋（10－b）]2 ＝(50－b)2 ＝2500－100b＋b2 ＝100(25－b)＋b2括弧內的25－b就是「廿五減去個位補」，再乘100就是後面添兩個0，b2就是「個補平方」，所謂「後面拖」實際是加在兩個0位上。此方法前後兩句口訣都用個位數的「補數」。方法二的口訣：十五加上個位數，個補平方後面拖同樣以求43的平方為例說明口訣的運用。用15加上個位數3得18，個位數3的補數是7，7的平方是49，把49寫在18後面得1849就是答案了。此速演算法的代數證明如下：方法一已經證明了（40＋a）2＝100(25－b)＋b2現在用10－a 代入括弧中的b就得到（40＋a）2＝100[25－（10－a)]＋b2 ＝100（25－10＋a) ＋b2 ＝100（15＋a）＋b2方法二的兩句口訣就是根據最後100（15＋a）＋b2這個式子來的。此方法的前一句用「個位數」，後一句用「個位數的補數」。各人可根據自己習慣選用方法一或方法二。
六、五十幾的平方
所謂「五十幾」，就是十位數是5的兩位數，它的個位數可以是1——9的任意一個數。這樣的數一共有9個，即51、52、53、54、55、56、57、58、59。求它們平方的速算口訣是：廿五加上個位數，個位平方後面拖。以求58的平方為例說明口訣的運用。用基數25加上個位數8得33，個位數8的平方是64，把64寫在33後面得3364這就是答案了。（此法不用「補數」）此速演算法的代數證明如下：（50＋a）2＝2500 ＋100a＋a2 ＝100（25＋a）＋a2此式與口訣的關係已經是一目了然了。
七、「十位數相差1，個位數互補」的兩位數相乘
如37×43、62×58、81×99這樣的乘式就是「十位數相差1，個位數互補」的兩位數相乘。這類乘式的速算方法也有兩種。方法一的口訣：大十平方減去一，小個添零加個積，前後相接在一起。以求62×58為例說明口訣的運用。因為62比58大，所以把62叫做「大數」，58叫做「小數」。口訣中的「大十」指的是「大數」十位上的數字；「小個」指的是「小數」個位上的數字，而不一定是比較小的那個各位數。如本例中的「小個」是8而不是2，「個積」是指個位數的乘積。用6（「大十」）的平方36減去1得35。再用80（「小個添0」）加上16（「個積」）得96。答案就是3596。此速演算法的代數證明如下：設大數為10a＋b,小數為10c＋d。(10a＋b)(10c＋d) ＝100ac＋10bc＋10ad＋bd因為十位數相差1，b和d互補，所以c＝a－1 ，b＝10－d 以此代入上式得： ＝100a(a－1)＋10（a－1）（10－d）＋10ad＋bd ＝100a2－100a＋10(10a－ad－10＋d)＋10ad＋bd ＝100a2－100a＋100a－10ad－100＋10d＋10ad＋bd ＝100a2－100＋10d＋bd ＝100(a2－1) ＋10d＋bd式中的(a2－1)就是口訣的第一句「大十平方減去一」，乘100是在後面添兩個0，為「前後相接」提供了方便。式中的10d＋bd，就是口訣的第二句「小個添0加個積」。方法二：由於任意兩個兩位數相乘的通式是(10a＋b)(10c＋d),現在的已知條件是十位數相差1，個位數互補，即c＝a－1, d＝10－b 所以(10a＋b)(10c＋d)＝(10a＋b)[10（a－1）＋10－b] ＝(10a＋b)（10a－10＋10－b） ＝(10a＋b)（10a－b） ＝100a2－10ab＋10ab－b2 ＝100a2－b2式中的a和b分別是數值比較大的那個兩位數十位和個位上的數字，上式的意思就是用數值比較大的那個兩位數十位上的數字平方後在後面添兩個0（即乘以100），然後減去個位上數字的平方。例如76×64，十位上的6和7相差1，個位上的6和4互補，符合此速演算法的條件。此題實際上是（70＋6）（70－6）根據方法二，選定76（數值比較大的數），用49（十位數上7的平方）添兩個0，得4900，然後減去36（個位數6的平方）得4864就是答案了。所以方法二就是：用數值比較大的那個兩位數十位上的數字平方後添兩個0（即乘以100），然後減去個位上那個數字的平方。
八、九十幾乘九十幾
九十幾乘九十幾，雖然數字挺大，卻也有速算的辦法。這個命題的代數式是：（90＋a）(90＋b)考慮到九十幾已經接近100了（差一個補數），因此可以利用一下補數。令a的補數是c,b的補數是d, 則有：（90＋a）(90＋b)＝（100－c）(100－d) ＝10000－100c－100d＋cd ＝100(100－c－d)＋cd這個式子表明：九十幾乘九十幾可以這樣來速算：用100減去兩個乘數個位數的補數，再在後面拖上兩個乘數個位數補數的乘積即可。例如97×98，用100減去3（7的補數）和2（8的補數）得95，而補數的乘積是6（06）所以答案就是9506。為了便於記憶，可以編成這樣的口訣：兩個個補被百減，個補乘積後面寫。由於100(100－c－d)＋cd這個式子還可以變化，所以「九十幾乘九十幾」還有一種速演算法。因為c和a互補，b和d互補，所以c＝10－a,d＝10－b代入到上式的括弧中得：100(100－c－d)＋cd＝100[100－(10－a)－(10－b)]＋cd ＝100(100－10＋a－10＋b)＋cd ＝100(80＋a＋b)＋cd這個式子表明：九十幾乘九十幾也可以這樣來速算：用80（基數）加上兩個乘數的個位數，後面再接寫個位數補數的乘積即可。仍以97×98為例。80加上7和8得95，後面接寫06（7和8的補數2和3的乘積）得9506就是答案了。為了便於記憶，也可以編成這樣的口訣：八十加兩個位數，個補乘積後面拖。附
九、一百零幾乘一百零幾
這種乘法極容易做。只要將其中一個數加上另一個數的個位數，後面再寫上兩個個位數的乘積就是了。例如：108×107用108加上7（或用107加上8）得115 再在其後寫上56（7×8的積）得11556就是答案了。如果一定要編兩句口訣，那麼可以這樣說：一數加上另數個，個位乘積後面湊。此速演算法的代數證明相當簡單，這裡就不贅述了。
十、某數乘以十五
某數乘以15可以看作乘以1.5再乘以10。而某數乘以1.5就是原數加上它的一半。所以某數乘以15隻要用原數加上原數的一半後後面加個0（原數是偶數）或小數點往後移一位就可以了。如246×15 用246加上它的一半123得369 後面加個0得3690就是答案了。如151×15 用151加上它的一半75.5得226.5 把小數點往後移一位得2265就是答案了。
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