神奇的提丟斯-波得定則

太陽系全家福

本刊前些日子有篇文章《曙光號探測器即將造訪穀神星》中提到了「提丟斯-波得定則」，今天我們就來說說這個神奇的數列。

1766年德國的一位中學教師戴維·提丟斯（Johann Daniel Titius）在雜誌上發表了一篇文章，提到了一串數列0，3，6，12，24，48，96，192，……﹐然後將每個數加上4﹐再除以10﹐就可以近似地得到以天文單位表示的各個行星同太陽的平均距離。當時堤丟斯沒有做出任何解釋。他的一位朋友，德國天文學家波得（JohannElert Bode）了解到這個情況，做了進一步研究，1772年，他正式發表了這一發現，並歸納出一個通式，即太陽系大行星到太陽的距離（或軌道半長徑）a符合：

a= 0.4 + 0.3×2^n-2(天文單位) （註：對水星要取-∞）

如果將數列和實際情況對照起來如下表所示：

這個發現一經公布立刻引起轟動，因為這些數字元合得近乎完美！於是這個數列被稱為「提丟斯-波得定則」（Titius-Bode Law）。然而，波得在文章中也沒有做出進一步解釋，這個規律只能被視為經驗公式。

當時，小行星帶和天王星都沒發現，所以數字2.8和19.6的地方引起了人們廣泛猜測。時間到了1781年，英國天文學家威廉·赫歇爾（Friedrich Wilhelm Herschel）用自製望遠鏡發現了天王星，後來經過計算得知天王星與太陽的平均距離是19.2天文單位！正好就是提丟斯-波得定則中n=8的位置上！這個發現引起一片嘩然。於是天文學家紛紛猜測——或者說是十分堅定地相信——在距離太陽2.8天文單位的地方一定存在一顆未知的大行星。這場競賽持續到1801年的新年，義大利天文學家、神父皮亞齊（Giuseppe Piazzi）果然在差不多的位置上發現了穀神星。只不過，穀神星太小了，天文學家不相信他是如何霸佔那麼大一片區域的。沒多久，小行星們如雨後春筍般被天文學家們發現——或者說是被「挖」出來，它們都長在距離太陽2.8天文單位的地方，按照現在的數據更加精確些的話是2.77天文單位，這就是小行星帶。

此後，提丟斯-波得定則受到極大挑戰。1846年海王星經過一波三折被發現，它的平均距離是30.2天文單位，與「理論值」38.8誤差不小。1930年冥王星被發現，它離太陽最近甚至比海王星還近，平均距離只有39.5天文單位，而按照波得的公式，它應該出現在77.2天文單位的地方。提丟斯-波得定則失效了？其實，如果你把n=9的位置用冥王星取代，也就是說，「理論值」的38.8對上冥王星的39.5，誤差僅僅1.8%不到！——難道這才是真實答案？

提丟斯-波得定則「理論值」與實際觀測值比較

其實，這個規律裡頭蘊藏著行星之間的軌道共振關係。提丟斯波得定則只是解釋了行星與太陽平均距離或者軌道半長徑的關係，而實際上偉大的「天空立法者」約翰尼斯·開普勒（Johanns Kepler）早在1619年出版的《宇宙諧和論》中提出了行星運動第三定律（Keplers third law of planetary motion），揭示了行星公轉軌道半長徑與周期之間的關係，即：

或

所以我們可以得到以下結果：

如表所示，地球和金星存在5:3（或者說3:5）的共振關係，即金星轉了5圈地球剛好轉3圈。如果再仔細觀察還不難發現火星與金星是3:1共振，天王星與木星是7:1共振等，木星與火星、海王星與土星接近6:1（或28:5）共振等等。這是一種常見的自然規律，在各大行星系統中，它們的衛星也存在這種情況，又叫「潮汐鎖定」。所以，可以說「提丟斯-波得定則」有著必然性，但這個具體的數列可能也有一定偶然性，或者說在一定範圍內適用。隨著柯伊伯帶的發現，海王星及以外的天體，包括冥王星軌道相對複雜，柯伊伯帶的範圍至今也不是特別明確，所以「T-B定則」到了這個地方顯得有些「迷茫」了。如果我們對海王星及柯伊伯帶的相互作用可以了解得更清楚的話，說不定「T-B定則」就會柳暗花明又一村了呢。但幾乎可以肯定的是，它應該沒有達到77.2天文單位的地方，說不定在遙遠的太陽系深處，還有一顆大行星等著我們去發現。

計算機模擬由於軌道共振地球與金星的相對位置呈現出五瓣花形狀

據說現在天文學家已經把「T-B定則」運用到尋找地外行星的工作中，已經取得了不錯的效果，但顯然要對數列進行改造重新書寫「通式」。筆者不禁產生一個疑問，既然開普勒第三定律已經被千萬次證明極其好用，難道「提丟斯-波得定則」比它還管用？

提丟斯-波得定則被用來尋找太陽系外宜居行星
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