科學松鼠會 ? 一道八百年松鼠難題

史上最著名的一道松鼠數學題是這樣的：

上帝從伊甸園抓起一把土捏成松鼠亞當，又抽他一根肋骨變作松鼠夏娃。他們都有不死之軀，自由自在終日玩耍。由於太貪玩，二人從第二月開始每月生下兄妹一雙。兄妹本著肥水不流外人田的精神，同樣自二月大時生小兄妹一雙並以每月2隻的進度繼續下去，小兄妹繼續小小兄妹，然後小小生小小小，小小小再小小小小……這是一道天堂里的題，一切情況理想化，所以夫妻從來沒有外遇。一年之後伊甸園裡統共有幾對松鼠呢？

演算法是，新一月松鼠總數=上月總數+上上月總數（因為每個月只有輩份最小的兄妹不生育，年長的則兩隻生兩隻，數量翻倍）。於是按月排列，松鼠對的數量是：0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……後一項總是前兩項之和。

如果我說的不明白，當然也可以畫圖求解：

對松鼠會的自我吹捧到此結束，這道被我篡改的難題原型是兔子，出題者是「中世紀最天才的數學家」斐波納契（Fibonacci）。雖為天才，但懼怕老爸，該本性成為他的標籤永世流傳（Fibonacci意為Bonacci的兒子）；「兔子問題」正是身為商人的老爸留給他的一道作業。

「0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987……」被稱為斐波納契數列。這位數學家更通俗的一項成就是將阿拉伯數字引入歐洲，於是當中國人寫下「叄萬捌仟肆佰陸拾壹加玖千貳佰伍拾柒等於肆萬柒仟柒佰壹拾捌」時，歐洲人已將暈頭轉向的「xxxvMMMCDLX+MxCCLVII=xlvMMDCCXVIII」打入冷宮，轉以「38461+9257=47718」代之。

言歸正傳，只有數學家才會因為一串產地伊甸園、毫無生產力價值的數興奮不已。若真如此簡單，斐波納契數列也不能糾纏世人800年。

讓我們先看動物界「疑難雜症」最多的小蜜蜂家族。除了一隻蜂皇，所有勞動人民都是雌性，為雙親所生；雄蜂卻是孤雌生殖的產物，是沒有爹的短命仔。如下圖所示，我們用拿一柄矛的「戰神」表示雄性，用梳妝鏡符號表示雌性，順藤摸瓜地把二者祖宗八代都列出來。雄性的上輩、上上輩、上上上輩、上上上上輩祖宗數目分別為1個，2個，3，5，8，13；雌性2，3，5，8，13……於是斐波納契數列顯靈了。

如果連蜜蜂一例你都嫌太過「數學」，下邊的例子保准屬於美學範疇。

首先讓我們以「斐波納契數」為邊長畫出一組正方形（下圖右上），由於數列中每數都是前二之和，所以不論你停止在哪個斐波納契數，這些正方形都恰能轉著圈地碼成一個嚴絲合縫的「斐波納契矩形」；再連接每個正方形的對角畫出四分之一圓周（下圖右下紅線）——螺殼就這樣誕生了（下圖左）！絕妙的是，圖中這顆螺殼卷了快三圈，最後兩段圓弧的半徑比55/89已經非常接近黃金分割的數值0.618。你可以除除看——實際上斐波納契數列越向遠方伸展，相鄰兩數之比則離它越近，這道理正好像追求完美的道路「永無止境」。如果你數學再好一點，懂得勾股定理，請挑戰下圖右上的藍線，你能看出來嗎，這兩條藍線之比也總為黃金分割0.618。這顆螺，比劃比劃衣殼上的線段，它無法參透自己為什麼在這一刻被斐波納契數列靈魂附體，也不明白自己怎麼長出這麼多黃金分割，但它仍然美得不行；在大街上，有時候可以看到裸露的肩膀上晃著經典的「黃金分割模式圖」紋身（下圖右下），你便知道這位美女與科學是相結合的。

陳述了若干神秘現象，還需用一個有解的題目結束本文。

一頭向日葵，中心的瓜子一律排成兩組螺旋（如紅色所示）。雖然螺旋的數目會因頭大頭小而變換多少，但它們總是連續的兩個斐波納契數。如果你能看清我畫的紅道，就可以在這朵中型大小的向日葵中得到驗證，這裡的兩個斐波納契數分別為21和34。可惜小時候從向日葵上扣瓜子的經歷，既沒有變作大腦里的數學，也沒有變成眼裡的美，倒是化作了門牙上那個豁口。

用同樣方式體現斐波納契數列的還有如下「菜市場系列」，你總是能在這些圓鼓鼓的表面上發現順反兩組螺旋，二者數目在一串有名的數列中互為左鄰右舍，比如圖中松果是8和13，菜花是5和8。所以，每當進入菜市場，你其實已經捲入了一場斐波納契狂舞。

果實的斐波納契排布本屬生物問題，然而它的解答卻在一個中國的物理實驗室現出端倪。科學家做出一些非常微小的凸起，用軟軟的銀做核心，用堅硬的二氧化硅做外殼，當小凸起遭到快速冷卻，堅硬外殼就會受到均勻拉扯……（此處省去千餘字，見下圖）從而莫名其妙地在沒有生命的小凸上長出無數小痘痘，自動排成向日葵瓜子的陣列。這種排布體現了對能量的最低要求，還能同時保證小痘痘等距排列。結論是，向日葵頭和菊花頭不想減肥，所以從來不會費很大力氣地把自己長成有稜角的方臉，然後將種子碼成方陣；它們一致喜歡的則是平滑的圓錐形臉，並讓臉上的小痘痘長成兩個斐波納契數的螺旋組，這不光最省體力，而且還能保證你吃到的瓜子既飽滿又等大。

井井有條的習慣固然不可多得，但是人亂七八糟同樣可以活得很好；至於植物何以固執地摒棄無序、通過上萬年突變的積累進化出一張完美的數學臉，我只能嘆一句「神奇」作為回應。

當然，植物也有不喜歡圓錐臉龐的，另一個選擇就是乾脆長成四面八方都一樣的圓球形，小痘痘在圓錐表面那扭曲的斐波納契排布顯然不滿足球形那精美的輻射對稱性，於是便排成了矢車菊那樣的等距六邊形。

一次一個美國人給了我一顆草莓，我忍著強烈的飢餓將它供在了錐形瓶上。除了對轉基因和農藥心有餘悸，原來也是源自我對美的一種下意識敏感。不管味道如何，草莓好歹得是個圓錐形，小粒粒的種子需以斐波納契模式來排布；但是在這顆可憐的草莓上，廣大的面積卻是馬蹄、平面等等詭異的形狀，以至於斐波納契只在角落苟延殘踹。現在，科學家告訴我們，在受刺激（frustrated）的表面上會形成X形排布——幸好我當時留下照片為證。

————————————————————-

有人有疑問，上文所說的菜花和松果究竟是怎麼畫出幾個圈圈來的，請見下圖（順便附送我在北京照的大斐波納契套小斐波納契的菜花花）～

推薦閱讀：