數學是發明還是發現的？

「數學有用」是天經地義，然而，數學到底是人發明的，還是被人發現的？天體物理學界的一位領軍人物，回答了這個讓眾多學者糾結數千年之久的問題。

撰文 馬里奧·利維奧（Mario Livio）

翻譯 郭凱聲

本文作者 馬里奧· 利維奧是美國空間望遠鏡科學研究所的理論天體物理學家，對於各種宇宙現象有廣泛的研究，包括暗能量、超新星爆發、太陽系外行星以及白矮星、中子星和黑洞等。

科學家能夠推導出描述亞原子現象的公式，工程師可以計算出航天器的飛行軌跡，皆得益於數學的魅力。伽利略第一個站出來力挺「數學乃科學之語言」這一觀點，而我們也接受了他的看法，並期望用數學的語法來解釋實驗結果，乃至預測新的現象。不管怎麼說，數學的神通都令人瞠目。看看蘇格蘭物理學家麥克斯韋（James Clerk Maxwell）那個著名的方程組吧。麥克斯韋方程組的4個方程，不僅囊括了19世紀60年代時所有已知的電磁學知識，而且還預測了無線電波的存在，此後又過了差不多20年，德國物理學家赫茲（Heinrich Hertz）才通過實驗探測到電磁波。能夠將如此海量的信息以極其簡練、精準的方式表述出來的語言，可謂鳳毛麟角。無怪乎愛因斯坦會發出這樣的感嘆：「數學本是人類思維的產物，與實際經驗無關，緣何卻能與具有物理現實性的種種客體吻合得如此完美，令人叫絕呢？」

1960年，諾貝爾獎得主、物理學家尤金·魏格納（Eugene Wigner）以「有用得說不通」來闡述數學的偉大，而作為一位活躍的理論天體物理學家，我在工作中也感同身受。無論我是想要弄清名為Ia型超新星（Ia supernovae）的恆星爆炸產生自哪種前身天體系統，還是推測當太陽最終變成紅巨星時地球的命運，我使用的工具以及所建立的模型都屬於數學範疇。數學對自然界的詮釋是如此不可思議，令我在整個職業生涯中為之神魂顛倒，為此，我從大約10年前起下定決心要更加深入地探究這個問題。

這道難題的核心，在於數學家、物理學家、哲學家及認知科學家多少世紀以來一直爭論的一個話題：數學究竟是如愛因斯坦所堅信的那樣，是人們發明出來的一套工具，還是本來就已經存在於抽象世界中，不過被人發現了而已？愛因斯坦的觀點源自於所謂形式主義（Formalism）學派，許多偉大的數學家，包括大衛·希爾伯特（David Hilbert）、格奧爾格·康托爾（Georg Cantor），以及布爾巴基學派的數學家，都與愛因斯坦看法一致。但其他一些傑出精英，如戈弗雷·哈羅德·哈代（Godfrey Harold Hardy）、羅傑·彭羅斯（Roger Penrose）以及庫爾特·哥德爾（Kurt G?del），則持相反觀點，他們信奉柏拉圖主義（Platonism）。

這場有關數學本性的辯論如今仍然火爆，似乎難以找到明確的答案。我認為，如果只是單純地糾結於數學是被發明還是被發現的這個問題，或許會忽視另一個更為糾結複雜的答案：兩者都起著關鍵作用。我推想，將這兩方面因素結合起來，應該能解釋數學的魅力。發明與發現並非勢不兩立；雖然消除它們之間的對立並不能完全解釋數學的神奇效能，但鑒於這個問題實在是太深奧，即使僅僅是朝著解決問題的方向邁出一小步，也算是有所進展了。

發明與發現並重

數學「不合理」的神奇功效通過兩種截然不同的方式體現出來，依我看其中一種可稱為主動方式，另一種可稱為被動方式。有時，科學家會針對現實世界中的現象專門打造一些方法來進行定量研究。例如，牛頓創立微積分學，就是為了了解運動與變化的規律，其方法就是把運動和變化的過程分解為一系列逐幀演化的無窮小片斷。這類主動的發明，自然非常有效率，因為它們都是針對需要定向打造的。不過，它們在某些情況下所達到的精度更讓人嘖嘖稱奇。以量子電動力學（quantum electrodynamics）這個專門為描述光與物質相互作用而建立起來的數學理論為例。當科學家運用此理論來計算電子的磁矩時，理論值與最新的實驗結果（1.00115965218073，2008年實測值）幾乎完全吻合，誤差僅有十億分之幾。

