圓周率怎麼會是4？能看出問題所在嗎？

我們的節目自從開始以來，還沒有聊過一個最神奇的話題：數學。原因一方面是數學確實對於大多數人來說可能比較枯燥和抽象，另一方面是理解起來的難度也有些大，非常不便於講述。不過數學裡面的那種美感確實是令人讚嘆不已的，我非常希望能用儘可能淺顯的方式把這種奇妙的感覺傳遞給每一個數學世界之外的人。所以今天我們由淺入深，從兩個重要的數字說起，這就是自然底e和圓周率π。敬請收聽。

圓周率π

圓周率的幾何意義大家都非常清楚，就是圓的周長和直徑的比值。它的數值大家也熟悉的不要不要的，一個不三不四的數，甚至還有不少人舉行圓周率的背誦比賽。即使說起圓周率的數值是怎麼計算的，大部分人也知道基本原理：割圓法。就是用一系列越來越接近圓周的多邊形來逐步逼近圓周長，從而得到和直徑的比值，祖沖之就是這麼計算的。可是請大家看看下面的這個割圓法步驟，它得到的圓周率是4。

先畫出一個圓和從它外面緊緊包圍它的外接正方形。顯然這個正方形的周長和圓直徑的比是4。然後找到圓的四個分點（外接正方形頂點和圓心連線與圓的交點），把外接正方形向里折，通過四個分點。這個時候新的多邊形包圍著圓，而且和圓的外形更加接近，不過它的周長明顯等於原來正方形的周長，所以這個時候比例還是4。不斷重複這個過程，摺疊後的多邊形會越來越接近圓周，但是它的周長和直徑的比例永遠是4，照這個道理，圓周率的結果應該是4，怎麼會是3點多呢？

這種所謂的割圓法的問題出在，這個多邊形序列的周長並沒有逐步接近圓的周長，我們看起來感覺越來越趨向一致的其實是面積，而不是周長，所以這樣計算是有問題的。

在數學上，真正計算π當然也不會用這個方法，因為不好操作。人們使用計算機計算圓周率一般是用級數公式。比如16世紀萊布尼茲發現的公式：

π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 +1/9 - …

可以很方便的實現手工計算或者編寫計算程序。這類公式稱為展開式，其基本思想也是通過一步步逼近來得到某個數值，從這個意義上來說展開式和割圓法是一樣的。

但是使用不同的展開計算公式逼近π的真實值的效率是不同的，在數學上我們稱為收斂速度。例如雖然不同的公式最後都趨近於π的真實值，但是有些公式，計算五六步後的結果就和真實數值相差很小了，而另外的公式可能需要計算數十步才能達到同樣的精度。所以我們一般會選擇那些更有效率的公式，也就是收斂速度快的公式。

例如π的高斯公式，雖然裡面含有三個反正切函數的計算和相加，但是它的收斂速度非常非常的快，因此如果要計算很多位數的圓周率值時，用高斯公式就比萊布尼茲公式更加實際。

目前我們用更新更有效率的公式，已經把π算到小數點後60萬億位。而實際上在真正的科學研究中，完全不需要這麼多的位數。以計算宇宙空間尺度模型為例，如果使用小數點後40位的數字，整個宇宙計算結果的理論誤差也不超過一個原子的大小。那麼研究人員為什麼還要拚命算這麼多位呢？其實主要是為了研究和驗證π的很多特殊的數論性質，這就是我們下面要說的π的與眾不同之處。

圖：圓周率表

我們先從一個「宇宙刻痕」的理想實驗說起。今天我們進入了大數據時代，很容易理解，聲音、圖像、文字等一切信息都可以轉換為數據並被記錄下來，所以海量的信息正在以空前速度爆炸成長。為了承載這些數據，公司、個人、政府使用了無數介質來儲存。可以理解，數據量越增大，我們就需要越多的存儲設備。但是有個牛人提出了一個大膽的設想，他說既然所有的信息本質上都是一串數據，那麼如果我們把宇宙所有的信息數據串按照某種排序規則前後銜接排列在一起，就構成了一個包含整個宇宙全部信息的總數據串。然後在這個總數據串前面加上0和一個小數點，這個總數據串就變成了一個介於0到1之間的小數，我們稱為宇宙信息常數。現在拿出一根不變形的金屬棒，把它的長度看做1，那麼這根棒上一定有一個位置，剛好對應宇宙信息常數，我們只要在這個位置划下一道劃痕，那麼宇宙全部的信息就記錄下來了。根本不需要那麼多的硬碟和光碟。這個劃痕就是「宇宙刻痕」。

猛地一聽，這個說法很有道理。明明可以很簡單的用一道兒就解決的問題，人們為什麼需要搞這麼多的存儲設備呢。當然，因為這是一個理想實驗，所以你千萬不要聽完後去糾結找什麼樣的材質來做金屬棒，以及用什麼方法去找位置刻劃痕，我們要分析的是原理。

宇宙中所有的信息都對應某一個數據段，換句話說就是對應某個數字，這是正確的；這些對應的數字能共同組成一個新的數字，當然也正確。那麼我們把這個說法進一步拓展，不僅是用這些宇宙信息對應的數字來組成新數字，而是用從0開始的全體數字共同組成一個新的數字，是不是可行呢？顯然可行，因為我們很容易構造出這樣的例子。

比如下面的這個數字：02 003 0004 00005000006…

它是用全體數字先後排列在一起，中間用1個0，2個0，3個0等等間隔開。所以大家都明白這個規律延續下去，任何的數字串都肯定在它的某個位置處會出現。類似這樣的數字，我們還有很多種構造方法。這樣的數據，任意整數都能在它的序列中被發現的數據，就稱為合取數。宇宙刻痕就是要找一個合取數。那麼π是不是合取數呢？

