速算（上集）

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速算（上集）

第一講加法速算

一 互換位置數：口訣：十位加個位，和是一位排成雙，和是兩位相加排中央。

如：63+36=99第一步3+6=9 第二步和是一位排成雙99.

57+75=132 第一步5+7=12 第二步和是兩位相加排中央1+2=3，即3排在12的中央是132

原理證明：（10a+b）+(10b+a)=11a+11b=11×(a+b)

互換位置的加法就是根據11的排積規律推到出來的。應充分理解掌握口訣。

二 借數湊整加法：口訣：借數湊整，加被借之餘。

298+132=

程序：1. 借數湊整，（298+2）+（132-2）

2. 加被借之餘 300+130=430

原理證明：

三、補數加法:

定義：兩數之和等於10的n次方，這兩個數稱為互補數。

找補數方法：個位湊10，其他位湊9.如16的補數是84

口訣：加1減補。（分別根據不同情況加減）

6+8=14

（1） 一位數（或十位數）加一位數。

第一步十位加1，10+6=16；第二步 個位減補。16-2=14.（8的補數是2.）

（2）兩位數加兩位數。

百位加一，十位減補。如：46+79=

第一步百位加一，即100+46=146

十位減補146-21=125 (79的補數是21)

（3）三位數加三位數。

千位加一，百位減補。

236+788=

第一步千位加1，1000+236=1236

第二步百位減補，1236-212=1024 （788的補數是212）

四 三行並加棄9棄10法。

定義：三個多位數相加，豎式計算。

口訣：豎式三行，從右向左，末位棄10，中間位棄9，前位進1，棄後餘數，常規計算，不夠棄者，前位退1再棄。

如1：

（1）列豎式

（2）從右向左

五 五行並加棄雙9棄雙10，前位進2，棄後餘數，常規計算，不夠棄者，前位退1再棄。

第二講 減法速算

一、 調換位置的減法：

口訣：十位減個位，其差乘9.

63-36=27

第一步 十位減個位 6-3=3

第二步 其差乘9 3×9=27

原理：

可以引申應用到三位有序數的減法中去。

二、分解減數湊同求差法

口訣：湊同、求差。

如：13-5=13 -（3+2）=10-2=8

三、補數減法。口訣：減1加補。

（1）兩位數減一位數：十位減1，個位加補。

（2）三位數減兩位數：百位減1，十位加補。

原理：

第三講 乘法速算

第一節、單積一口清

定義：一位數乘以任何一個多位數的乘法，通過心算一口報出答案的計算方法。

一、熟背口訣；

二、掌握運演算法則；

三、熟練掌握「個位律」和「進位律」；

過三關：一眼成、一口清、一題（6位數單積）八道一分鐘。

口訣：前位加0變假小數，逐一計算高到低，算前觀後提前進，本個加進取個位，其和滿10要棄10，超10一律不進位。

注釋：本位積=本個+後進，只取和的個位，「滿10棄10，超10不進」

個位律：

2乘 自身加倍

3乘 偶補加倍 奇直求

4乘 偶補奇湊

5乘 偶0奇5

6乘 偶自身 奇加5

7乘 偶自倍，奇自倍加5

8乘 偶自倍

9乘 本個為補

解釋：

自倍：10以內的數自身乘2。

湊數：兩個10以內的數相加等於5的數，互為湊數，本身超5的要棄10湊5，7和8互為湊數；

本個：本位乘積的個位數。

本位積：本個加後面的進位數，只取和的個位（即去掉十位）

進位律：

2乘 滿5進1

3乘 超3進1，超6進2

4乘 滿25進1，滿5進2，滿75進3

5乘 滿2進1，滿4 進2，滿6 進3，滿8進4

6乘 超16進1，超3進2，滿5進3，超6進4，超83進5

7乘 超142857進1，超285714進2，超428571進3，超571428進4，超714285進5，超857142進6。

8乘 滿125進1，滿25 進2，滿 375進3，滿5進4，滿625進5，滿75進6，滿875進7.

9乘 超幾進幾

5673*2=

豎式：

04573*3=

豎式：

高到低：

第二節、雙積一口清

一、10幾乘10幾數：口訣：頭相乘、尾相加、尾相乘，依次排積。個位排在個位後。

12*13=156

心算步驟：1*1=1，2+3=5，2*3=6

13*15=195 13*1.5=？

二、任意兩位數乘法：口訣：頭加1後頭乘頭，尾乘尾（如果乘積是一位數時，前邊要添0定位），兩積相連為積數，然後調加減。

26*32=832

（1）頭加1後頭乘頭 （2+1）*3=9

（2）尾乘尾 6*2=12（如果乘積是一位數時，前邊要添0定位）

（3）兩積相連912（作為基數）

（4）調加減：一要看被乘數的頭比乘數的頭大幾或小几，大幾加幾個乘數尾，小几減幾個乘數尾；二是兩尾之和，比10大幾或小几，大幾加幾個乘數的頭，小几減几几個乘數的頭。加減的位置：一位數在十位上加減，兩位數在百位上加減。

