談學生良好數學認知結構的建立

學生在數學學習過程中習得的知識是如何在頭腦中組織的，學生問題解決的過程是如何思維和提取已有知識的？這些問題的成功回答對於數學教育將是意義重大的。學生知識組織、運用心理過程的明晰化可以使數學教育更加科學有效。數學認知結構的研究就是基於此理念的一個重要嘗試，數學認知結構的研究在數學教育界一直被廣泛關注，關於數學認知結構的研究主要集中於對數學認知結構的特徵、功能、意義的研究和闡述，並在此基礎上給予適當的教學建議。本文主要是在這些研究的基礎上，從心理學以及數學學科出發著重對良好數學認知結構的概念給與了闡述和分析，並在最後提出了「回答特定問題的方式」來幫助學生建構良好的數學認知結構的教學建議。一、數學認知結構概念的提出數學認知結構概念的提出源於認知心理學派從人類認知角度提出的認知結構的概念。「認知結構」的概念有不同的表述。布魯納認為：認知結構是所獲得的概念和思維能力的組合，皮亞傑用圖式描述認知結構。奧蘇貝爾則認為，認知結構就是學生頭腦中的知識結構。廣義地說，它是某一學習者觀念的全部內容和組織；狹義地說，它是學習者在某一特殊知識領域的觀念、內容和組織。心理學家認為，所謂認知結構就是貯存於個人長時記憶系統內的陳述性知識和程序性知識的實質性內容以及它們彼此之間的聯繫。對於數學認知結構的概念，目前大多數人認可和接受的是數學教育家曹才翰先生的提法：「數學認知結構就是學生頭腦中的數學知識被學生按照他自己理解的深廣度，結合自己的感覺、知覺、記憶、思維、聯想等認知特點，組合成的一個具有內部規律的整體結構」。二、良好數學認知結構概念的提出數學教學的本質就是學生在教師的引導下能動地建構數學認知結構，並使自己得到全面發展的過程。但是，學生在建立數學認知結構的過程中容易出現知識點的簡單堆砌，知識點之間內在的關係不能有效地把握。此方面的佐證就是一些學生在面對有些數學問題百思不得其解的情況下，在經別人講解之後卻恍然大悟，可見他們對於作對該題目的知識點儲備已夠，但是卻不知如何從自己的認知結構中提取和利用知識。可見數學教學還應該關注如何使學生在學習知識的同時構建組織良好的，可高效吸收和提取知識的認知結構，於是提出了良好數學認知結構的概念。正如曹才翰在《數學教育心理學》中所說的：「數學的中心任務就是要塑造學生的良好的數學認知結構，使之具有不斷吸收新的數學知識的能力和知識的自我生成能力」。三、良好數學認知結構的刻畫1.奧蘇貝爾曾經說過一句很著名的話：「每當我們致力於影響學生的認知結構，以便最大限度地提高有意義學習和保持時，我們就深入到了教育過程的核心。」可見奧蘇貝爾對認知結構的重視。奧蘇貝爾曾對良好認知結構的特徵做了如下的描述：第一，可利用性，即面對新的學習時，學生的認知結構中具有適當的、能夠起固定作用的觀念可以利用；第二，可辨別性，即當已有的認知結構同化新知識時，新舊觀念中的異同點可以清晰地辨別；第三，穩定性，即已有的起固定作用的觀念在認知結構中是牢固穩定的。奧蘇貝爾從學習新知識的角度提出的良好認知結構的特徵顯然對於數學新知識的學習也是同樣適用的。2.在文獻中，管鵬認為良好的數學認知結構應具備3個條件：①良好的數學認知結構應該是「雙向產生式」的認知結構。②良好的數學認知結構應該具有層次化、條理化的特點。③良好的數學認知結構應該與有效的思維策略相聯繫。在文獻中，何小亞從問題解決的角度認為良好認知結構應該具備：①足夠多的觀念這裡指的是具備足夠多的知識組塊。②具備穩定而又靈活的產生式。③層次分明的觀念網路結構。④穩定的問題解決策略的觀念。