盤點 ▏16年那些數量關係問題

06-12

數量關係之歸類多次相遇問題

一、直線異地多次相遇

甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發，相向而行,則其相遇過程如下：

【結論】從兩地同時出發的直線多次相遇過程中，第n次相遇時，路程和等於第一次相遇時路程和的(2n-1)倍，每個人走過的路程等於他第一次所走路程的(2n-1)倍。

例1：兩汽車同時從A、B兩地相向而行，在離A城52千米處相遇，到達對方城市後立即以原速沿原路返回，在離A城44千米處相遇。問A、B相城相距多少千米?

中公網校解析：第一次相遇時，兩車共走一個全程，從第一次相遇到第二次相遇時兩車共走兩個全程，從A城出發的汽車從第一次相遇時開始到第二次相遇時共走了52×2=104千米，從B城出發的汽車走了52+44=96千米，故兩城間距離為(104+96)÷2=100千米。

二、環形同地反向多次相遇

兩人在環形跑道上從同一地點同時相向而行，則他們的相遇過程如下：

【結論】從同地同時出發的環線多次相遇過程中，第n次相遇時，路程和等於第一次相遇時路程和的n倍，每個人走過的路程等於他第一次所走路程的n倍。

例2：老張和老王兩個人在周長為400米圓形池塘邊散步。老張每分鐘走9米，老王每分鐘走16米。現在兩個人從同一地點反方向行走，那麼出發後多少分鐘他們第二次相遇?

中公網校解析：環形多次相遇問題，每次相遇所走的路程和為一圈。因此第二次相遇時，兩人走過的路程和剛好是池塘周長的2倍。相遇時間=路程÷速度和，即400×2÷(9+16)=32分鐘。

排列組合之走樓梯問題

【例題1】

10級階梯，每次可以登上1級或者2級，請問有多少種走法?

【中公網校解析】我們先一步步看。假設要上第一級階梯，其方法數S1=1。假設要上第二級的階梯，要麼一級一級走，要麼一次走兩級，故其方法數為S2=2。上第三級階梯，其方法可以分成兩類：最後一步走1級和最後一步走兩級。如果確定最後一步走一級，即只需要算出走到第二級階梯的方法數,即S2。如果確定最後一步走兩級，即只需要算出走到第一級階梯的方法數,即S1。故S3=S1+S2。同理如果要上第4級階梯，S4=S2+S3。依次類推，我們可以得到一個一般性公式，Sn=Sn-1+Sn-2。按照該公式，可列表如下：

【例題2】

如圖所示為兩排蜂房，一隻蜜蜂從左下角的1號蜂房到8號蜂房，假設只向上或者右爬行，則不同走法有幾種?

【中公網校解析】到5號蜂房的方法數S1=1，到2號蜂房有兩種方法：1-5-2或者1-2，記S2=2 。到6號蜂房分成兩類：最後一步從5到6和最後一步從2到6，記到6號蜂房方法數為S3，得到公式S3=S1+S2。後面的蜂房也可以按照相同的方式類推，最終得到公式Sn=Sn-1+Sn-2，故其結果如下：

因此，最終答案為21。

成雙成對問題

【例題】有5對夫妻參加一項素質拓展活動，從中任選4人，則4人均不是夫妻的取法有( )種。

(A)120 (B)80 (C)150 (D)60

【中公網校解析】選B。第一步，4個人分別來自4對夫妻，從5對夫妻中選出4對，即

；第二步，從每對夫妻中各選1個人，即

，所以不同的取法有

種。

通過上面例題可看出，成雙成對問題一般是題目給出幾對夫妻、幾雙鞋子、幾雙手套或幾雙襪子，從中選出幾個或幾隻，並要求成對或不成對的問題。其求解思路是：無論是不是要求成對，第一步都是先按成對的來選，若要求不成對，再從不同的幾對裡面各選一個即可。

