牛頓第二定律與動量定理芻議

在高中《物理》教材中，動量定理F·t＝mv₂－mv₁，是由牛頓第二定律F＝ma推導出來的，那麼應如何準確地理解動量定理與牛頓第二定律呢？本文做一初淺的探討。

一、動量定理是牛頓第二定律原來採用的形式

在牛頓提出運動第二定律之前，伽利略在批判亞里士多德的力與速度的依賴關係的基礎上，提出了力與加速度的依賴關係，但是他沒有也不可能在當時的條件下發現作用力與加速度之間的定量關係。在1684年8月之後，牛頓用幾何法和極限概念論證了引力平方反比律，在為解決萬有引力是否跟質量成正比的問題時，他發現了運動第二定律，具體的記載有兩處，一處是在「論物體的運動」一文手稿中寫道：「…動力與加速度的力之比等於運動與速度之比。因為運動的量是由速度乘以物質的量導出的…」。另一處是在《自然哲學的數學原理》的定義Ⅷ中給出的：「因為運動的量是由速度乘以物質的量求出來的，並且動力是由加速度的力乘以同一物質之量求出來的，物體的幾個粒子上的加速的力的作用總和就是整個物體的動力」。上面兩段話中，「加速的力」指的是加速度，「運動」「運動的量」指的是動量，「動力」指的是與加速度對應的作用力，「物體」「物質的量」就是質量。由此可知，牛頓在《自然哲學的數學原理》一書中已明確提出動量的定義：「運動量是用它的速度和質量一起來量度的」，「並把動量的變化率稱之為力」，「他又用動量來表述運動第二定律」。綜上所述，牛頓其實已經提出了運動第二定律的文字表述：作用力與加速度成正比。但當時牛頓並沒有明確地用公式（F＝ma）表述出來，牛頓第二定律原來採用的形式是

力F、質量m、速度v和時間t這四個物理量，選擇適當的單位，可使比例係數k＝1，這時，牛頓第二定律可表示為

　①

因此，牛頓第二運動定律的真實表述應該是物體所受外力等於其動量對時間的變化率。①式也叫做牛頓第二定律的微分形式。《自然哲學的數學原理》已經提出了作用力與加速度成正比，但當時牛頓並沒有將公式①直接用F＝ma表述出來，這是為什麼呢？我國研究牛頓的資深學者閻康年先生在他的專著《牛頓的科學發現與科學思想》中專門研究了牛頓的質量觀：「牛頓對質量概念的認識分靜質量和動質量兩個方面。靜質量就是牛頓在《自然哲學的數學原理》中所說的由物體的重量知道的，並與其重量成比例的物質之量；動質量就是牛頓說的物質得以繼續保持其運動狀態而對外力反抗的一種內在固有的力。」這就是說牛頓知道物體的質量也是個變數，只是在當時牛頓還不可能提出靜質量和動質量的概念，因此牛頓沒有將m從微分號中拿出來。「也許在那時，牛頓就在冥冥之中預感到物理學未來的發展，於是就在自己的偉大發現中留下了一條耐人尋味的退路。」

奧地利科學家馬赫為了普及、推廣牛頓力學的應用，改寫了牛頓第二定律的形式，他把質量m從微分號內提了出來，免去了微分運算，並把牛頓第二定律表述為

F＝ma　②

用力F，加速度a與質量m等概念來表述牛頓第二定律，將牛頓第二定律通俗化，使具有初等數學水平的人也可以掌握。這樣做，對牛頓第二定律的普及和推廣確實起到了巨大的推動作用，但同時因馬赫把質量m當做常量而給後人準確地理解牛頓第二定律，特別是理解牛頓力學與狹義相對論間的正確關係造成了深遠的影響。

