關於布爾代數的一些筆記（三）

06-08

關於布爾代數的一些筆記（三）

之前的內容：

包佳齊：關於布爾代數的一些筆記（一）

包佳齊：關於布爾代數的一些筆記（二）

本篇是一時興起，預料之外的布爾代數+，會涉及到一些奇怪的知識（x）。

六、濾+，理想+

在涉及到濾和理想的第三節里，我們談論了一些最基本的理想，以及理想和布爾代數環中理想的關係。我們還剩下很多其它的關於濾和理想的基本內容沒有介紹，在這一節中盡量把它們講明白。

由於布爾代數十分簡單粗暴的對偶性，我們在某些對偶定義中只寫出一種。

首先是一個根據對偶性顯然的結論：

引理6.1 (a) 若 $I subset mathscr{B}$ 是理想，則 ${-b: b in I}$ 是濾。
(b) 上述的對偶形式。

這完全是定義的驗證。

下面我們定義超濾和素理想。

定義6.2 (a) $I subset mathscr{B}$ 是素理想（prime ideal）當且僅當 $I$ 是理想且對任意 $u in mathscr{B}$ ，或者 $u in I$ ，或者 $-u in I$ 。
(b) $F subset mathscr{B}$ 是超濾（ultrafilter）當且僅當 $F$ 是濾且對任意 $u in mathscr{B}$ ，或者 $u in F$ ，或者 $-u in F$ 。

注意到我們對濾和理想的定義中限制了它們是真子集，所以對任意超濾 $F$ （素理想 $I$ ）以及 $u in mathscr{B}$ ，不可能同時有 $u in F$ （ $u in I$ ）以及 $-u in F$ （ $-u in I$ ），否則 $u cdot -u = 0 in F$ （ $u + -u = 1 in I$ ）。

定理6.3 (a) 若 $I subset mathscr{B}$ 是素理想，則 $mathscr{B} ackslash I$ 是超濾。
(b) 上述的對偶形式。
證明：(a) 根據引理6.1(a)， $mathscr{B} ackslash I$ 是濾，對任意 $u in mathscr{B}$ ，若 $u otin mathscr{B} ackslash I$ ，那麼 $u in I$ ，於是 $-u otin I$ 即 $-u in mathscr{B} ackslash I$ ，所以 $mathscr{B} ackslash I$ 是超濾。(b) 同理。證畢。

接下來我們定義極大理想和極大濾，不過其實就是字面意思上的極大。

定義6.4 (a) $I subset mathscr{B}$ 是極大理想（maximal ideal）當且僅當 $I$ 是理想且不存在真包含它的理想。
(b) 與上述對偶的是極大濾（maximal filter）。

先證明一些有用的引理。

引理6.5 (a) (1) 若 $mathcal{I} subset mathscr{P(B)}$ 是 $mathscr{B}$ 上的理想族，則 $igcap{mathcal{I}}$ 是 $mathscr{B}$ 上的理想。
(2) 若 $mathcal{C}$ 是 $mathscr{B}$ 上理想 $subset$ -鏈，則 $igcup{mathcal{C}}$ 是 $mathscr{B}$ 上的理想。
(3) 若 $A subset mathscr{B}$ ，且對任意有窮個 $a_i in A$ ， $b_i in mathscr{B}$ ， $sum{a_i cdot b_i} eq 1$ ，則存在理想 $I$ 滿足 $A subset I$ ，這樣的理想稱作由 $A$ 生成的理想，記作 $I(A)$ 。
(b) 上述三條的對偶形式（交並不變）。
證明：(a1) $0 in igcap{mathcal{I}}$ ， $1 otin igcap{mathcal{I}}$ ，對任意 $u, vin igcap{mathcal{I}}$ ， $w in mathscr{B}$ 且 $w le u$ ，有對任意 $I in mathcal{I}$ ， $u, v, w in I$ ，那麼 $u + v in I$ ， $w in I$ ，則由 $I$ 的任意性 $u + v in igcap{mathcal{I}}$ ， $w in igcap{mathcal{I}}$ 。(a2) 同 (a1) 一樣驗證定義，這裡只驗證 $u, v in igcup{mathcal{C}} ightarrow u + v in igcup{mathcal{C}}$ 。若 $u, v in igcup{mathcal{C}}$ ，則存在 $I_1, I_2 in mathcal{C}$ 使得 $u in I_1, v in I_2$ ，根據鏈的性質，不妨設 $I_1 subset I_2$ ，則 $u, v in I_2$ ，所以 $u + v in I_2 subset igcup{mathcal{C}}$ 。(a3) 我們令 $I(A) = {sum{a_i cdot b_i}: ext{有窮個 }a_i in A land b_i in mathscr{B}}$ ，我們證明它是理想。顯然根據條件 $1 otin I(A)$ ，且 $0 in I(A)$ ，考慮 $sum{a_i cdot b_i} in I(A)$ 以及 $b in mathscr{B}$ 滿足 $b le sum{a_i cdot b_i}$ ，則 $b = sum{a_i cdot (b_i cdot b)} in I(A)$ 。而對任意 $u = sum{a_i cdot b_i}, v = sum{a_j^prime cdot b_j^prime} in I$ ，它們的和也是 $a_i cdot b_i$ 的有限和的形式，所以 $u + v in I$ 。(b) 同理。證畢。

