數列解題常見易錯點分析

2014-01-04 17:21:48

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一、已知數列{a_n}的前n項和S_n與通項a_n的關係式，求a_n時應注意分類討論的應用，特別是在利用a_n＝S_n－S_n－1進行轉化時，要注意分n＝1和n≥2兩種情況進行討論，學生特別是容易忽視要檢驗n＝1是否也適合a_n.

例: 已知數列{a_n}的前n項和S_n＝3n²－2n＋1，求其通項公式

解：當n＝1時，a₁＝S₁＝3×1²－2×1＋1＝2；

當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝3n²－2n＋1－[3(n－1)²－2(n－1)＋1]＝6n－5，顯然當n＝1時，不滿足上式．

故數列的通項公式為a_n＝

二、在等比數列求和公式中要注意分兩種情況q＝1和q≠1討論。

例2： 設數列{a_n}是等比數列，前n項和為S_n，若S₃＝3a₃，求公比q

解析　當q≠1時，S₃＝＝a₁(1＋q＋q²)＝3a₁q²，即2q²－q－1＝0，解得q＝－或q＝1(捨去)．當q＝1時，S₃＝a₁＋a₂＋a₃＝3a₃也成立．

三、在解答數列問題時，及時準確地「數清」數列的項數是必不可少的，在數項數時，要把握數列的項的構成規律，找准數列的通項公式的特點並找准項數．如果把數列的項數弄錯了，將會前功盡棄．

例3：設f(n)＝2＋2⁴＋2⁷＋2¹⁰＋…＋2^3n＋10(n∈N^*)，則f(n)等於(　　)．

A.(8ⁿ－1) B.(8^n＋1－1)

C.(8^n＋3－1) D.(8^n＋4－1)

解：2,2^4,2^7,2¹⁰，…為首項a₁＝2，公比q＝2³的等比數列，由等比數列的求和公式，得f(n)＝＝(8^n＋4－1)．

四、在解題中對出現的各種情況要考慮全面．

例4：已知數列{a_n}滿足a_n＝試求數列{a_n}的前n項和．

解　當n為偶數時，

S_n＝(a₁＋a₃＋a₅＋…＋a_n－1)＋(a₂＋a₄＋a₆＋…＋a_n)

＝＋＝(9－1)＋.

當n為奇數時，

S_n＝(a₁＋a₃＋a₅＋…＋a_n)＋(a₂＋a₄＋…＋a_n－1)

＝＋

＝(9－1)＋.

∴S_n＝

五、利用錯位相減法求解數列的前n項和時，應注意兩邊乘以公比後，對應項的冪指數會發生變化，為避免出錯，應將相同冪指數的項對齊，這樣有一個式子前面空出一項，另外一個式子後面就會多了一項，兩式相減，除第一項和最後一項外，剩下的n－1項是一個等比數列．

例： 已知數列{a_n}是首項a₁＝，公比q＝的等比數列，設b_n＋2＝3loga_n(n∈N^*)，數列{c_n}滿足c_n＝a_n·b_n.

(1)求數列{b_n}的通項公式；

(2)求數列{c_n}的前n項和S_n.

解　(1)由題意，知a_n＝ⁿ(n∈N^*)，

又b_n＝3loga_n－2，∴b_n＝3n－2(n∈N^*)．

(2)由(1)，知a_n＝ⁿ(n∈N^*)，b_n＝3n－2(n∈N^*)，

∴c_n＝(3n－2)×ⁿ(n∈N^*)．

∴S_n＝1×＋4ײ＋7׳＋…＋(3n－5)×^n－1＋(3n－2)×ⁿ，

於是S_n＝1ײ＋4׳＋7×⁴＋…＋(3n－5)×ⁿ＋(3n－2)×^n＋1，

兩式相減，得

S_n＝＋3－(3n－2)×^n＋1＝－(3n＋2)×^n＋1，

∴S_n＝－×ⁿ(n∈N^*)．

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