張慶熊：弗雷格的邏輯和數學思想的哲學基礎

標籤：弗雷格 ● 張慶熊【提要】弗雷格在《算術基礎》中闡述了三條基本原理，這三條原理一方面說明他為什麼要構造他的人工語言系統，另一方面說明算術何以能夠建立在邏輯的基礎之上，這是從哲學的高度出發論證他的邏輯和數學思想的基礎。 ( http://www.tecn.cn )弗雷格（Gottlob Friedrich Ludwig Frege，1848－1925）於1897年發表《概念文字：一種模仿算術語言構造的純思維的形式語言》（Begriffsschrift，eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens）。這本薄薄的書可謂現代邏輯的開山之作。它奠定了數理邏輯中的命題邏輯和一階謂詞邏輯的基礎。然而，對於這本邏輯史上劃時代的專著，在當時卻少有人問津。弗雷格反思其原因，認為除人們對那陌生的符號系統望而生畏外，還不理解他為什麼要構造這一系統的理由。他在1884年發表了專著《算術基礎》（Grundlagen der Arithmetik）。在這本書中，他沒有使用數理邏輯的符號，而是哲學理論上論證他所構造的人工語言系統的基本原理，指出嚴格區分心理的東西和邏輯的東西、主觀的東西和客觀的東西的必要性；強調決不要忘記概念和客體之間的區別；對當時所流行的邏輯學和數學中的心理主義展開批判。他認為邏輯是數學的基礎，數的概念可以被定義為邏輯的類的概念，而類則被看成概念的外延。可以說，《算術基礎》一書是弗雷格在哲學的方面為他的數學基礎研究中的邏輯主義的方案奠定基礎。 ( http://www.tecn.cn )弗雷格在《算術基礎》中所提出的原理一共只有三條，下面我們就結合考察這三條原理來評述弗雷格的邏輯和數學思想的哲學基礎。 ( http://www.tecn.cn )一、邏輯規律的客觀性在弗雷格所處的時代，邏輯研究中的心理主義佔支配地位。按照這種心理主義的觀點，邏輯推理是一種思維的活動，思維的活動是一種心理的活動，所以邏輯的規律可以還原為心理的規律，邏輯的真理是一種主觀的真理。弗雷格認為，這種心理的觀點就如壓在邏輯和數學成長之樹上的巨石一樣，為使邏輯和數學研究得以順利展開，必須搬開這塊巨石。為此，他在《算術哲學》導言中所列出的第一條原理就是： ( http://www.tecn.cn )「嚴格區分心理的東西和邏輯的東西、主觀的東西和客觀的東西。」[1]弗雷格認為，這種心理主義的觀點混淆了邏輯本身和從事邏輯推理的心理活動。一個人在從事邏輯推理的時候，確實發生心理的活動。這種心理的活動是主觀的活動，是因人而異的。一個人的心理推論活動可能正確，也可能錯誤，但是邏輯規律本身則是不變的，邏輯的定理是永真的。有人可能把2＋2計算為5，但是2＋2＝4的真理性不以人的計算的心理活動為轉移。 ( http://www.tecn.cn )我們如何得出某一個結論涉及一個心理活動的過程，但是我們憑什麼論證這一結論的正確性卻不能靠主觀的經驗和心理的規律。某一理論體系的創立是研究者的創造性的思維活動的結果，這裡涉及研究者的想像力等心理特性，但是對於這一理論體系的論證要依靠邏輯，邏輯並不是依研究者的心理特徵為轉移的。所以弗雷格強調： ( http://www.tecn.cn )「因此，擺在我們面前的一個普遍問題是分清我們如何獲得一個判斷的內容和我們憑什麼論證我們的斷言」。[2] ( http://www.tecn.cn )弗雷格終其一生都在與心理主義作鬥爭。在其晚年的「思想」一文中，再次強調要抵制心理主義的誘惑，要分清把某物看作真的心理過程和對把某物看作真這一過程的證明。