從有趣的五位數，看枚舉法的應用

小編有話說

　　下面是一個很有趣的數學題，題目內容是這樣的：用1，2，3，4，5排成一個五位數，使任兩個相鄰數碼之差至少是2，則這樣的五位數有多少個？如果你沒有思路，就可以在紙上畫畫，數一下。數學加編輯只能提示到這裡了！

分析與解答

答案：這樣的五位數有14個。

法一：特殊位置枚舉法

先把最中間的數（即百位）固定下來。

百位為1，兩側的數字組合可以是2、4和3、5，2不可以與1相鄰，3和5都可以與1相鄰，故有4種不同的組合；

百位為2，兩側的數字組合可以是1、4和3、5，1和3都不可與2相鄰，故有2種不同組合；

百位為3，兩側的數字組合可以是1、4和2、5，2和4都不可與3相鄰，故有2種不同組合；

百位為4，分析同百位為2時，2種不同組合；

百位為5，分析同百位為1時，4種不同組合。

所以一共有4＋2＋2＋2＋4=14種不同組合。

法二：特殊數字枚舉法

考慮3的左右只能是1和5，那麼固定3的位置。

3在百位，1和5固定在3左右，那麼2和4也唯一固定，有2種組合；

3在千位，無論1或5在百位，2和4也唯一固定，有2種組合；

3在萬位，千位要麼是1，要麼是5，可以是31425、31524、35241、35142，有4種組合；

考慮鏡像，3在十位同千位，有2種組合，3在個位同萬位，有4種組合。一共14種。

法三：圓環法

將1-5五個數字寫在一個圓環上，要滿足題目要求，那麼圓環上數字滿足兩種情況：

a）任意相鄰兩數差至少是2；

b）只有一對相鄰數字差是1。

滿足a只有一種可能：1 3 5 2 4，考慮開頭數字和順逆時針，共10種；

滿足b的有兩種：2 3 5 1 4和3 4 2 5 1，考慮順逆時針，共4種。

一共14種。