我國神秘的「九九算術」

中國古代神秘的數字觀念其實是源遠流長的，數學運算在古代也不可能完全擺脫神秘的數字觀念的影響。事實上，中國古代數學中的演算法和算制之中也的確包涵著許多神秘化的因素，從這些因素中我們也不難發現數字與數術的密切關聯。

魏晉時期的大數學家劉徽在《九章算術》注序中曾這樣寫道：

昔在包犧氏，始畫八卦，以通神明之德，以類萬物之情；作九九之術，以合六爻之變。

意思是說，從前的聖人包犧氏創造了八卦，用以通曉萬事萬物神妙莫測的性質，類比概括萬事萬物豐富多彩的情狀；他還創作了九九之術，與六爻的變化相吻合。這裡的「九九之術」可以有兩種解釋：一是古人對於數學活動的泛稱；另一種是相當於我們今天所說的乘法口訣。無論如何，劉徽確實是把數學方法歸功於古聖先王的創造，並與《周易》中的六爻、八卦等內容聯繫了起來。

自從漢代以後，許多算家都熱衷於將演算法與《周易》以及數術系統中的各種觀念相聯繫。比如徐岳的《數術記遺》，此書是中國古代著名的「算經十書」（另九部：《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《張丘建算經》、《夏侯陽算經》）之一，書中列舉了十四種運算方法，包括積算、太一、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運算、了知、成數、把頭、龜算、珠算、計算，等等。僅從條目上看，就可以看出它們帶有明顯的數術化的特徵。我們不妨來看一看其中幾種演算法的內涵：

兩儀：「兩儀算，天氣下通，地稟四時。」它的基本方法是用兩種算珠，一種在上，為青色，由上至下計位，故稱「天氣下通」；另一種在下，為黃色，由下至上計位，共分四刻，故稱「地稟四時」。

三才：「三才算，天地和同，隨物變通。」它的基本方法是在一塊木板上刻三條橫線，上面的象徵天，中間的象徵地，下面的象徵人；有三種算珠，青珠象徵天，黃珠象徵地，白珠象徵人。三珠在三道上運行，如果天珠在天道上，記為九；地地道上，記為六；在人道上，記為三。如果地珠在天道上，記為八；在地道上，記為七；在人道上，記為二。如果人珠在天道上，記為七；在地道上，記為四；在人道上，記為一。這正是象徵天、地、人三才隨物變通的意義。

五行：「五行算，以生兼生，生變無窮。」它的基本方法是將五色與五行對應，建立五色演算法，即：水對應玄色，生數為一；火對應赤色，生數為二；木對應青色，生數為三；金對應白色，生數為四；土對應黃色，生數為五。將這些生數相互結合，可以表示任何一個數字。例如，對數字五千六百九十一，則黃算為五千，玄算配黃算為六百，白算配黃算為九十，玄算為一，如此等等。

八卦：「八卦算，針刺八方，位闕從天。」它的基本方法是把一根指針固定在一面刻有四方四隅的羅盤上，與八卦的方位相契合；再用針縫的指示確定算位，即：正南方向的離卦為一，西南的坤卦為二，正西的兌卦為三，西北的乾卦為四，正北的坎卦為五，東北的艮卦為六，正東的震卦為七，東南的巽卦為八，等等。這裡實際上是將後天八卦方位與八數相對應。

九宮：「九宮算，五行參數，猶如循環。」九宮本來是數學中的一個縱橫圖。這種演算法也是以五行說為基礎的，即按照五行、五方、五色、與五數的對應進行定位：玄珠為十位，赤珠為百位，青珠為千位，白珠為萬位，黃珠為十萬位；以赤珠系黃珠為百萬位，以青線系黃珠為千萬位，以白線系黃珠為萬萬位，等等。

至於中國古代的算制，也是五花八門，令人眼花繚亂，其中比較典型的有二進位、三進位、五進位、六進位、十進位、十二進位、六十進位等等。它們的文化背景非常複雜，且大多與數術觀念有關。比如，二進位主要來源於《周易》中的陰陽思想；三進位與西漢楊雄的《太玄》有關；五進位與五行學說密不可分；六進位與《周易》的六爻成卦之說有關；十進位一般認為是古人用十指計數的產物，而董仲舒則認為它來源於天、地、人、日、月、木、火、土、金、水這十種「天數」；十二進位與歲星的運行周期有關，具有占星學上的意義；六十進位產生於十天干與十二地支的配列，也就是六十甲子，等等。

這裡所有的內涵，顯然都具有神化算術的意味。而這恰恰就是我們中國古代的「九九算術！」

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