他寫道：「根據心理學定律，把假看作真和把真看作真這兩種情況都會出現。從這些情況進行的推導和對把某物看作真所經歷的心理過程的說明，絕不能代替對把某物看作真所相關的證明」。[3] ( http://www.tecn.cn )弗雷格在《算術基礎》中，主要考慮的數的客觀性的問題。他認為，數像外部世界中的對象一樣是客觀的東西，數的存在不依賴於人的主觀意識是否想到它們，正如外部世界中的對象的存在不依賴於人是否感知到它們一樣。數不是像人的情感一樣的心理的東西，數不是當人思考數的心理活動發生的時候就發生，停止的時候就停止的心理活動的伴隨現象，而是客觀存在的對象。他認為： ( http://www.tecn.cn )「數不是心理學的對象或心理過程的結果，正如北海不是這樣的對象或結果一樣。」[4]當人們說「北海的面積約一萬平方浬」時，所斷言的是一個客觀的事實。北海的大小不依賴於人們的主觀印象，不會因為某些人感覺到它大些而大些，或感覺到它小些而小些。同樣，這個判斷的真值取決於它是否符合北海面積的客觀事實。如果它不符合，那麼它就是假的；反之，則真的。如果把數僅僅當作主觀的表象的話，那麼當人的意識中浮現出數的表象的時候，數就存在；不浮現出數的表象的時候，數就不存在。然而，北海面積約一萬平方浬這個事實則不依賴於人有關它的思想活動的產生而產生，停止而停止。即使從來沒有想到過北海，北海面積的數量關係依然是客觀的存在。這種數量關係不是人的主觀想像的產物，正如北海本身不是人的主觀想像的產物一樣。人不是發明數量關係，而是發現數量關係。 ( http://www.tecn.cn )弗雷格還認為，把數理解為人的主觀的表象會導致荒謬的結論。因為人的表象是各不相同的。即使兩個人看同一樣東西，鑒於他們的視力的不同，所處的位置的不同，心理狀況的不同，會產生不同的視覺表象。如果說數是人的表象的話，那些對於甲來說某物的面積就可以不同於對於乙來說某物的面積。對於甲來說2＋2＝4，對於乙來說就可以2＋2＝5。這當然是荒唐的。再之，不同人之間的表象不可相互直接比較。我不知道你的表象，你不知道我的表象。你的表象不可以移植到我的頭腦中來。在我的頭腦中的關於你的表象，實際上不是你的表象，而是我表象。然而，數量關係是可以相互比較的。數學的真理具有普遍的有效性。儘管不同的人對某一數量關係的主觀表象可能不同，但他們都必須承認這一數量關係的客觀的真理性。 ( http://www.tecn.cn )弗雷格意識到，數的存在與物的存在具有不同的特點。物是在時間和空間中存在的東西，而數不是在時間和空間中的存在的東西。我們可以說某宮殿造於某時某地，毀於某時某地；但不可以說，某數產生於某時某地，消失於某時某地。然而，物和數又都是客觀存在的東西。有鑒於此，弗雷格把物稱為「客觀實在的東西」（das objektiv Wirkliche），把數稱為「客觀非實在的東西」（das objektiv Nichtwirkliche）。在此，實在的東西就是指在時空中存在的東西；非實在的東西就是指不是在時空中存在的東西。 ( http://www.tecn.cn )弗雷格和胡塞爾都是十九世紀末和二十世紀初奮起反對邏輯研究中的心理主義觀點的代表人物。有鑒於弗雷格的《算術基礎》發表於1884年，早於胡塞爾的《邏輯研究》第一卷（1900年）。而且，在此之前，胡塞爾持心理主義的觀點，在弗雷格的影響之下他轉而反對心理主義。所以，弗雷格在反心理主義方面的貢獻具有特別重大的哲學意義。 ( http://www.tecn.cn )二、語言運用的基本單位是句子在以往的語言理論中，人們習慣於把詞當作語言運用的基本單位。