二、在經典力學中F＝ma與動量定理

是完全等效的

①式既是牛頓第二定律原來採用的表達式，又是動量定理的微分表達式。由此可見，質點的動量定理就是牛頓第二定律原來採用的形式。對於單個質點，動量定理的積分表達式為

當力F和質量m恆定不變時，設t＝t₂－t₁，得

Ft＝mv₂－mv₁ ③

對於由N個質點組成的質點系，由於質點系的內力只能引起各個質點的動量變化，不能引起總動量的變化，因此有

④

式中m_n表示質點系中第n個質點的質量，v_n1和v_n2分別表示第n個質點在時間t₂－t₁內的初速度和末速度，F_n表示第n個質點所受的外力。將④式兩邊對t取導數，得

⑤

這就是質點系的質心運動定律。M是質點系的總質量，a_c是質點系質心的加速度。

在經典力學範圍內，因為質量m恆定不變，牛頓第二定律F＝ma與動量定理F·t＝mv₂－mv₁，是完全等效的，動量定理是從動量的角度對牛頓第二定律進行表述。在相對論力學中

⑥

式中m₀為質點的靜止質量（簡稱靜質量），v和c分別表示質點的速率和真空中的光速。由⑥式可知質點的相對論質量（簡稱動質量）隨質點速率的增大而增大。當v遠遠地小於c時，可認為質點的質量不變，這時動量定理與牛頓第二定律是等效的。牛頓第二定律的兩種形式也是等效的。當v接近到c時，F＝ma和Ft＝mv₂－mv₁，不再成立，但牛頓第二定律（或動量定理）的微分形式

仍然成立。由此可見，

比F＝ma和Ft＝mv₂－mv₁具有更廣泛的適用性和更普遍的意義。

動量定理的微分形式其實也是牛頓第二定律的另一種表述，牛頓第二定律和動量定理都反映了外力作用與物體運動狀態變化的因果關係。但動量定理的積分形式比牛頓第二定律的經典形式F＝ma賦予了新的內涵。

牛頓第二定律是牛頓力學的核心內容，它揭示了力是產生加速度的原因，力的作用效果是使物體產生加速度，並用ma來量度力F的作用效果；揭示了加速度跟力的瞬時關係，即加速度跟力即時（同時產生、同時變化、同時消失）、正比、同向；揭示了合外力的大小和方向決定了物體動量變化快慢的規律。

動量定理則揭示了衝量是引起運動狀態改變的原因，物體由於受到衝量的作用，導致物理動量的變化，並用衝量來量度物體動量的變化，即衝量決定了物體動量變化的多少，作用在質點上的合外力衝量的矢量和或各外力衝量的矢量和等於質點動量的增量；揭示了一個物理過程中各物理量間的過程關係；揭示了力作用一段時間的過程中，合外力的衝量與物體初、末的動量變化間的矢量關係。

例1　如圖1所示，光滑水平面上停著一隻木球和載人小車，人與車的總質量為M，木球質量為m，而且知道M／m＝16／1。人以速度v沿水平方向將木球推向豎直牆，球又以速率v彈回，人接球後再以速率v將木球推向牆，如此反覆。問：人經幾次推木球後，再也不能接住木球？

解析　木球反彈回來的速率始終為v，當人與車的速率增加到v時，則人將不能再接住木球。取木球、人與車組成的系統為研究對象，則這個系統原來的總動量為零，末動量為（m＋M）v。系統動量的增量為ΔP＝（m＋M）v。人與球間的推力只能引起球和人與車的動量變化，不能引起總動量的變化，由④式可知，衝量是物體動量變化的量度，作用在質點系所有外力衝量的矢量和，等於質點系在這段時間內動量的增量。由於這個系統所獲得的動量是由木球受到牆的碰撞而得到的，牆對系統的衝量改變了系統的總動量。如圖2所示，設向右為正，木球與牆碰撞一次所獲得的衝量為