在影視劇《疑犯追蹤》中，「宅總」哈羅德·芬奇說了這樣一段話：「圓周長與直徑之比，無窮無盡，永不重複。在這串數字中，包含每種可能的組合。你的生日、儲物櫃密碼、社保號碼，都在其中某處。如果把這些數字轉換為字母，就能得到所有的單詞，無數種組合。你嬰兒時發出的第一個音節，你心上人的名字，你一輩子從始至終的故事，我們做過或說過的每件事，宇宙中所有無限的可能，都在這個簡單的圓中。」這段話非常令觀眾印象深刻，從數學上來解釋，芬奇實際上是在說π是一個合取數。

然而更嚴格的說法是π「極有可能」是一個合取數，而不能肯定的說它就是合取數，因為π的合取性還沒有被證明。但是因為我們已經計算出了60萬億位的π的數值，我們可以用實測的方法驗證，任意輸入一段有限位數的數字序列，基本上都能在π當中的某個位置處找到。所以，我個人相信，任何的關於某個人人生的信息都一定藏在π的某個位置。

如果大家想嘗試找找自己暗戀女孩的生日，或者自己的銀行密碼藏在π值的什麼地方，可以在下面的網址當中去檢索：

http://www.angio.net/pi/piquery

該資料庫裡面儲存了2億位的π值。可以告訴大家目前統計的一些結果：如果你是想查找生日的話，前60872位以內已經包含了全部的生日組合；如果你想查找一個8位數的序列，你查到的概率大約在85%以上。

另外，π不僅是含有全體整數的合取數，而且，相同位數的整數出現的比例看起來也是均勻的。具體來說，π當中含有的1,2,3,4,5,6,7,8,9,0幾乎都是相等數量的，兩位數10,11,12,…,99也幾乎都相等，三位數，四位數都是如此。這稱為正規性。所以π很可能是一個正規數，不過這點同樣也沒有被證明，只能說很可能是。

當然，我們最後還要回答一下關於合取數與宇宙全體信息的關係，也就是回答一席宇宙刻痕問題。合取數只是含有全部整數序列的無理數，但是它的這些信息和宇宙信息相對應時缺少了關鍵的結構，簡單的可以理解為順序。而結構本身也是一種重要的信息，所以宇宙刻痕其實是不存在的，合取數也不能記錄全部的信息。

自然底e

說了這麼多π的性質，再來介紹一下e。和π比起來，可能文科生對e略感陌生，理科生當然都知道e，不過未必知道e的本質含義。我們先從一個故事說起。

假定你到銀行存款存1塊錢，銀行同意付給你100%的年利率。那麼當然到了一年後，你手裡的錢就增長為2塊。用公式來寫就是：（1+100%）；現在如果銀行同意按照複利計算，也就是把一年期的年利率拆成兩個半年期利率，50%，中間計算一期的複利，那麼你到年底手裡的錢為：（1+50%）×（1+50%），也就是2.25元；再進一步，如果銀行按照季度計算複利，那麼你到年底手裡的錢為：（1+25%）×（1+25%）×（1+25%）×（1+25%），大約為2.44元。可以看到分的越細，你得到的總收入越多。如果把這個複利計算過程繼續細分下去，按天算你的錢數為：

如果再繼續細分，按小時，按分，按秒計算複利，把計算過程推向無窮細分，可以發現最後獲利有一個極限值。該值就是e，大約為2.7182818。

所以說e的本質含義就是累積增長的極限。這個特點有非常多的用處，比如隨便給你一個自然數，請你把它隨意分解成若干個數之和，並把這些數乘在一起，問哪種分解方法分出來的數得到的乘積最大。答案就是盡量分成這個數除以e以後得到的份數，並且每份的大小盡量接近，這樣的乘積就最大。舉個例子整數10。10/e 大約等於3.68，所以應該把10分成4份，而每份又要比較接近，所以可分為2,2,3,3，乘積為36。你可以自己去驗證，其他的各種分法得到的乘積都超不過這個數。

通過這個例子可以直觀的說明，e用來表達數位的時候效率最高，這在日常生活中最直接的應用結果就是計算機採用的二進位。在設計進位時，應該選取效率最高的方法，這樣計算和儲存的成本都最低，計算機的能耗也最小。理論上最理想的是e進位，不過e不是整數，所以次理想的是最接近e的3進位，其次是2進位，3進位的效率比其他都高，但是如果結合考慮到穩定性和容錯程度，二進位就領先了。故此計算機都採用二進位。

由於e是累計增長極限，所以決定了以e為底的指數函數所代表的增長方式最自然，所以稱為自然指數函數

這個指數函數有非常多的特性，比如最突出的是對稱性。該指數函數在任何位置的增長速率都同於函數值本身，用數學語言來說就是自然指數函數的導數是它本身。而這個特性被延伸到複數域後，可以發現指數函數能夠代表旋轉，這就和π最終聯繫在一起，因為π就代表著旋轉特性。而具體連接它們的關係式是被稱為數學上最優美的歐拉公式：

圖：歐拉

最後說明一下，e和π一樣，都很可能是合取數和正規數，不過同樣這有待證明。

因為旋轉，大量的規律需要π；因為增長，大量的公式含有e。這兩個數本來看起來遙不可及，但是因為複數域的推廣，指數運算和旋轉建立了關係，天才的歐拉發現了優美的「上帝創造的公式」。也許正因為如此，e和π才成為了蘊藏無窮奧秘的合取數。很多物理學家都說過，他們喜歡優美的公式勝過喜歡正確的公式。的確，數學之美正是其魅力所在。最後請大家聽一首鋼琴曲，它是用π的數值作為簡譜譜寫的，聽聽看是不是優美動聽。

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