弗雷格發現，詞的意義離不開它們在句子中的功用。脫離了詞在句子中的前後關係，就不可能把握詞的意義。因此他主張，語言運用的基本單位不是詞而是句子。 ( http://www.tecn.cn )弗雷格認為這一關於詞的意義的語境觀點很重要，在他的《算術哲學》中，這被確立為他的邏輯和數學思想的第二條原理： ( http://www.tecn.cn )「必須在句子的關聯中尋問詞的意義，而不是孤立地尋問詞的意義。」[5]弗雷格論證，單獨的一個詞無法確定其意義。就拿語言中最常用的一個詞「是」來說，它在不同的語句的關聯中具有不同的意義。在「晨星是行星」中，「是」表示一種歸屬關係，即晨星歸屬於行星。在「晨星是金星」中，「是」表示某種同一的關係，即晨星和金星指稱同一個對象。因此，只有在一個特定的句子中，我們根據「是」這個系動詞所處的上下關係，才能確定它究竟表示歸屬關係，還是表示某種同一關係。 ( http://www.tecn.cn )弗雷格主張詞的意義的語境原則還與他反對心理主義的立場有關。按照當時流行的「意義的指稱理論」，一個詞的意義在於它所指稱的對象。心理主義者設想，既然表達邏輯和數學概念的那些詞在外部世界中不存在所指稱的對象，那些它們就指稱內在於意識中的東西，即心理的表象。弗雷格認為，我們並沒有數的心理的表象。對於「一千」和「一百萬」這兩個數，我並沒有一個較小的「一千」的表象和一個較大的「一百萬」的表象。我們是根據數學的規律知道一百萬是一千的一千倍。同樣，對於數學和邏輯中的運算符號的意義，如「加」、「減」、「乘」、「除」、「等於」、「同一」、「歸屬」等，我們並不是根據其相對的心理的表象來知道它們的意義的，而是根據定義和它們在句子中的用法來知道它們的意義的。 ( http://www.tecn.cn )既然「數」等「客觀的非實在的東西」沒有心理的表象，那麼它們的意義何在呢？弗雷格決不想否定它們的意義，而且弗雷格也不想完全否定意義的指稱理論。弗雷格認為，問題是出在孤立地考察詞的意義。如果我們在一個完整的句子中來考察詞的意義，情況就會完全不同。 ( http://www.tecn.cn )弗雷格這裡所考慮的句子，是指判斷句，即邏輯中所說的命題。他認為，在此可以區分二類命題，一類是分析命題，另一類是綜合命題。分析命題是根據邏輯的規律和定義就能知道其真假的命題。綜合命題則要根據與事實的對照才能知道其真假。在對分析命題的論證中，我們不需要求助於事實，只要看它是否符合邏輯規律和定義就夠了。在對綜合命題的論證中，單靠規律和定義還不夠，還需要求助於事實。這裡所說的規律是指本身既不需要也不允許證明的規律，即自明的規律。 ( http://www.tecn.cn )因此，對於分析命題中所涉及的詞的意義，我們是根據規律和定義來理解的。由於定義和規律必然要用句子來表達，所以只有在句子中才能弄清楚分析命題所涉及的概念的意義。在此我們不應孤立地追問它們所指的對象，而是要通過分析在它所在句子中的用法來了解它們的規律和定義。在這裡，不需要也不應該依靠意義的指稱理論。換句話說，意義的指稱理論不適用於分析命題。 ( http://www.tecn.cn )對於綜合命題來說，弗雷格認為意義的指稱理論還是有用武之地的。雖然孤立地尋問詞所指稱的對象，我們往往找不到許多抽象的詞所指稱的對象，但是綜合命題必定與經驗事實相關聯。由於綜合命題涉及事實，所以綜合命題是通過與事實的對照來確定其真假的。因此，綜合命題的意義在於它的真值條件。由於單個的詞不能確定其真值條件，只有句子才能確定其真值條件，所以句子才是意義的基本單位。