構造平行四邊形證題的技巧

一. 構造平行四邊形證兩線段平行

例1. 已知如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC和BD交於O，E、F分別為OB、OD的中點，過O任作一直線分別交AB、CD於G、H。

求證：GF//EH。

證明：連結GE、FH

四邊形ABCD是平行四邊形

又

四邊形EHFG是平行四邊形

二. 構造平行四邊形證兩線段相等

例2. 如圖，

中，D在AB上，E在AC的延長線上，BD=CE連結DE，交BC於F，∠BAC外角的平分線交BC的延長線於G，且AG//DE。

求證：BF=CF

分析：過點C作CM//AB交DE於點M，可以證明BD=CM，然後再利用平行四邊形的性質得到BF=CF

證明：過點C作CM//AB交BE於點M，連接BM、CD，則∠CME=∠ADE

四邊形BMCD為平行四邊形

故BF=CF

三. 構造平行四邊形證線段的不等關係

例3. 如圖，AD是

的邊BC上的中線，求證：

分析：欲證

，即要證

，設法將2AD、AB、AC歸結到一個三角形中，利用三角形任意兩邊之和大於第三邊來證明。注意到AD為

的中線，故可考慮延長AD到E，使DE=AD，則四邊形ABEC為平行四邊形。從而問題得證。

證明：延長AD到E，使DE=AD，連結BE、EC

摘要:四邊形ABEC是平行四邊形 在 中，AEAB+BE 即2ADAB+AC 點評：此題是利用三角形三邊關

四邊形ABEC是平行四邊形

在

中，AE<AB+BE

即2AD<AB+AC

點評：此題是利用三角形三邊關係定理、平行四邊形的判定，通過延長中線將證明三角形中三條線段間的不等關係，轉化為三角形三邊之間的關係，從而使問題迎刃而解。

四. 構造平行四邊形證線段的倍分關係

例4. 如圖，分別以

中的AB、AC為邊向外作正方形ABEF和正方形ACGH，M是BC的中點，求證：FH=2AM

證明：延長AM到D，使MD=AM，連結BD、CD，

是BC的中點

四邊形ABDC為平行四邊形

又AF=BA，AH=AC=BD

故FH=2AM

五. 構造平行四邊形證兩線段互相平分

例5. 平面上三個等邊三角形

兩兩共有一個頂點，如圖所示，求證：CD與EF互相平分

分析：要證CD與EF互相平分，須證四邊形DFCE是平行四邊形

證明：連結DE、DF、AF易知AD=AB=BD

又AE=AC，AD=AB

∠DAE=60°－∠EAB=∠BAC

四邊形DECF是平行四邊形

故CD與EF互相平分

六. 構造平行四邊形證角的不等關係

例6. 如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，對角線AC>BD摘要:求證：DBCACB 證明：過點D作DE//AC交BC的延長線於點E，則四邊形ACED是平行四邊形 又

求證：∠DBC>∠ACB

證明：過點D作DE//AC交BC的延長線於點E，則四邊形ACED是平行四邊形

又

在

中，∠DBE>∠E

七. 構造平行四邊形證線段的和差關係

例7. 如圖，

中，點E、F在邊AB上，AE=BF，ED//AC//FG，求證：ED+FG=AC

證明：過E作EH//BC交AC於H

四邊形CHED為平行四邊形

又AE=BF，

同步練習：

1. 如圖1，在梯形BCED中，DE//BC延長BD、CE交於A，在BD上截取BF=AD。過F作FG//BC交EC於G，求證：DE+FG=BC。

2. 如圖2，

中，AB=AC，E是AB上一點，F是AC延長線上一點，BE=CF，EF交BC於D。

求證：DE=DF

3. 如圖3，平行四邊形ABCD中，E、G、F、H分別是四條邊上的點，且AE=CF，BG=DH，求證：EF與GH互相平分

4. 如圖4，已知AB=AC，B是AD的中點，E是AB的中點，求證CD=2CE

5. 已知：如圖5在四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC，點E在BC上，點F在AD上，AF=CE，EF與對角線BD相交於點O，求證：O是BD的中點。

提示：

1. 過點F作FM//AC交BC於點M，則有平行四邊形FMCG。

2. 過E作EG//AC交BC於G，連結CE、GF。摘要:3. 連結FH、HE、EG、GF 4. 延長CE至F，使EF=CE，連結AF、BF。 5. 連結BF

3. 連結FH、HE、EG、GF

4. 延長CE至F，使EF=CE，連結AF、BF。

5. 連結BF、DE

四邊形ABCD是平行四邊形

又

四邊形BEDF是平行四邊形

O是BD的中點
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