設木球與牆碰n次之後。系統的動量為（m＋M）v，根據動量定理，有

所以

故取　n＝9。

若用動量守恆定律或牛頓第二定律F＝ma求解，求解過程更複雜。

三、牛頓第二定律的微分形式與狹義相對論動力學方程是一致的

在相對論力學中，力也是被定義為動量p對時間的變化率，即

　　⑦

①、⑦式實際上是一致的，只是由於受當時條件的限制，牛頓不可能清楚地知道靜質量與動質量之間的區別和精確的定量關係，但是在他的腦海里是清楚地知道，一個物體的速度是和它的質量存在某種聯繫，因此有人大膽地斷言：「動質量和速度構成統一變數的思想是牛頓力學中辯證法的靈魂，也是牛頓力學中早就蘊涵的相對論因素」。

四、動量定理Ft＝mv₂－mv₁，比牛頓第二定律F＝ma更具有普遍意義

動量定理與牛頓第二定律相比較，有其獨特的優點：在公式Ft＝mv₂－mv₁，中，只涉及兩個狀態量mv₂和mv_１，及一個過程量F·t，至於這兩個狀態中間是怎樣的過程，軌跡怎樣，加速度怎樣，位移怎樣全不考慮。在力F作用的過程中不管物體是做直線運動還是曲線運動，動量定理總是適用的。動量定理除了用來解決在恆力持續作用下的問題外，尤其適合用來解決變力問題，對涉及衝力、碰撞、反衝運動的問題，由於力和加速度在極短的時間內急劇變化，不便於用牛頓第二定律求解，而可以用動量定理來處理。當物體在運動過程中所受的力不同時，則用動量定理求解更簡捷。因此從某種意義上講，應用動量定理解題比牛頓第二定律更直接，更簡單，適用性更強。

例2　質量為M的金屬塊和質量為m的木塊通過細線系在一起，從靜止開始以加速度a在水中下沉，經過時間t₁線斷了，金屬塊與木塊分開，如圖3所示。再經過時間t₂，木塊停止下沉，此時金屬塊的速度v多大（設此時金屬塊還沒有碰到水池底面）？

解析　取金屬塊和木塊組成的系統為研究對象，系統所受的浮力為F，依題意，由牛頓第二定律得

線斷前，金屬塊和木塊除了受到重力、浮力外，還受到了細線的拉力作用；線斷後，金屬塊和木塊只受重力和浮力，由於金屬塊和木塊在細線斷了前後的兩個階段所受的力不相同，若用F＝ma求解，物理過程比較煩瑣。因細線斷後系統所受的浮力不變，將系統作為研究對象，當木塊停止下沉，即速度為零時，針對整個運動過程，由④式得

由以上兩式可得　

例3　一枚質量為M的火箭，依靠向正下方噴氣在空中保持靜止，如果噴出的氣體的速度為v，那麼火箭發動機的功率是多少？

解析　火箭噴氣時，要對氣體做功，取一段很短的時間Δt，求出此時間內火箭對氣體做的功，再代入功率的定義式即可求出此火箭的功率。取在△t時間內噴出的氣體為研究對象，設火箭推氣體的力為F，根據動量定理，有

根據牛頓第三定律，氣體對火箭的作用力大小也等於F，因為火箭靜止在空中，由於M>>m，可認為火箭的總質量不變，所以F＝Mg，代入上式得，可得

由動能定理得，火箭對氣體做的功為

所以發動機的功率為

五、牛頓第二定律和動量定理只適用於慣性參考系

在自然界中，不是所有的力學規律在任何參考系中都成立，因此研究力學問題要選擇參考系。同樣，牛頓第二定律和動量定理並不是在任意參考系中都是適用的，因此應用牛頓第二定律和動量定理時，參考系不能任意選擇。牛頓第二定律及動量定理只適用於慣性參考系，如果在非慣性系中應用牛頓第二定律和動量定理，必須考慮慣性力的影響。

參考文獻:

1 林輝．還牛頓第二定律的本來面目［J]．現代物理知識，2003，（4）：12

2 漆安慎．力學基礎［M]．北京：人民教育出版社，1982．150～151

3 人民教育出版社物理室．物理教師手冊[M］．北京：人民教育出版社，1998．14～574