注意到 (3) 的條件其實等價於不存在 $A$ 中有窮個元素的和為 $1$ ，這稱為有窮和性質，這在證明斯通空間的緊性的時候是十分重要的，參考 Kunen. Set Theory 第一版第二章無窮組合（三下）。

根據 (3) 我們有：

定理6.6 (a) $I$ 是素理想當且僅當 $I$ 是極大理想。
(b) $F$ 是超濾當且僅當 $F$ 是極大濾。

證明：(a) 素理想顯然是極大理想，否則若 $I subsetneqq I^*$ ， $I^*$ 為理想，則考慮 $u in I^* ackslash I$ ，由素理想定義， $-u in I subset I^*$ ，於是 $u, -u in I^*$ ，矛盾。反之，若 $I$ 是極大的，但不是素理想，設 $u, -u otin I$ ，考慮 $A = I cup {u}$ ，我們證明它滿足有窮和性質，首先 $I$ 滿足，其次，考慮 $I$ 中任意有窮個元素 $a_i$ ，若 $u + sum{a_i} = 1$ ，那麼 $sum{a_i} ge -u$ ，但根據 $I$ 是理想， $-u in I$ ，矛盾。所以 $A$ 可以擴張為一個理想 $I^*$ ，顯然 $I subsetneqq I^*$ ，與極大矛盾。(b) 同理。證畢。
推論6.7 極大理想的補集是極大濾，極大濾的補集是極大理想。

下面是一個十分重要的定理：

定理6.8 所有理想都可以擴張成為一個極大（素）理想。
證明：令 $mathscr{P}_I = {I^* subset mathscr{B}: I^* ext{ 是理想 } land I subset I^*}$ ，它顯然非空，且在 $subset$ 下形成偏序。根據引理6.5(a2)，其上任意 $subset$ -鏈 $mathcal{C}$ ， $igcup{mathcal{C}} in mathscr{P}_I$ ，所以根據佐恩引理， $mathscr{P}_I$ 有極大元，它就是我們想要的極大（素）理想。
推論6.9 所有滿足有窮交性質的集合都可以擴張成一個極大（素）理想。

七、交換環的素理想

本節探討的環都是交換環。且只粗略接觸素理想的內容。（參考的教材為吳泉水老師抽象代數講義第七章。）

定義7.1 環 $R$ 的真理想 $P$ 稱為素理想，如果對任意 $a, b in R$ ， $ab in P$ 則 $a in P$ 或者 $b in P$ 。
性質7.2 環 $R$ 的理想 $P$ 稱為素理想當且僅當 $R ackslash P$ 是 $R^* = R ackslash {0}$ 的乘法子半群（即乘閉子集）當且僅當 $R/P$ 是整環當且僅當對任意 $R$ 的理想 $A, B$ 若 $AB subset P$ ，則 $A subset P$ 或者 $B subset P$ 。