上題被乘數的頭比乘數的頭大幾或小几：小1

小几減幾個乘數尾1*2=2

二是兩尾之和，比10大幾或小几：小2

小几減几几個乘數的頭：2*3=6

合計調減2+6=8（位置：一位數在十位上加減）912-80=832

第三節 個類乘積法一口清

一、以11為標準的一次排積法。口訣：首尾不動兩邊啦，上位加下位其和中間插。

32542*11=357962

可以延伸到以12為標準的一次排積法。

原理推到：

二、首同尾互補的乘法。

口訣：頭加1後頭乘頭，尾乘尾（如果乘積是一位數時，前邊要添0定位），兩積相連為積數。

三尾同首互補的乘法。口訣：頭乘頭加尾數為前提，尾乘尾為後積，兩積相連。（當兩尾之積是一位數時，前邊要添0定位）63*43=2709

頭乘頭加尾數：6*4+3=27

尾乘尾：3*3=9=09（添0定位）

兩積相連：2709

四、首位都是5的兩個兩位數乘法。口訣：頭乘頭加兩尾之和的一半為前提，尾乘尾為後積（積是一位數時，前邊要添0定位），兩積相連為積數。

58*56=3248

五、尾數都是5的兩個兩位數乘法。口訣：頭乘頭加兩首之和的一半為前提，尾乘尾為後積（積是一位數時，前邊要添0定位），兩積相連為積數。

45*85=3825

第四節求平方一口清

一、一位數的平方：99口訣直接乘得。

二、兩位數的平方：

（1）10幾的平方 ；頭相乘、尾相加、尾相乘，依次排積。

（2）任意兩位數的平方：頭乘頭為前積，頭乘尾加倍為中積，尾乘尾為後積，依次排積。定位：個位排在個位後。23*23=

（3）求尾數是5的兩位數的平方：

頭加1後頭乘頭，尾乘尾（如果乘積是一位數時，前邊要添0定位），兩積相連為積數。

第四講乘法通用速演算法

第一節分位相乘法

口訣：頭乘頭為前積，頭尾交互相乘之和為中積，尾乘尾為後積。排積定位：個位排在個位後。

此法適用於多位數及不同位數乘法，多位數相乘，只是要增加中間位的積，在計算不同位數乘法時，要將位數較少的因數前位添0，使兩個因數的位數相同，然後進行計算。

32*57=

第二節1、2、5倍數乘法：

九個自然數123456789都可以用1.2.5倍數分解。

一、分解方法：

3=2+1，4=2+2=5-1，5=5，6=5+1，7=5+2，8=10-2，9=10-1

二、2倍法：

報2倍數時，有進位的都要提前進位，只報本個，即見01234要保02468，見56789也要報02468，要熟練掌握，必須直接報出。2乘任意數的「本位積」（「本位積」=本個+後進）。

三、5倍法：

5乘任何數，將其改半後在尾後加一個0即是乘積。叫做「改半乘10」。對一個數進行改半方法如下：

（1）偶數改半，見到2468，改半為1234.

（2）奇數改半，是單減1、雙改半、餘1下位相連再改半。

注意：「偶半尾0，奇半尾5」防止錯位。

35*5=17.5*10=175

四、用1.2.5倍數法進行計算。

如：376*4=376*（2+2）=752+752=1504

或者376*4=376*（5-1）=1880-376=1504

376*6=376*（5+1）=1880+376=2256

376*46=376*（50-5+1）=18800-1880+376=16920+376=17256 （46=50-4=50-5+1）

五 分段湊整計算：

198*435=(200-2)*435=435*200-2*435*2=87000-870=86130

當數字大時，分段湊整計算。

45198*435=【（50000-5000）+（200-2）】*435=21750000-2175000+87000-870=19575000+86130=19661130

（分段湊整：45=50-5，198=200-2）

第三節補數乘法：

補數：兩數之和等於10的n次方，這兩個數互為補數（整百整千）。

指示數：兩個數之和等於10、20、30、……100、200、300……，這兩個數互為指示數。用補數計算乘法，首先是將其中一個因數加補變成10的n次方，再進行計算，然後用其乘積減去補數於另一因數的乘積，既是得數。

例如：9*8，計算程序是：先將8變成10，8的補數是2，9的指示數是1，則9*8=9*10-9*2=72，為了提高計算速度，我們可以用90直接減去20，然後再加上2.為什麼要加一個2呢，因為9的指示數是1，2是8的補數，指示數是幾就要加幾個補數。減的時候只減一次。

證明：以上題為例，設a、b為大於0小於10的自然數，c 為補數，d為指示數。

則a*b=a*(b+c)- c(a+d)+cd

將9*8代入9*8=9*(8+2)-2*(9+1)+2*1=9*10-2*10+2*1=72

豎式直觀：9

* 8

9

- 2 （即在本位減一個補數）

+ 2 （即在後位加一個補數，因為指示數是1）

72

為了加快計算速度，將數字分為大中小三種碼，789為大數碼、456為中數碼、123為小數碼。

一、大數碼

因大數碼的指示數小，直接利用加減補數，進行計算則速度快。

如：97*82=97*（82+18）-18*（97+3）+18*3=9700-1900+54=7854

二、中數碼：

中數碼的計算與大數碼相同。因為是中數碼，所以每步計算都要用1.2.5倍數法計算。

如：45*78=

45的指示數是5，78的補數是22.半數是11，所以，45*78=45*（78+22）- 22（45+5）+22*5=4500-1100+110=3510

豎式：4500 → 45*100

-1100 → 22*50 （在首位減半個補數）

+110 →22*5 （在下位加半個補數）

3510

三、小數碼：

小數碼的計算與大數碼有所不同，因小數碼指示數大，使加補的次數增多，給計算帶來麻煩，所以，我們採用正指數進行計算，也就是用這些小數碼直接作為指示數。

如：12*64=

則12*64=12*（64+36）-12*36=1200-（10*36+2*36）=1200-360-72=1200-432=768

實際上是用12*100的積直接減去12個補數。

第五講 除法速算

第一節關於5的除法。

方法：5除一個數，可以採用2乘的方法進行計算，然後將乘積縮小10倍，也就是將小數點向左移動一位。如：28÷5=28÷10*2=2.8*2=5.6或28÷5=28*2=56=5.6（將小數點向左移動一位）=5.6

原理：5的n次方=10的n次方÷2的n次方