喻平則用CPFS結構闡述了一個具體的認知結構模型，並證明了該結構是數學特有的，而且是優良的數學認知結構。3.在總結和思考之下，可知良好的數學認知結構應該至少具備以下幾個特徵：(1)知識點精確牢靠，知識系統是系統化和結構化的。作為認知結構的最小單元的知識點的掌握應該是精確牢靠的，知識點的掌握的量應該是儘可能多的。但是良好的數學認知結構不是簡單的知識倉庫，堆放著許多零散的孤立的知識，它應該是一個有機的整體，知識之間有緊密的內在聯繫，它們互相滲透、相互蘊含、相互依存，並且按照一定的規律聯繫在一起，形成一個完整的知識網路；比如對於周期性、單調性、根、不等式等看似不相干的知識點，良好的認知結構會選擇函數這個大的概念來統領這些小概念，而不是將一個個概念孤立地存儲在認知結構中。知識系統中知識點的組織不僅僅只考慮學習的時間的相近程度，更重要的是在邏輯性原則之下的新舊知識的整體把握。知識間的聯繫是有規律的，這種規律是主體在數學學習過程中，不斷對知識進行加工、改造、組織後形成的，是一種主次分明、以主幹知識為骨架、條理清晰的知識網路；這些知識經過抽象、概括、歸類後，按抽象、概括、包攝程度的不同組成一個層次分明的結構。這種整體的結構具有較強的吸收和再生能力，有利於知識的運用、吸收和創造。(2)頭腦中存在相對完善的產生式系統，使得學生在面對數學問題時，能夠高效地從自己的認知結構中提取相關的解決問題的策略和知識點來解決問題；存儲著化歸問題的「如果要解決……，那麼需要解決……」「要解決……，只需要解決……」等豐富的產生式。比如，如果四邊形是平行四邊形，那麼它的對邊是平行和相等的；對角線是相互平分的；「要證明邊相等，即等價於證明所在的三角形全等；也可以直接算兩邊的長度；還可以利用等量傳遞a=b,b=c，就有a=c」，等等。只有認知結構中的知識以這種動態的「產生式系統存在」，學生的所學才不會僵化，不會面對問題不知從何下手，使得學生的思維在觸發條件的指引之下高效地找到對解題有幫助的知識和方法的「入口鑰匙」，而不是盲目地試誤和摸索。這使得數學問題更易化歸為已解決的或易解決的數學問題，使得解題有章可循。(3)具備吸納新知識和重組認知結構的意識和方法策略學生在學習新數學知識的時候，知道如何將新知識歸類存放在自己的認知結構的恰當位置上，知道如何選擇一個適合自己理解和運用知識的角度去整理自己的知識系統。這是豐富和重組更加優良的數學認知結構的關鍵所在，也正是積極的數學思維發生的過程。方法策略的具備可以指導個體在學習新知識和問題解決的過程中如何去著手思考，如何將新知識準確和高效地存儲在合適的位置，便於日後的提取和運用。這對於維繫和保持數學認知結構的優良性非常關鍵。四、建立良好數學認知結構的教學策略的再思考在建立良好認知結構的諸多研究中，研究者都結合自己的研究和見解給予了教學一些提示和建議。比如：「創設良好的問題情境」，「突出數學思想方法的教學」，「以核心知識為主線，對教學內容做出整體安排」，「綜合貫通，注重認知結構的整體構建」，「熟悉教材邏輯關係，充分展示知識的形成發展過程」，「提供變式材料，活化知識結構」。仔細思考發現，上述教學策略的提出就是就良好認知結構的標準提出的，體現了教師針對學生建立良好認知結構在課程素材的選擇、課程知識的講授上的努力。很顯然地是，上述教學策略的提出主要針對的是數學教師，對於改進教師的教學來說是值得借鑒的。但筆者認為，在幫助學生建立良好的數學認知結構的教學中，教學策略和方法的確立和實施不能單單地寄希望於教師的教上，學生才是真正的主角，在了解學生的原有認知結構的基礎之上最大程度地喚醒學生主動學習和思考數學的信念才是各種策略真正生效的關鍵所在。