【模擬題演練】

從6雙不同的鞋子中任意取出3隻，3隻鞋子沒有成對的取法有()種。

(A)120 (B)150 (C)160 (D)180

【中公解析】答案選C。第一步，3隻鞋子分別來自3雙鞋，從6雙鞋中選出3雙，即

；第二步，從每雙鞋中各選1隻，即

;所以不同的取法有

種。

巧解和定最值問題
(一)正向求最值
1、求最大量的最大值：讓其他值盡量小。
例1：8名同學參加某項比賽，共得131分。已知每人的得分各不相同，且最高是21分，則最低分最低是( )
A 1 B 2 C 3 D 5
【中公解析】D。讀題,注意有各不相同字樣。排序，問第八名最低，責令其他儘可能的大。能確定的確定，最大的是21分，有各不相同字樣，則第二的最大有20分。依次下去
一二三四五六七八

21 20 19 18 17 16 15 X 根據八個人總分131，可求得X=5
2、求最小量的最小值：讓其他值盡量大。
例2：5個數的和為40，已知各個數各不相同，且最大的數是10分，則最小數最少是( )
A 1 B 3 C 4 D 6
【中公解析】D。讀題,注意有各不相同字樣。排序，問最小的最低，責令其他儘可能的大。能確定的確定，最大的是10分，有各不相同字樣，則第二的最大有9分。依次下去
一二三四五
10 9 8 7 X 根據5個數和為40，可求得X=6

工程問題

工程問題常考題型
(一)二人合作型

例題：有甲、乙兩項工程，張師傅單獨完成甲工程需6天，單獨完成乙工程需30天，李師傅單獨完成甲工程需18天，單獨完成乙工程需24天，若合作兩項工程，最少需要的天數為：
A.16天 B.15天 C.12天 D.10天
【答案】A。
【中公解析】李師傅先做乙工程，張師傅先用6天完成甲工程，之後與李師傅一塊完成一工程，所需天數最少，李師傅6天完成乙工程6×1/24=1/4，餘下的張師傅與李師傅一起合作需要(1-1/4)÷(1/30+1/24)=10天，即完成兩項工程最少需要6+10=16。
(二)多人合作型
例題：甲、乙、丙三個工程隊的效率比為6∶5∶4，現將A、B兩項工作量相同的工程交給這三個工程隊，甲隊負責A工程，乙隊負責B工程，丙隊參與A工程若干天后轉而參與B工程。兩項工程同時開工，耗時16天同時結束。問丙隊在A工程中參與施工多少天?
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】A。
【中公解析】由題意可設甲、乙、丙每日工作量分別為6、5、4，丙隊參與A工程x天。根據A、B工作量相同列方程，6×16+4x=5×16+4×(16-x)，解得x=6。

利潤問題

常用方法
1、方程法：關鍵是找到等量關係，一般設成本為X。
例：某商品按20%利潤定價，然後按8.8折賣出，共獲得利潤84元，求商品的成本是多少元?
A.1500 B.950 C.840 D.760
【中公解析】設成本是X元，根據「利潤=售價-成本」列方程，有X(1+20%)*0.88-X=84，解得X=1500。
2、特值法：一般設未知成本為特值，常設為100
例：去年 10 月份一台電腦的利潤率為 50%，11 月份降價 10%，後在 12 月份價格又上漲 5%，問 12 月份該電腦的利潤率為多少?
A.37% B.42% C.45% D.55%
【中公解析】設電腦的成本為「100」，則 10 月份訪電腦的售價為 100*(1+50%)=150，則 12 月份該電腦的價格為 150*(1-10%)*(1+5%)=141.75，因此 12 月份電腦的利潤率 =41.75%，選擇B項。
3、十字交叉法：利潤率的混合問題，類似於濃度混合問題。

例：一批商品，按期望獲得 50%的利潤來定價。結果只售出 70%的商品，為儘早售完剩下的商品，商店決定按定價打折銷售，這樣所獲得的全部利潤是原來的期望利潤的 82%，問打了幾折?
A.7 B.7.5 C.8 D.8.5
【中公解析】設打折後的利潤率為X%，應用十字交叉法，得
則得到(41-x)%/9%=70%/30%，解得X=20，所以打折後的利潤率是20%，根據公式打折率=(1+後來的利潤率)/(1+原來的利潤率)=(1+20%)/(1+50%)=0.8，即商品打了8折。
2017公務員聯考行測數量關係-橫向遞推
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