還有更令人驚訝的事實。有時，數學家在開創一個個完整的研究領域時，根本沒想過它們會起的作用。然而過了幾十年，甚至若干世紀後，物理學家才發現，正是這些數學分支能夠圓滿詮釋他們的觀測結果。這類能體現數學「被動效力」的實例不可勝數。比如，法國數學家伽羅華（évariste Galois）在19世紀初期建立群論時，只是想要弄清高次代數方程可否用根式求解。廣義地說，群是一類由特定範圍的若干元素（例如整數）組成的代數結構，它們能夠進行特定的代數運算（例如加法），並滿足若干具體的條件（其中一個條件是存在單位元，拿整數加群來說，單位元就是0，它與任何整數相加，仍然得到這個整數本身）。但在20世紀的物理學中，這個相當抽象的理論竟然衍生出了最有成效的基本粒子分類方法（基本粒子是物質的最小結構單元）。20世紀60年代，物理學家默里·蓋爾曼（Murray Gell-Mann）和尤瓦爾·尼曼（Yuval Ne"eman）各自證明，一個名為SU（3）的特殊的群反映了所謂強子這類亞原子粒子的某項特性，而正是群與基本粒子之間的這一聯繫，最終為描述原子核是如何結合的現代理論奠定了基礎。

分形（fractals）是一種出於抽象研究的需要而發明出來的數學結構，但後來還是同現實掛上了鉤。本圖所示的球體堆集模型就是運用3D模擬軟體製作出的一個分形。

對結的研究，是數學顯示被動效力的又一個精彩實例。數學上的結與日常生活中的結頗為相似，只是沒有鬆開的端頭。19世紀60年代，開爾文爵士希望用有結的以太管來描述原子。他的模型搞錯了方向，跟實際情況基本掛不上鉤，但數學家們仍孜孜不倦地對結繼續進行了數十年的分析，只不過是把它當作一個非常深奧的純數學問題來研究。令人驚訝的是，後來結理論竟然為我們提供了對弦論（string theory）和圈量子引力（loop quantum gravity）的若干重要見解，它們正是我們眼下為構建一個能夠使量子力學和廣義相對論和諧統一的時空理論的最好嘗試。英國數學家哈代（Hardy）在數論領域的發現與此也有異曲同工之妙。哈代為推動密碼學研究立下了汗馬功勞，儘管他本人先前曾斷言，「任何人都還沒有發現數論可以為打仗這回事派上什麼用場」。此外，1854年，黎曼（Bernhard Riemann）率先描述了非歐幾何——這種幾何具有某些奇妙特性，例如平行線可能相交。半個多世紀後，愛因斯坦正是藉助於非歐幾何創立了廣義相對論。

一種模式浮現出來：人們對周圍世界的各種元素——包括圖形、線條、集合、群組等——進行抽象概括後，發明出各種數學概念，有時出於某種具體目的，有時則純粹為了好玩。他們接下來會努力尋找這些概念之間的聯繫。這一發明與發現的過程是人為的，與柏拉圖主義標榜的那種發現不同，因此，我們創立的數學歸根結底取決於我們的知覺過程以及我們能構想出的心理場景。例如，我們人類具有所謂「感數」（subitizing）的天賦，可以一眼識別出數量，毫無疑問，這種本能催生了數字的概念。我們非常擅長於感知各個物體的邊緣，並且善於區分直線與曲線，以及形狀不同的圖形，如圓和橢圓等。或許，正是這些本能促進了算術與幾何學的興起和發展。同理，人類無數次反覆經歷的各種因果關係，對於邏輯的創立至少也起了部分作用，併產生以下認識：根據某些陳述，我們可以推斷出其他一些陳述的正確性。

選擇與進化

邁克爾·阿提亞（Michael Atiyah）是20世紀最傑出的數學家之一，他曾通過一項非常巧妙的假想實驗來揭示我們掌握的數學概念是如何受知覺影響的——甚至連數字這類最基本的概念也不例外。德國數學家克羅內克（Leopold Kronecker）有一句名言：「上帝創造了整數，其餘都是人做的工作。」 但我們可以想像，如果世界上有智力的不是人類，而是一種生活在太平洋底與世隔絕的奇異水母，在它們周圍，從海水的流動到海水溫度與壓力，都是連綿不斷的。在這樣一個找不到什麼獨特個體，也就是不存在任何離散性元素的環境里，數字的概念有機會破繭而出嗎？如果沒有什麼東西可以讓你去數，那還會有數字存在嗎？

同水母一樣，我們也要採用能夠適合於自己所在環境的數學工具——毫無疑問，數學正是因此而顯得神通廣大。科學家並非隨心所欲地選擇分析工具，而是根據它們是否能準確預測實驗結果來作出選擇的。當網球發球機吐球時，你可以用自然數1、2、3依次標示向外蹦出的球。不過，消防員噴水救火時，要想對水流作出有意義的描述，就得用體積或重量之類的概念了。同樣道理，各種亞原子粒子在粒子加速器中碰撞時，物理學家也是用能量及動量之類的指標，而不是用最終到底有多少粒子來評估碰撞。最終粒子數只能給出有關原始粒子碰撞過程的部分信息，因為在這一過程中可能還有其他粒子產生。

