趣味數學：神奇的「缺8數

06-10

自然數12345679被稱為「缺8數」。

清一色：12345679×9的倍數

　　12345679×9＝111111111

　　12345679×18＝222222222

　　12345679×27＝333333333

　　12345679×36＝444444444

12345679×45＝555555555

　　12345679×54＝666666666

　　12345679×63＝777777777

　　12345679×72＝888888888　

　　12345679×81＝999999999

三位一體：12345679×3的倍數

　　12345679×12＝148148148

　　12345679×15＝185185185

　　12345679×33＝407407407

　　12345679×57＝703703703

　　12345679×78＝962962962

輪流休息：當乘數不是9或3的倍數時，此時雖然沒有清一色或三位一體的現象，但仍可以看到一種奇異性質：乘積的各位數字均無雷同，缺少1個數字，而且存在著明確的規律。另外，在乘積中缺3、缺6、缺9的情況肯定不存在。例如乘數在區間10，17的情況（其中12和15因是3的倍數，予以排除）乘數在19，26及其他區間（區間長度等於7）的情況與此完全類似。乘積中缺什麼數，就像工廠或商店中職工「輪休」，人人有份，既不多也不少，實在有趣。

　　12345679×10＝123456790（缺8）

　　12345679×11＝135802469（缺7）

　　12345679×13＝160493827（缺5）

　　12345679×14＝172839506（缺4）

　　12345679×16＝197530864（缺2）

　　12345679×17＝209876543（缺1）

一以貫之：當乘數超過81時，乘積將至少是十位數，但上述的各種現象依然存在，真是「吾道一以貫之」。例如：

乘數為9的倍數　　

12345679×243＝2999999997

　　只要把乘積中最左邊的一個數2加到最右邊的7上，仍呈現「清一色」。

　　乘數為3的倍數，但不是9的倍數

　　12345679×84＝1037037036

　　只要把乘積中最左邊的一個數1加到最右邊的6上，又出現「三位一體」。

　　乘數為3K＋1或3K＋2型

　　12345679×98＝1209876542

　　表面上看來，乘積中出現雷同的2，但只要把乘積中最左邊的數1加到最右邊的2上去之後，所得數為209876543，是「缺1」數，仍是輪流休息。

走馬燈：當缺8數乘以19時，其乘數將是234567901，像走馬燈一樣，原先居第二位的數2卻成了開路先鋒。例如：

　　12345679×19＝234567901

　　12345679×28＝345679012

　　12345679×37＝456790123

　　深入的研究顯示，當乘數為一個公差等於9的算術級數時，出現「走馬燈」的現象。例如：

　　12345679×8＝98765432

　　12345679×17＝209876543

　　12345679×26＝320987654

　　12345679×35＝432098765

迴文結對，攜手同行：缺8數的精細結構引起研究者的濃厚興趣，人們偶然注意到：

　　12345679×4＝49382716

　　12345679×5＝61728395

　　前一式的數顛倒過來讀，正好就是後一式的積數。（雖有微小的差異，即5代以4，而根據「輪休學說」，這正是題中應有之義）

　　這樣的「迴文結對，攜手並進」現象，對13、14、22、23、31、32、40、41等各對乘數（每相鄰兩對乘數的對應公差均等於9）也應如此。例如：

　　12345679×22＝271604938

　　12345679×23＝283950617

　　前一式的數顛倒過來讀，正好是後一式的積數。（後一式的2移到後面，並5代以4）

追本求源：缺8數12345679實際上與循環小數是一根藤上的瓜，因為：

　　1/81＝0.012345679012345679012345679……，缺8數和1/81的循環節有關。

　　在以上小數中，為什麼別的數碼都不缺，而唯獨缺少8呢？

　　我們看到，1/81＝1/9×1/9，把1/9化成循環小數，其循環節只有一位，即1/9＝0.111111111……

　　1/9×1/9，即無窮個1的自乘。不妨先從有限個1的平方來看：

　　很明顯，11的平方＝121，111的平方＝12321，……，直到111111111的平方＝12345678987654321。

　　但現在是無窮個1的平方，長長的隊伍看不到盡頭，怎麼辦呢？

利用數學歸納法，不難證明，在所有的層次，8都被一一跳過。

　　那麼，缺8數乘以9的倍數得到「清一色」就很好理解了，因為：

　　1/81×9＝1/9＝0.111111111……

　　缺8數乘以3的倍數得到「三位一體」也不難理解，因為：

　　1/81×3＝1/27＝0.037037037……，一開始就出現了三位的循環節。

　　缺8數乘以公差為9的等差數列時相當於在原有基礎上每位數加1，自然就出現「走馬燈」了。

　　循環小數與循環群、周期現象的研究方興未艾，缺8數已引起人們的濃厚興趣與密切關注。由於計算機科學的蓬勃發展，人們越來越不滿足於泛泛的幾條性質，而更著眼於探索其精微的結構。

八進位和十六進位的缺8數：　　也許有人以為缺八數是10進位下的特有情況，但事實是，在8進位和16進位下也有類似的數字出現。

　　8進位下的缺8數為：123457

　　123457×7=1111111

　　在8進位下，7的2倍不是14，而是16

　　123457×16=2222222

　　123457×25=3333333等等

　　10進位中缺8數關於乘數3的性質是由關於乘數9的性質衍生而來的，在8進位中沒有類似的性質。

　　16進位中缺8數為：123456789abcdf

　　123456789abcdf×f=111111111111111

　　如前所述，缺8數的出現與循環小數有密切的聯繫。

　　在任何一種進位中，1除以最大的個位數，得到的都是0.1111...無限循環的小數，缺8數的全部性質理論上應該都能由此推出。

　　可以認為，缺8數的性質是由進位的規則決定的，是進位性質的反應。