一旦句子的意義得到確立，我們就有可能通過詞在句子中的用法，來理解詞的意義。 ( http://www.tecn.cn )總而言之，弗雷格看到了意義的指稱理論的局限性，從而主張用意義的語境原則來取代意義的指稱理論。意義的指稱理論或許適用於表達外在世界中的對象的專名，但不適用於抽象的詞，特別是那些表達數和邏輯的概念的詞。如果強求在詞的意義問題上貫徹這種指稱理論，就會陷入心理主義的泥潭，就會誘使我們把內在的心理表象當作那些詞所指稱的東西。然而事實上，並不存在那樣的心理的表象。所以弗雷格在區分分析命題和綜合的基礎上，把意義的指稱修正為意義的語境原則。弗雷格的意義的語境原則並不完全排斥意義的指稱理論，而是把它擴展為句子的意義取決於它的真值條件的理論。分析命題的真值條件是其相關的邏輯規則和定義。綜合命題的真值條件是其相關的經驗事實。所以句子才是意義的基本單位，詞的意義要在句子的關聯中去理解。 ( http://www.tecn.cn )弗雷格的這一思想直接影響到維特根斯坦和羅素的關於基本命題（原子命題）是語言的基本單位的思想，以及命題與事實的關係的思想，並影響到維也納學派的意義理論和證實標準。 ( http://www.tecn.cn )三、區分概念和對象以及概念的等級弗雷格在《算術基礎》中列出的第三條原理（總共三條原理中的最後一條原理）是區分概念和對象：「要時刻看到概念和對象的區別。」[6]弗雷格所說的概念和對象有著專門的含義，是他通過把數學中的函數和自變元與我們的語言中的判斷句的構成成分進行有效的類比後引入的術語。讓我們來看以下一組數學中的表達式： ( http://www.tecn.cn )12、22、32、42、52 ……這組表達式可以分為二個部分：（1）函數表達式：( )2；（2）自變元表達式：1、2、3、4、5等。一個函數表達式的最主要的標誌是它的不完全性或可填補性，這一特徵由括弧表示出來。只有當一個函項表達式與一個自變元相結合時，即由一個自變元填補函數的括弧時，它們才共同構成一個完整的表達式。弗雷格把函數刻畫為「不飽和的」（unges?ttigt），把自變元刻畫為「飽和的」（ges?ttigt）。 ( http://www.tecn.cn )弗雷格認為，一個語句也可以折分為類似於函數和自變元的二個成分。在句子「蘇格拉底是哲學家」中，我們可以折分為「（ ）是哲學家」和「蘇格拉底」兩個部分。前者是函項，後者是自變元。蘇格拉底可由柏拉圖、亞里士多德代替，去充實「（ ）是哲學家」這一函項。 ( http://www.tecn.cn )正是從這一思路出發，弗雷格區分概念和對象。概念詞是在句子中起著函項功能的詞，對象詞是在句子中起著自變元功能的詞。以上例子中的「（ ）是哲學家」為概念詞，「蘇格拉底」等為對象詞。概念詞表達概念，對象詞表達對象。正如數學中的函數的自變元有一個取值範圍一樣，句子中與概念詞相對應的對象詞也有一個取值範圍。在數學表達式( )2中，填入某一個數字，例如2，這個表達式是一個有意義的表達式，但是如果填入的不是數字，如填入「＝」，則成為沒有意義的表達式。同樣，在句子中，相對於概念詞「（ ）是哲學家」，填入某一個人，例如蘇格拉底，構成一個有意義的句子，但如填入「紅」、「3」等不屬於它的取值範圍的詞，則成為無意義的句子。 ( http://www.tecn.cn )一個函數方程式的真假取決於所填入的自變元的數值，如對於「( )2＝4」來說，填入「2」或「－2」該方程式為真，否則為假。一個命題函項也是這樣。例如，對於「（ ）殺了凱撒」來說，填入「布魯修斯」為真，否則為假。 ( http://www.tecn.cn )對象詞與概念詞的關係是相對的。