速算(上集)
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速算(上集)
第一講加法速算
一 互換位置數:口訣:十位加個位,和是一位排成雙,和是兩位相加排中央。
如:63+36=99第一步3+6=9 第二步和是一位排成雙99.
57+75=132 第一步5+7=12 第二步和是兩位相加排中央1+2=3,即3排在12的中央是132
原理證明:(10a+b)+(10b+a)=11a+11b=11×(a+b)
互換位置的加法就是根據11的排積規律推到出來的。應充分理解掌握口訣。
二 借數湊整加法:口訣:借數湊整,加被借之餘。
298+132=
程序:1. 借數湊整,(298+2)+(132-2)
2. 加被借之餘 300+130=430
原理證明:
三、補數加法:
定義:兩數之和等於10的n次方,這兩個數稱為互補數。
找補數方法:個位湊10,其他位湊9.如16的補數是84
口訣:加1減補。(分別根據不同情況加減)
6+8=14
(1) 一位數(或十位數)加一位數。
第一步十位加1,10+6=16;第二步 個位減補。16-2=14.(8的補數是2.)
(2)兩位數加兩位數。
百位加一,十位減補。如:46+79=
第一步百位加一,即100+46=146
十位減補146-21=125 (79的補數是21)
(3)三位數加三位數。
千位加一,百位減補。
236+788=
第一步千位加1,1000+236=1236
第二步百位減補,1236-212=1024 (788的補數是212)
四 三行並加棄9棄10法。
定義:三個多位數相加,豎式計算。
口訣:豎式三行,從右向左,末位棄10,中間位棄9,前位進1,棄後餘數,常規計算,不夠棄者,前位退1再棄。
如1:
(1)列豎式
(2)從右向左
五 五行並加棄雙9棄雙10,前位進2,棄後餘數,常規計算,不夠棄者,前位退1再棄。
第二講 減法速算
一、 調換位置的減法:
口訣:十位減個位,其差乘9.
63-36=27
第一步 十位減個位 6-3=3
第二步 其差乘9 3×9=27
原理:
可以引申應用到三位有序數的減法中去。
二、分解減數湊同求差法
口訣:湊同、求差。
如:13-5=13 -(3+2)=10-2=8
三、補數減法。口訣:減1加補。
(1)兩位數減一位數:十位減1,個位加補。
(2)三位數減兩位數:百位減1,十位加補。
原理:
第三講 乘法速算
第一節、單積一口清
定義:一位數乘以任何一個多位數的乘法,通過心算一口報出答案的計算方法。
一、熟背口訣;
二、掌握運演算法則;
三、熟練掌握「個位律」和「進位律」;
過三關:一眼成、一口清、一題(6位數單積)八道一分鐘。
口訣:前位加0變假小數,逐一計算高到低,算前觀後提前進,本個加進取個位,其和滿10要棄10,超10一律不進位。
注釋:本位積=本個+後進,只取和的個位,「滿10棄10,超10不進」
個位律:
2乘 自身加倍
3乘 偶補加倍 奇直求
4乘 偶補奇湊
5乘 偶0奇5
6乘 偶自身 奇加5
7乘 偶自倍,奇自倍加5
8乘 偶自倍
9乘 本個為補
解釋:
自倍:10以內的數自身乘2。
湊數:兩個10以內的數相加等於5的數,互為湊數,本身超5的要棄10湊5,7和8互為湊數;
本個:本位乘積的個位數。
本位積:本個加後面的進位數,只取和的個位(即去掉十位)
進位律:
2乘 滿5進1
3乘 超3進1,超6進2
4乘 滿25進1,滿5進2,滿75進3
5乘 滿2進1,滿4 進2,滿6 進3,滿8進4
6乘 超16進1,超3進2,滿5進3,超6進4,超83進5
7乘 超142857進1,超285714進2,超428571進3,超571428進4,超714285進5,超857142進6。
8乘 滿125進1,滿25 進2,滿 375進3,滿5進4,滿625進5,滿75進6,滿875進7.
9乘 超幾進幾
5673*2=
豎式:
04573*3=
豎式:
高到低:
第二節、雙積一口清
一、10幾乘10幾數:口訣:頭相乘、尾相加、尾相乘,依次排積。個位排在個位後。
12*13=156
心算步驟:1*1=1,2+3=5,2*3=6
13*15=195 13*1.5=?