只有最出色的模型才能歷經時間的考驗。而那些失意的模型，比如笛卡爾用宇宙物質旋渦來描述行星運動的嘗試，就夭折了。反觀成功的模型，則會隨著新信息的出現而逐步改進。例如，當人們對水星這顆行星的進動獲得了極其精確的測量結果後，就必須用愛因斯坦的廣義相對論來徹底改造牛頓的引力理論，才能對最新測量結果作出圓滿解釋。任何一種行之有效的數學概念，壽命都是很長的。比如，早在公元前250年左右，阿基米德就已經證明了球體表面積的公式，而直到今天，這個公式也跟當年一樣站得住腳。因此，任何時代的科學家都有一個極其龐大的數學公式寶庫供其搜索，從中找出最適合的方法來使用。

科學家不僅在尋求答案，他們常常也挑選適合於用數學處理的問題。然而，有一大批現象不可能作出精確的數學預測，有時甚至原則上就是不可預測的。例如，在經濟學中，許多變數——比方說民眾心理素質的詳細情況——不適宜作定量分析。任何理論的預測價值，均取決於各變數之間基礎關係是否恆定。我們的分析也無法徹底解讀會產生混沌的系統（在這類系統中，只要初始條件有極其微小的變化，都可能導致最終結果完全不同，因而無法進行長期預測）。數學家們創立了統計學和概率論來彌補上述缺陷，但眾所周知，奧地利邏輯學家庫爾特·哥德爾早已證明，數學本身是存在著固有局限性的。

自然界的對稱性

數學能如此成功地詮釋自然法則，精心挑選問題與答案僅是原因之一。這樣的法則首先必須存在，數學才有用武之地。對數學家和物理學家來說，幸運的是我們這個宇宙看起來是被一些亘古不變的自然法則所支配的。決定宇宙最初結構的引力，同樣也左右著今天的星系。為了解釋這種以不變應萬變的現象，數學家和物理學家發明了對稱性的概念。

物理學定律似乎都蘊含著相對於空間和時間的對稱性。無論在何時何地，從什麼角度來查看這些定律，它們都是不變的。此外，物理學定律對於所有觀察者都是一視同仁的，無論這些觀察者是處於靜止狀態，還是在做勻速運動或加速運動。因此，無論我們在哪裡做實驗，中國也好，美國也好，乃至在仙女座大星雲也好，也無論我們是今天做這個實驗，還是10億年後由另外某個人來做實驗，都可以用同樣的物理學定律來解釋實驗結果。如果宇宙不具有這種對稱性，那我們想要破解大自然宏偉設計的努力——也就是根據我們的觀測結果建立相應的數學模型——可就要無功而返了，因為那樣我們就得針對時空中的每個點，不斷反覆實驗。

而在描述亞原子粒子的物理學定律中，則是另一類更複雜的對稱性，即規範對稱性佔據主導地位。由於量子世界的模糊性，某一給定粒子既可以是帶負電的電子，也可以是不帶電的中微子，還可以是二者的疊加態，除非我們測量了電荷，明確區分出它到底是電子還是中微子。其實，如果我們把電子換成中微子，或者換成兩者的任何一個疊加態，自然界的法則依舊保持同一形式。換成其他基本粒子，情況也仍然如此。沒有這種規範對稱性，我們要建立一個有關宇宙基本運作原理的理論是極其困難的。同樣，沒有局域性，情況也會非常棘手（所謂局域性，是指我們這個宇宙中的任何事物僅受其近鄰環境的直接影響，而不受遠處發生的事件的影響）。有了局域性，我們就可以首先設法解讀基本粒子之間最基礎的力，然後利用其他各種知識元素，像拼七巧板一樣嘗試拼出宇宙的數學模型來。

現今在為統一各種相互作用的嘗試中，最有希望成功的一種數學理論，需要依靠另一種對稱——超對稱性（supersymmetry）。在由超對稱性主導的宇宙里，每種已知粒子都有一個尚待發現的夥伴粒子。如果這些夥伴粒子最終被發現[當歐洲原子核研究中心（CERN）的大型強子對撞機（LHC）投入全能量運行時，它們可能會被發現]，那麼這將是具有神奇效力的數學的又一項勝利。

在本文開頭，我提出了兩個互相關聯的基本問題：數學是人們發明的還是發現的？是什麼因素賦予了數學如此強大的解釋能力與預測本領？我相信第一個問題已經有了答案：數學是發明與發現的精妙融合。一般說來概念是發明的產物，而即便概念之間所有正確的關係在被發現之前就已經存在，人們依然需要對研究哪些關係進行選擇。現在看來第二個問題似乎更為複雜。毫無疑問，正因我們在使用數學方法時對題材進行了精心挑選，於是數學給我們留下了非常有效這種印象。但如果本來就沒有什麼普遍存在的規律等著我們去發現，那數學就完全無用武之地了。現在你可以這樣問：為何會存在放之四海而皆準的自然法則？或者說，為何我們的宇宙被某些對稱性以及局域性所支配？說實在的，我不知道答案，我只能說，在一個不存在上述特性的宇宙中，複雜性和生命或許永遠也不會出現，我們當然也就沒有機會提出這些問題了。