神奇的「缺8數」

12345679，這個數里缺少8，我們把它稱為「缺8數」。

開始，我以為這「缺8數」只有「清一色」的奇妙。誰知經過一番資料的查找，竟發現它還有許多讓人驚訝的特點。

一，清一色

菲律賓前總統馬科斯偏愛的數字不是8，卻是7。

於是有人對他說：「總統先生，你不是挺喜歡7嗎？拿出你的計算器，我可以送你清一色的7。」

接著，這人就用「缺8數」乘以63，頓時，777777777映入了馬科斯先生的眼帘。

「缺8數」實際上並非對7情有獨鍾，它是一碗水端平，對所有的數都一視同仁的：

你只要分別用9的倍數（9，18……直到81）去乘它，則111111111，222222222……直到999999999都會相繼出現。

12345679×9 =111111111

12345679×18=222222222

12345679×27=333333333

12345679×36=444444444

12345679×45=555555555

12345679×54=666666666

12345679×63=777777777

12345679×72=888888888

12345679×81=999999999

二，三位一體

「缺8數」引起研究者的濃厚興趣，於是人們繼續拿3的倍數與它相乘，發現乘積竟「三位一體」地重複出現。

12345679×12=148148148

12345679×15=185185185

12345679×21=259259259

12345679×30=370370370

12345679×33=407407407

12345679×36=444444444

12345679×42=518518518

12345679×48=592592592

12345679×51=629629629

12345679×57=703703703

12345679×78=962962962

12345679×81=999999999

這裡所得的九位數全由「三位一體」的數字組成，非常奇妙！

三，輪流「休息」

當乘數不是3的倍數時，此時雖然沒有「清一色」或「三位一體」現象，但仍可看到一種奇異性質：

乘積的各位數字均無雷同。缺什麼數存在著明確的規律，它們是按照「均勻分布」出現的。

另外，在乘積中，缺3、缺6、缺9的情況肯定不存在。

先看一位數的情形：

12345679×1=12345679（缺0和8）

12345679×2=24691358（缺0和7）

12345679×4=49382716（缺0和5）

12345679×5=61728395（缺0和4）

12345679×7=86419753（缺0和2）

12345679×8=98765432（缺0和1）上面的乘積中，都不缺數字3，6，9，而都缺0。缺的另一個數字是8,7,5,4,2,1，且從大到小依次出現。

讓我們看一下乘數在區間[ 10～17 ]的情況，其中12和15因是3的倍數，予以排除。

12345679×10=123456790（缺8）

12345679×11=135802469（缺7）

12345679×13=160493827（缺5）

12345679×14=172869506（缺4）

12345679×16=197530864（缺2）

12345679×17=209876543（缺1）

以上乘積中仍不缺3，6，9，但再也不缺0了，而缺少的另一個數與前面的類似——按大小的次序各出現一次。

乘積中缺什麼數，就像工廠或商店中職工「輪休」，人人有份，但也不能多吃多佔，真是太有趣了！

乘數在[19～26]及其他區間（區間長度等於7）的情況與此完全類似。

12345679×19=234567901（缺8）

12345679×20=246913580（缺7）

12345679×22=271604938（缺5）

12345679×23=283950617（缺4）

12345679×25=308641975（缺2）

12345679×26=320987654（缺1）

一以貫之當乘數超過81時，乘積將至少是十位數，但上述的各種現象依然存在。

再看幾個例子：

（1）乘數為9的倍數

12345679×243=2999999997，只要把乘積中最左邊的一個數2加到最右邊的7上，仍呈現「清一色」。 又如：

12345679×108=1333333332（乘積中最左邊的一個數1加到最右邊的2上，恰好等於3）

12345679×117=1444444443（乘積中最左邊的一個數1加到最右邊的3上，恰好等於4）

12345679×171=2111111109（乘積中最左邊的一個數2加最右邊的「09」，結果為11）

（2）乘數為3的倍數，但不是9的倍數