二、任意兩位數乘法:口訣:頭加1後頭乘頭,尾乘尾(如果乘積是一位數時,前邊要添0定位),兩積相連為積數,然後調加減。
26*32=832
(1)頭加1後頭乘頭 (2+1)*3=9
(2)尾乘尾 6*2=12(如果乘積是一位數時,前邊要添0定位)
(3)兩積相連912(作為基數)
(4)調加減:一要看被乘數的頭比乘數的頭大幾或小几,大幾加幾個乘數尾,小几減幾個乘數尾;二是兩尾之和,比10大幾或小几,大幾加幾個乘數的頭,小几減几几個乘數的頭。加減的位置:一位數在十位上加減,兩位數在百位上加減。
上題被乘數的頭比乘數的頭大幾或小几:小1
小几減幾個乘數尾1*2=2
二是兩尾之和,比10大幾或小几:小2
小几減几几個乘數的頭:2*3=6
合計調減2+6=8(位置:一位數在十位上加減)912-80=832
第三節 個類乘積法一口清
一、以11為標準的一次排積法。口訣:首尾不動兩邊啦,上位加下位其和中間插。
32542*11=357962
可以延伸到以12為標準的一次排積法。
原理推到:
二、首同尾互補的乘法。
口訣:頭加1後頭乘頭,尾乘尾(如果乘積是一位數時,前邊要添0定位),兩積相連為積數。
三尾同首互補的乘法。口訣:頭乘頭加尾數為前提,尾乘尾為後積,兩積相連。(當兩尾之積是一位數時,前邊要添0定位)63*43=2709
頭乘頭加尾數:6*4+3=27
尾乘尾:3*3=9=09(添0定位)
兩積相連:2709
四、首位都是5的兩個兩位數乘法。口訣:頭乘頭加兩尾之和的一半為前提,尾乘尾為後積(積是一位數時,前邊要添0定位),兩積相連為積數。
58*56=3248
五、尾數都是5的兩個兩位數乘法。口訣:頭乘頭加兩首之和的一半為前提,尾乘尾為後積(積是一位數時,前邊要添0定位),兩積相連為積數。
45*85=3825
第四節求平方一口清
一、一位數的平方:99口訣直接乘得。
二、兩位數的平方:
(1)10幾的平方 ;頭相乘、尾相加、尾相乘,依次排積。
(2)任意兩位數的平方:頭乘頭為前積,頭乘尾加倍為中積,尾乘尾為後積,依次排積。定位:個位排在個位後。23*23=
(3)求尾數是5的兩位數的平方:
頭加1後頭乘頭,尾乘尾(如果乘積是一位數時,前邊要添0定位),兩積相連為積數。
第四講乘法通用速演算法
第一節分位相乘法
口訣:頭乘頭為前積,頭尾交互相乘之和為中積,尾乘尾為後積。排積定位:個位排在個位後。
此法適用於多位數及不同位數乘法,多位數相乘,只是要增加中間位的積,在計算不同位數乘法時,要將位數較少的因數前位添0,使兩個因數的位數相同,然後進行計算。
32*57=
第二節1、2、5倍數乘法:
九個自然數123456789都可以用1.2.5倍數分解。
一、分解方法:
3=2+1,4=2+2=5-1,5=5,6=5+1,7=5+2,8=10-2,9=10-1
二、2倍法:
報2倍數時,有進位的都要提前進位,只報本個,即見01234要保02468,見56789也要報02468,要熟練掌握,必須直接報出。2乘任意數的「本位積」(「本位積」=本個+後進)。
三、5倍法:
5乘任何數,將其改半後在尾後加一個0即是乘積。叫做「改半乘10」。對一個數進行改半方法如下:
(1)偶數改半,見到2468,改半為1234.
(2)奇數改半,是單減1、雙改半、餘1下位相連再改半。
注意:「偶半尾0,奇半尾5」防止錯位。
35*5=17.5*10=175
四、用1.2.5倍數法進行計算。
如:376*4=376*(2+2)=752+752=1504
或者376*4=376*(5-1)=1880-376=1504
376*6=376*(5+1)=1880+376=2256
376*46=376*(50-5+1)=18800-1880+376=16920+376=17256 (46=50-4=50-5+1)
五 分段湊整計算:
198*435=(200-2)*435=435*200-2*435*2=87000-870=86130
當數字大時,分段湊整計算。
45198*435=【(50000-5000)+(200-2)】*435=21750000-2175000+87000-870=19575000+86130=19661130
(分段湊整:45=50-5,198=200-2)
第三節補數乘法:
補數:兩數之和等於10的n次方,這兩個數互為補數(整百整千)。
指示數:兩個數之和等於10、20、30、……100、200、300……,這兩個數互為指示數。用補數計算乘法,首先是將其中一個因數加補變成10的n次方,再進行計算,然後用其乘積減去補數於另一因數的乘積,既是得數。
例如:9*8,計算程序是:先將8變成10,8的補數是2,9的指示數是1,則9*8=9*10-9*2=72,為了提高計算速度,我們可以用90直接減去20,然後再加上2.為什麼要加一個2呢,因為9的指示數是1,2是8的補數,指示數是幾就要加幾個補數。減的時候只減一次。
證明:以上題為例,設a、b為大於0小於10的自然數,c 為補數,d為指示數。
則a*b=a*(b+c)- c(a+d)+cd
將9*8代入9*8=9*(8+2)-2*(9+1)+2*1=9*10-2*10+2*1=72
豎式直觀:9
* 8
9
- 2 (即在本位減一個補數)
+ 2 (即在後位加一個補數,因為指示數是1)
72
為了加快計算速度,將數字分為大中小三種碼,789為大數碼、456為中數碼、123為小數碼。
一、大數碼
因大數碼的指示數小,直接利用加減補數,進行計算則速度快。
如:97*82=97*(82+18)-18*(97+3)+18*3=9700-1900+54=7854
二、中數碼:
中數碼的計算與大數碼相同。因為是中數碼,所以每步計算都要用1.2.5倍數法計算。
如:45*78=
45的指示數是5,78的補數是22.半數是11,所以,45*78=45*(78+22)- 22(45+5)+22*5=4500-1100+110=3510
豎式:4500 → 45*100
-1100 → 22*50 (在首位減半個補數)
+110 →22*5 (在下位加半個補數)
3510
三、小數碼:
小數碼的計算與大數碼有所不同,因小數碼指示數大,使加補的次數增多,給計算帶來麻煩,所以,我們採用正指數進行計算,也就是用這些小數碼直接作為指示數。
如:12*64=
則12*64=12*(64+36)-12*36=1200-(10*36+2*36)=1200-360-72=1200-432=768
實際上是用12*100的積直接減去12個補數。
第五講 除法速算
第一節關於5的除法。
方法:5除一個數,可以採用2乘的方法進行計算,然後將乘積縮小10倍,也就是將小數點向左移動一位。如:28÷5=28÷10*2=2.8*2=5.6或28÷5=28*2=56=5.6(將小數點向左移動一位)=5.6
原理:5的n次方=10的n次方÷2的n次方
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