請自行驗證。

命題7.3 設 $S$ 是 $R^*$ 的乘法子半群， $P$ 是 $R$ 中滿足 $P cap S = emptyset$ 的極大的理想。則 $P$ 是素理想。
證明：若不是，存在 $a, b in R$ 滿足 $a otin P, b otin P$ 且 $ab in P$ ，由極大， $(P + aR) cap S eq emptyset$ ， $(P + bR) cap S eq emptyset$ ，但 $(P + aR)(P + bR) le P + abR = P$ ，考慮 $x in (P + aR) cap S$ ， $y in (P + bR) cap S$ ， $S$ 是乘閉子集，所以 $xy in S$ ，但 $xy in P$ ，矛盾。證畢。

注意，這證明了所有極大理想都是素理想。反之並不成立。

推論7.4 設 $S$ 是 $R^*$ 的乘法子半群，任何與 $S$ 相交為空的理想都可擴張為某個與 $S$ 相交為空的素理想。

證明：根據佐恩引理以及命題7.3 立得。

下列定義與素理想有很大的關係：

定義7.5 記 $N(R) = {a in R: exists n(a^n = 0)}$ ，即所有冪零元構成的理想。稱之為環 $R$ 的謁零根（nil radical）。
定義7.6 對環 $R$ 的理想 $A$ ，記 $sqrt{A} = {a in R: exists n(a^n in A)}$ 。稱之為 $A$ 的根理想。
性質7.7 $N(R/N(R)) = 0$ 。
定理7.8 $N(R) = igcap{{P subset R: P ext{ 是素理想}}}$ 。
證明：首先對任意 $a in N(R)$ 以及任意素理想 $P$ ， $a^n = 0 in P$ ，根據對 $n$ 歸納得到 $a in P$ ，故 $N(R) subset igcap{{P subset R: P ext{ 是素理想}}}$ 。反之，對任意非冪零元 $a$ ， ${1, a, a^2, a^3, dots}$ 是乘閉子集，則根據命題7.3，有素理想不包含 $a$ 。證畢。
推論7.9 $sqrt{A}/A = N(R/A) = igcap{{R/A ext{ 的素理想}}} = igcap{{P supset A: P ext{ 是 } R ext{ 的素理想}}}/A$ ，於是 $sqrt{A} = igcap{{P supset A: P ext{ 是 } R ext{ 的素理想}}}$ ，特別地 $sqrt{0} = N(R)$ 。
證明：不證了，留做習題。

八、交換環的素譜

記 $X(R)$ 為 $R$ 的所有素理想的集合，對 $A subset R$ ，記 $V(A) = {P in X(R): A subset p}$ 。

引理8.1 $V(A) = V(I(A)) = V(sqrt{V(A)})$ 。
引理8.2 ${V(A): A subset R}$ 滿足閉集公理。

證明：首先 $emptyset = V({1})$ ， $X(R) = V({0})$ ；其次 $igcap_alpha{V(A_alpha)} = V(igcup_{alpha}{A_alpha})$ ；再者 $V(A_1) cup V(A_2) = V(I(A_1)) cup V(I(A_2)) = V(I(A_1)I(A_2))$ ，這是由引理8.1 以及性質7.2 決定的。

於是我們知道 $X(R)$ 上構成一個拓撲空間：

定義8.3 引理8.2 中的閉集構成 $X(R)$ 上的拓撲空間，稱為環 $R$ 的素譜，記為 $ext{spec}(R)$ 。它也稱為為環 $R$ 上的 Zariski 拓撲。

$ext{spec}(R)$ 上的開集具有形式 $X(R) ackslash V(A) = X(R) ackslash igcap_{a in A}{V({a})} = igcup_{a in A}{X(R) ackslash V({a})}$ ，記 $X(R) ackslash V({a}) = {P in X(R): a otin P} = X_a$ ，稱為由 $a$ 決定的主開集，則 ${X_a : a in R}$ 是 $ext{spec}(R)$ 的拓樸基。

性質8.4 (a) $X_a cap X_b = X_{ab}$ ，對任意 $a, b in R$ 。
(b) $X_a = emptyset$ 當且僅當 $a$ 是冪零元。
(c) $X_a = X(R)$ 當且僅當 $a$ 是可逆元。
證明：(a) $P in X_a cap X_b$ 即是說 $a otin P land b otin P$ ，根據素理想定義， $ab otin P$ ，即 $P in X_{ab}$ ；反之， $P in X_{ab}$ ，即是說 $ab otin P$ ，但根據理想定義， $a otin P land b otin P$ ，所以 $P in X_a cap X_b$ 。
(b) 根據定理7.8， $X_a = emptyset$ 當且僅當 $a in igcap{{P: P in X(R)}} = N(R)$ 。
(c) 如果 $a$ 是可逆元， $a$ 不屬於任何理想，更別說素理想；反之，若 $a$ 不是可逆元， $a$ 可以生成一個素理想，則 $X_a eq X(R)$ 。證畢。