12345679×84=1037037036，只要把乘積中最左邊的一個數1加到最右邊的6上，又可看到「三位一體」現象。

（3）乘數為3k+1或3k+2型

12345679×98=1209876542，表面上看來，乘積中出現雷同的2；

但據上所說，只要把乘積中最左邊的數1加到最右邊的2上去之後，所得數為209876543，是「缺1」數。

而根據上面的「學說」可知，此時正好輪到1休息，結果與理論完全吻合。

四，走馬燈

冬去春來，24個節氣仍然是立春、雨水、驚蟄……其次序完全不變，表現為周期性的重複。

「缺8數」也有此種性質，但其乘數是相當奇異的。

實際上，當乘數為19時，其乘積將是234567901，像走馬燈一樣，原先居第二位的數2卻成了開路先鋒。

深入的研究顯示，當乘數成一個公差等於9的算術級數時，出現「走馬燈」現象。

現在，我們又把乘數依次換為10，19，28，37，46，55，64，73（它們組成公差為9的等差數列）：

12345679×10=123456790

12345679×19=234567901

12345679×28=345679012

12345679×37=456790123

12345679×46=567901234

12345679×55=679012345

12345679×64=790123456

12345679×73=901234567

以上乘積全是「缺8數」！數字1，2，3，4，5，6，7，9像走馬燈似的，依次輪流出現在各個數位上。

五，迴文結對攜手同行

「缺8數」的「精細結構」引起研究者的濃厚興趣，人們偶然注意到：

12345679×4=49382716

12345679×5=61728395

前一式的積數顛倒過來讀（自右到左），不正好就是後一式的積數嗎？

（但有微小的差異，即5代以4，而根據「輪休學說」，這正是題中的應有之義。）

這樣的「迴文結對，攜手並進」現象，對13、14、31、32等各對乘數（每相鄰兩對乘數的對應公差均等於9）也應如此。

例如：

12345679×13=160493827

12345679×14=172839506

12345679×22=271604938

12345679×23=283950617

12345679×67=827160493

12345679×68=839506172

六，遺傳因子

「缺8數」還能「生兒育女」，這些後裔秉承其「遺傳因子」，完全承襲上面的這些特徵。

所以這個龐大家族的成員幾乎都同其始祖12345679具有同樣的本領。

例如，506172839是「缺8數」與41的乘積，所以它是一個衍生物。

我們看到，506172839×3=1518518517。

將乘積中最左邊的數1加到最右邊的7上之後，得到8。如前所述，「三位一體」模式又來到我們面前。

我們繼續做乘法：

12345679×9=111111111

12345679×99=1222222221

12345679×999=12333333321

12345679×9999=123444444321

12345679×99999=1234555554321

12345679×999999=12345666654321

12345679×9999999=123456777654321

12345679×99999999=1234567887654321

12345679×999999999=12345678987654321

奇蹟出現了！等號右邊全是迴文數（從左讀到右或從右讀到左，同一個數）。

而且，這些迴文數全是「階梯式」上升和下降，神奇、優美、有趣！

因為12345679=333667×37，所以「缺8數」是一個合數。

「缺8數」和它的兩個因數333667、37，這三個數之間有一種奇特的關係。

一個因數333667的首尾兩個數3和7、就組成了另一個因數37；

而「缺8數」本身數字之和1+2+3+4+5+6+7+9也等於37。

可見「缺8數」與37天生結了緣。

更令人驚奇的是，把1/81化成小數，這個小數也是「缺8數」：

1/81=0.012345679012345679012345679……

為什麼別的數字都不缺，唯獨缺少8呢？

原來1/81=1/9×1/9=0.1111…×0.11111….

這裡的0.1111…是無窮小數，在小數點後面有無窮多個1。

「缺8數」的奇妙性質，集中體現在大量地出現數學循環的現象上，而且這些循環非常有規律，令人驚訝。

「缺8數」的奇特性質，早就引起了人們的濃厚興趣。而它其中還有多少奧秘，人們一定會把它全部揭開。

「缺8數」太奇妙了，讓我這個對數學沒啥興趣的人也忍不住要大加讚美啊！

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