科學公園 ? 波的科普：量子力學中的波

1923年，德布羅意（Louis Victor de Broglie，法國著名理論物理學家，創立了波動力學和物質波理論，量子力學的奠基人之一）將波粒二象性的概念推廣到有靜止質量的實物粒子上，提出「任何物體都伴隨有波」，質量越大，波長越小。這種與實物粒子相對應的波稱為德布羅意波或者物質波，以區分機械波和電磁波。單電子波動實驗證明了物質波存在。如果把做楊氏雙縫干涉實驗（見下圖）的光源換成電子源，並且讓電子一個個地單獨發射，時間積累足夠長，干涉圖樣也會出現。干涉圖樣的出現證明了電子的波動性，單個電子一次次通過是為了證明了波動性來自電子本身，而不是來自一群電子的集合體。如果作為一個經典的粒子，比如一個足球，它只能從兩個縫隙之一通過。而實驗上的一個電子既從狹縫S1通過，又從狹縫S2通過，自己跟自己形成干涉，這樣的行為只有波才能做到。

楊氏雙縫實驗示意圖：當一個波通過兩個縫S1和S2時，在遠處的平板上形成明暗相間的條紋，這是波動性的重要證據。在上面的電子衍射實驗中，我們無法預測具體某個電子通過是S1還是S2，這跟經典物理的常識不一致。在經典物理中，「上帝不擲骰子」，只要給定單個粒子的初始條件，粒子的軌跡就被確定下來了。為了理解這些經典力學無法解釋的現象，量子力學用波函數來描述客觀世界，對應的基本方程不是牛頓方程，而是薛定諤方程。波函數的大小跟粒子出現的概率是對應的。電子在原子核的外部，我們常常看到類似下面左邊的圖片，圖片中電子似乎是環繞著質子和中子運動，彷彿質子和中子是太陽，電子是類似地球的行星。電子如果按照一個非直線的軌跡運動，需要對外發射電磁波，也就是釋放能量，那麼最終原子的結構就無法穩定，因為電子的能量在不斷減少。實際上電子在原子核外並沒有固定的軌跡，而是形成一定的概率分布，如下面右圖所示。我們無法「跟蹤」微觀粒子的行動，我們只能知道在某一個時間點，它在某一個空間點出現的可能性有多大。

左圖：經典力學下電子軌跡示意圖，這樣的圖過時了七八十年了。右圖：實際電子在氫外的概率分布，顏色越黑（點越密集）代表電子出現的概率越大。六個圖代表幾種電子可能出現的模式。再舉一個波函數的例子：無限深方勢阱中的粒子。這是量子力學教科書裡面幾乎必然出現的經典範例。假如我們有一個非常非常深的直長深坑，坑裡有一個球，球一開始在蹦達，足夠長的時間之後，這個球肯定是靜止在坑底部的某一個位置。這個我們熟悉的結果隱藏著經典力學幾個在量子力學中不再成立的事情：連續能量、零基態能、確定位置、靜止。量子力學中，薛定諤方程最後解出來的答案里，能量只能是固定的一組數值，粒子無法像球一樣在空間中連續變化高度（相當於連續變化重力勢能），只能從滿足波函數的一個能量值變到另一個能量值，這時候我們說系統的能量是量子化的，這也是量子力學這個叫法的來由。在滿足薛定諤方程的解中，最低能量並不是零，這個能量稱為零點能，與之相反，球可以出現在重力勢能最低的地方。粒子在任意一個可能的能量中，它無法確定在坑中具體的位置，它可能在坑的偏左，也可能在偏右，也可能在中間。不僅粒子出現在各個位置的概率不是均勻的，各個能級中粒子的可能出現概率分布也是不同的。最後，量子力學中沒有靜止的概念，非零的能量暗示著非零的動量，暗示著沒有不動的粒子。量子力學裡沒有靜止的粒子也意味著沒有「靜止的物質波」，波總是佔據著空間中一定的位置分布，這個與經典粒子的區別正是微觀粒子波動性的表現。我們也可以從量子力學中出名的不確定度關係中定性推導出無限深方勢阱中粒子的結果：因為空間的最大不確定等於勢阱的寬度，那麼動量與寬度成反比，但為一有限值，所以能量不可能為零。這類可以由物理常識快速得到答案的問題是一些老師面試研究生時的最愛。這個問題接下來的問法可以問勢阱寬度突然增大或者減少一半時裡面粒子的演化情況，也可以問如何從量子情況演化到經典情況。經典力學符合人們的直覺，量子力學違背人們的直覺，這兩者看似矛盾，其實在各自的應用領域都是正確的；矛盾的地方只是它們應用在不同的條件和場合。相對論與經典力學的關係中，光速為一個關鍵參數：速度遠小於光速時，可以不使用相對論。量子力學與經典力學的關係中，這個參數是普蘭克常數，當一個系統有普蘭克常數量綱的數遠大於6.63E-34時，可以不使用量子力學，這個量綱在經典力學中跟[長度]*[動量]、或者[時間]*[能量]一致（其實就是角動量的單位）。用我們熟悉的[時間]和[能量]為例子，老一輩人常見的擺鐘中，擺動的周期是秒，總能量是焦耳或者10焦耳量級的，比普蘭克常數大了三十多的數量級，不需要考慮量子力學。之前提到的無限深方勢阱，低能級的動量跟[普蘭克常數/勢阱寬度]相關，所以再乘以一個[長度]時，需要考慮量子力學。當能級逐漸增加時（薛定諤方程對這個問題有無窮個解），動量漸漸增加，於是經典力學就逐漸佔據了主導地位。我們生活經驗中的許多事物，角動量這個單位的數值遠大於普蘭克常數，所以我們的直覺跟經典力學一致。量子力學包含的內容太多，在這裡我無法介紹得比較全面，也不想介紹得全面，這本來就不是幾頁紙能展開的事情。量子力學跟我們日常生活其實關係很大，我們正在盯著的電腦或者手機，核心的技術來自於半導體，而半導體物理就是建立在量子力學之上的。百年前量子力學，一百五十年前的電動力學，本該是人類所共同擁有的財富，可是現在還有「想像力豐富」的人幻想以太的存在，還有人買所謂的防輻射服。波並不神秘，人類一直與它接觸著，從我們的祖先還是猴子的時候。波的科普系列到此結束，謝謝閱讀。《波的科普》系列文章之（一）：機械波與電磁波《波的科普》系列文章之（二）：波與物質的相互作用《波的科普》系列文章之（三）：輻射與防輻射
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