我們掠過一些細緻的性質，直接到達我們需要的：

定理8.5 $ext{spec}(R)$ 是擬緊的。
證明：考慮開覆蓋 $X(R) = igcup_{a in A}{X_a}$ ，則 $X(R) = igcup_{a in A}{X(R) ackslash V({a})} = X(R) ackslash V(A)$ ，即 $V(A) = V(I(A)) = emptyset$ ，而這意味著 $I(A) = R$ ，即存在 $a_1, a_2, dots, a_n in A$ ， $r_1, r_2, dots, r_n in R$ 滿足 $sum_{i = 1}^n{r_i a_i} = 1$ ，這也意味著 $I({a_1, a_2, dots, a_n}) = R$ ，即 $V({a_1, a_2, dots, a_n}) = emptyset$ ，那麼 $X(R) = igcup_{i = 1}^n{X_{a_i}}$ 是有窮子覆蓋。證畢。

九、布爾代數+

首先我們照搬斯通空間的定義：

定義9.1 對布爾代數 $mathscr{B}$ ， $X = {G subset mathscr{B}: G ext{ 是超濾}}$ ， $X$ 上有拓撲結構， ${N_b: b in mathscr{B}}$ 是它的拓樸基，其中 $N_b = {G in X: b in G}$ 。這稱之為 $mathscr{B}$ 的斯通空間（Stone Space），記為 $S(B)$ 。

定義的合理性不難驗證。定義與理想的對偶讓我們思考它與素譜的關係：

定理9.2 $S(mathscr{B}) cong ext{spec}(mathscr{B})$

首先，根據（一）中引理3.9， $mathscr{B}$ 作為布爾代數的理想，對應於 $mathscr{B}$ 作為環的真理想，那麼顯然，在極大的意義下，它們也是一致的。而以下引理告訴我們，在素理想的意義下，它們也是一樣的。

引理9.3 $P$ 是布爾代數 $mathscr{B}$ 的素理想當且僅當 $P$ 是環 $mathscr{B}$ 的素理想。
證明：若 $P$ 是布爾代數 $mathscr{B}$ 的素理想，則 $P$ 是極大理想，則 $P$ 是環 $mathscr{B}$ 的素理想；反之，若 $P$ 是環 $mathscr{B}$ 的素理想，對任意 $u in mathscr{B}$ ， $u cdot -u = 0 in P$ ，根據環的素理想定義， $u in P$ 或者 $-u in P$ ，這意味著 $P$ 是布爾代數 $mathscr{B}$ 的素理想。證畢。

那麼現在我們知道 $X(mathscr{B}) = {P subset mathscr{B}: P ext{ 是素理想}}$ ，且對任意 $b in mathscr{B}$ ， $X_b = {P in X(mathscr{B}): b otin P}$ ， $X(mathscr{B})$ 與 ${X_b: b in mathscr{B}}$ 構成 $ext{spec}(mathscr{B})$ 。

根據定理6.3，我們有如下引理：

引理9.4 ${P: P ext{ 是 } mathscr{B} ext{ 上素理想}} longrightleftharpoons {G: G ext{ 是 } mathscr{B} ext{ 上超濾}}$ 是一一對應，且這一對應下 $X_b$ 的像為 $N_b$ 。
證明：令 $pi: A mapsto mathscr{B} ackslash A$ ，根據定理6.3，對任意素理想 $P$ 以及超濾 $G$ ， $pi(P)$ 是超濾， $pi(G)$ 是素理想，且 $pi^2(P) = P, pi^2(G) = G$ ，所以 $pi$ 見證了一一對應。而 $pi[X_b] = {mathscr{B} ackslash P: P in X_b} = {G in X: b in G} = N_b$ 。證畢。

這就完成了定理9.2 的證明。作為推論，我們有：

定理9.5 $S(mathscr{B})$ 是擬緊空間。