在此種意義上，筆者認為首要的是培養學生反思學習的意識和能力。不再「圍困在」教師一招一式地總結和自己死記硬背的機械學習里。使學生的腦子真正地全方位的高效地轉起來，一個很好的方法就是用回答特定問題的方式來激發學生的這種潛能。這裡的問題不局限於課堂的針對某個具體的知識點理解和應用的問題，而更側重於下述的兩個方面：其一，專題知識的總結和把握上：這一個過程往往是由教師代勞的，但是這並不比學生的親自操作進行整理思考有意義得多。舉個例子：在學生學完函數這一章之後，讓學生從自己的理解角度歸類總結整理函數的概念、圖象、性質。並鼓勵學生找出儘可能多的知識點之間的聯繫和亮點。其後拿出一定的時間讓學生集體分享和討論自己的「研究成果」。在這個主動學習的思考過程中，學生必然要積極地前後聯繫，積極反思，尋找更多的知識聯繫，不僅活化和建立了更多知識點之間的聯繫，也使學生的探究和合作意識得到應有的提高。其二，在解決問題時思維過程的暴露上：在數學解題過程中，有一種現象就是對於某些題目學生可以在不理解的情況下做出問題的答案，但對於「為什麼這樣解」，學生卻說不出個所以然來。這種無意識的或者稱為機械式的學習對於學生的良好數學認知結構的建立來說是極為不利的。我們倡導的是有意義地能動地學習。所以，在具體的解題訓練中，教師應該精選一些難度適中和活化學生思維的題目來向學生提出幾個問題，比如：「清楚地描述你的每一步是如何做的，解釋為什麼這樣做是合理的？」「你是如何用想到的先前知識去解決問題的？」「在你解題的過程中你是如何思考的？」這些問題的清楚解答的意義遠遠大於就題論題。老師們經常說的一句話：你能給別人把題目講清楚那才是真正地懂了的表現。換句話說，能把解題思路的探索、展開和進行說出個所以然才是真正的數學思維的騰飛。這樣的學習過程，不僅能夠使得知識點之間的聯繫更緊密，產生式系統更完善。更可貴的是學生不再止步於解出題目，而是開始真正的數學思維。馬來西亞大學的Noraini Idris老師在「通過學生書面問題的作答提高學生的積分的理解」一文中，通過實驗的方法讓實驗組的學生在學習積分課的同時，書面回答老師提出的諸如此類的問題，而非實驗組則按照傳統的教學方法施教。研究表明通過此種書面的學習方式一周時間之後的實驗組學生對於數學微積分知識學習的興趣態度都明顯好於非實驗組，更重要的一點是，學生對於學習概念的思考明顯增多，相應的數學成績也有比較顯著的提升。之所以書面的表達這些問題能收到如此的效果，關鍵是學生在學習新知識和解題的過程中回答此類問題，能夠專註地用自己可以理解的方式思考所應學的東西，從而喚起了學生的主體意識。與傳統的被動地接受教師的教授相比，這樣的教學模式更能激發學生的主體意識，促使他們積極地反思教與學的過程，讓自己的認知結構向更加有序、合理、完善的良好認知結構的方向發展。可以說只有真正喚醒學生的主體意識，培養學生積極地思考態度，才能建立符合自身個性特點的認知結構。就像布魯納所說的：按照一個人自己的興趣和認知結構組織起來的材料是最有希望從「記憶庫」中自由出入的材料。良好數學認知結構的研究雖然已經受到一線教師和數學教育研究者的廣泛關注，數學認知結構的理論在不斷豐富。但是不得不承認的是，對於真正的學生建構認知結構的心理過程還不十分清楚，所研究的理論多停留于思辨程度，缺乏實踐性的證，明。這也是本文的不足之處。良好認知結構的建立還需要真正深入探索學生具體建構數學知識的心理過程，在實踐中摸索更高效地幫助學生建構良好認知結構的方法和策略。

推薦閱讀：