什麼詞是對象詞，完全取決於與之相對應的概念詞。離開了概念詞，我們不知道對象詞的取值範圍。只有當概念詞和對象片語成有意義的結合，即把適當的對象詞填入不飽和的概念詞之中，構成充實的句子之後，我們才能判斷其真假。 ( http://www.tecn.cn )弗雷格不僅注意到，概念與對象之間關係是相對的，而且注意到概念本身也可區分不同的等級。這種概念與對象之間的區分、概念等級的區分必須相對於語言的應用而確定，即必須遵循語境的原則。 ( http://www.tecn.cn )同樣的一個詞，在不同的語句中，可以被視為對象詞，也可以被視為概念詞，甚至是第二級的概念詞。舉例來說，在語句「3是一個數」中，「3」是一個對象詞。然而，在語句「這裡有3匹馬中」，「3」就不是一個對象詞，而是一個概念詞，並且是一個第二級的概念詞。 ( http://www.tecn.cn )弗雷格是如何區分概念的等級的呢？讓我們說明他的思路。句子「這裡有3匹白馬」表達這裡存在3個個體，它們是馬，並且它們是白色的。我們當然也可以分別用一個不帶馬字的專名來代替它們。我們可以用「馬甲」、「馬乙」、「馬丙」來表示它們。為表述方便，我們權且把「馬甲」、「馬乙」、「馬丙」當作專名，分別指稱個體的馬。在這裡，馬甲、馬乙、馬丙是對象，而馬是概念。弗雷格發現，句子「馬甲是馬」是有意義的，句子「馬甲是白色的」以及「馬甲是白馬」也是有意義的，但是說「馬甲是3」則無意義。在以上句子中，用「馬乙」或「馬丙」代替「馬甲」情況也是一樣。弗雷格追問為什麼會造成前一種表達式有意義，而後一種表達式無意義的原因。答案是馬甲、馬乙、馬丙具有馬的屬性和白的屬性，而不具有「3」的屬性。3不可能是任何個體的對象的屬性。那麼「3」在此的含義是什麼呢？「3」在此不是用來表達馬的屬性，而是針對馬的群（馬的個體的組合）而說的，即這群馬有三匹，或這個組合有三個個體。因此在句子「這裡有3匹白馬」中包含二個等級的概念詞；第一等級的概念詞是「馬」，「白」或「白馬」，第二等級的概念詞是3。「馬甲」、「馬乙」「馬丙」是「馬」、「白」或「白馬」的對象詞，3的對象詞則是這個白馬的群，表達這個群（這個組合）有3個個體，是一個3元組合。 ( http://www.tecn.cn )從表面上看，在「3匹白馬」這一表達中，3和白雖然都作為形容詞用，但有著以下重大差別。白刻劃屬性，而3表達存在的個體的數量。因此「3匹白馬」包含著「這些馬是白的」和「這群馬有3匹」這二層意思。系動詞「是」用來刻畫馬的屬性，「有」則表達存在。當我們指出某物的屬性的時候，並不意謂著斷定某物的存在。但是當我們使用量詞的時候，常包含斷定存在的意思。量詞的概念往往與存在的概念聯繫在一起。弗雷格的分析表明，作為形容詞使用的量詞是一個第二級的概念詞，存在也是一個第二級的概念。量詞在此用來表達某一類東西的個體的數量，「存在」則指出這些個體的存在。說某某東西存在，並不是在刻畫這個東西的屬性，而是表達了另一個層次上的意思，即表達相關的個體的存在。康德已經意識到「存在」不是一個恰當的謂詞。弗雷格對此的分析則進了一步。弗雷格用概念詞來取代含義不清的謂詞，並區分了概念詞的等級，使語言中的有關數量和存在的概念得到更加明確的表達。 ( http://www.tecn.cn )在弗雷格那裡，數學和邏輯是相通的，數學的基礎是邏輯，他認為他所構造的邏輯哲學的基本原理也就是他的數學哲學的基本原理。弄清楚弗雷格在《算術基礎》所提出的基本原理，不僅對於理解他為什麼和依據什麼建立他的形式語言系統，而且對於理解他為什麼主張純數學可以還原為邏輯的思想都十分重要。 ( http://www.tecn.cn )研究弗雷格的哲學思想，對於弄清楚分析哲學的淵源具有重大意義。弗雷格沒有自命為哲學家，他沒有什麼哲學派系觀點。他只是在研究邏輯、數學和語言的時候，發現了一些與哲學相關的重大問題。為解決這些問題，他摸索各種解決辦法，他沒有固定的哲學套路，也沒有自成體系的哲學術語。有時他為了表達自己的觀點，不得不創造一些術語，如「概念詞」、「對象詞」等。他對這些術語的用法，與人們通常的用法有所不同，這造成了閱讀他的著作時理解上的困難。但是他創造這些術語自有他的苦心，這是遇到新問題和發現新思想時常會出現的情況。一旦人們了解了他的思路，就會領會這些術語的奧秘。 ( http://www.tecn.cn )弗雷格在研究邏輯和數學的基礎問題時所探討的哲學問題，在今天被稱為邏輯哲學、數學哲學、語言哲學。今天的分析哲學家已經看清楚，邏輯和人工語言不是脫離哲學而獨自存在的，邏輯和人工語言本身都有它們的元哲學的問題。但是在上個世紀30年代至50年代，當分析哲學處於全盛時期時，邏輯實證主義的分析哲學家提出通過邏輯分析和語言批判消解哲學的觀點，他們沒有看到或「忘記了」作為分析哲學的鎮山之寶的數理邏輯和人工語言是伴隨著與其相關的邏輯哲學、數學哲學和語言哲學一起產生的。 ( http://www.tecn.cn )弗雷格為了建立他的以命題邏輯和謂詞邏輯為基礎的人工語言，不得不對日常語言的諸多用法進行規範。他一方面認識到日常語言的缺陷和他所建立的人工語言對於澄清日常語言的缺陷具有重大幫助，另一方面他也充分意識到他的人工語言不能取代日常語言的全部功能。弗雷格首先探討了語句的認識價值和真值的關係問題。他主張對語句的真值的尋問固然具有重大的認識意義，但是語句的認識價值並不僅僅在於語句的真值，它應該包括對語句的涵義理解和對所指的真值的尋問這兩個方面。但是，許多從弗雷格的思想中得到啟發並使用弗雷格所開發的人工語言的分析哲學家，卻把弗雷格的思想簡單化了。他們片面誇大了人工語言的作用，並主張語句的意義就是語句的真值條件。這特別表現在作為邏輯實證主義的基本綱領的「意義標準」和「證實原則」中。 ( http://www.tecn.cn )仔細閱讀弗雷格的著作，可以發現許多分析哲學的觀點的來源，可以從源頭上把握分析哲學發展的思想脈絡。在今天，當分析哲學走過了一百年迂迴曲折道路，再從源頭上來思考它所發現的諸多問題和尋求的解決方案時，弗雷格哲學的偉大意義將更充分地顯示出來。 ( http://www.tecn.cn )注釋：[1] G. Frege，Die Grundlage der Arithmetik. Eine Logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl（《算術基礎：對數的概念的邏輯數學的研究》），Breslau 1884，第23頁。 ( http://www.tecn.cn )[2] 同上，第27頁。[3] G. Frede，Der Gedanke，Philosophie des deutschen Idealismus；I. Band（1918/ 19），第 58－59頁；引自G. Frege，Kleine Schriften，Damstadt 1967，第342頁。 ( http://www.tecn.cn )[4] 同上，第56頁。[5] 同上，第23頁。[6] Frege，Die Grundlage der Arithmetik，第23頁。
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