孿生素數猜想與孤獨的數學家

孿生素數猜想與孤獨的數學家今年五月份，數論學家宣布，該領域中兩個最古老的未解難題取得突破。儘管這兩個難題都還沒有得到徹底解決，但這些突破卻是幾十年來最引人注目的進展，它們立即成為各大數學「聊天室」中的談資，並為全世界的研討會提供了最新鮮的素材。雙喜臨門這些進展都與素數有關。素數是指只可被1和其本身整除的數字。素數是數論中的積木，就如同元素在化學中的地位。其中一個難題是「孿生素數猜想」。該猜想推測，孿生素數——二者之差僅為2的相鄰素數，如3和5、1091和1093——隨著數字越來越大，會持續出現並存在無限多對。另一個難題是哥德巴赫猜想，其有兩個推論：比2大的每個偶數都是兩個素數的和；比5大的每個奇數都是3個素數的和。數學家認為這兩個猜想幾乎可以肯定是正確的，然而在超過1個半世紀的不斷嘗試中，沒有人接近證實其中任何一個猜想。5月13日，35歲的秘魯籍數學家HaraldHelfgott在巴黎高等師範學院發布了證明哥德巴赫猜想的三元（3個素數）推論的預印本。同一天，在哈佛大學的一次演講中，新罕布希爾大學的華人數學家張益唐簡要敘述其證明了存在無窮多對相差小於7000萬的素數。這些素數可能不是孿生素數，但至少它們是7000萬分之一的表親。「這是解析數論歷史上最偉大的成果之一。」加拿大蒙特利爾大學的AndrewGranville如此評價張益唐的工作，「這是非凡的。我從沒想過這會發生在我的有生之年。」披沙揀金張益唐和Helfgott都是通過長期研究才完成了自己的證明。張益唐將數軸中的素數當做河流中的金塊，像淘金一樣利用數學等價將這樣的數字從漫長的洗礦槽中篩選出來。之後，張益唐利用其新的「素數檢測機器」證明，在7000萬單位長的「洗礦槽」中足以盛下無窮多個遠親素數對。加拿大多倫多大學的數論學家JohnFriedlander稱，7000萬這個數字並不特殊，在將來的證明中一定會縮小。「重要的是，它是一個定值。」Friedlander稱，「4000萬可能會讓人更加興奮，而1.4億可能會令人略感沮喪。」張益唐於4月17日將其論文提交給《數學年報》。5月9日，在兩位推薦人對論文進行了熱情洋溢的評價後，該雜誌編輯NicholasKatz詢問張益唐是否可以就其進行公眾演講。哈佛大學邀請他在5月13日的1小時研討會上對其證明作簡要介紹，之後更多的演講邀請紛至沓來。Granville表示，如此重要的成就來自於一位之前在數論領域並不出名的處於職業中期的數學家，這幾乎是前所未聞的。「這是一份表述清晰、令人震驚且技術精湛的作品。」神奇圓法和張益唐不同，Helfgott給其他數學家足夠的暗示，稱他接近於證明三元哥德巴赫猜想。「這個難題已經體無完膚，即將被攻克。」他去年在一個流行的數學博客上如是說。Helfgott使用了數論學家熟悉的一種方法——哈迪-利特伍德-維諾格拉多夫圓法。其主要工具是傅立葉分析，與物理和工程上將一個周期信號分解成個別頻率的光譜所使用的方法相同。在圓法中，數學家創建了一個周期函數，其範圍包括所有素數。1923年，G.H. Hardy和JohnLittlewood證明，假設廣義黎曼猜想成立，三元哥德巴赫猜想對充分大的奇數是正確的。1937年，IvanVinogradov更進一步，在無須廣義黎曼猜想的情形下，直接證明了充分大的奇數可以表示為3個素數之和，其他數學家猜測「充分大」的下限是101300。在Hardy和Littlewood的基礎上，Helfgott將傅立葉係數的計算分成兩部分，分別是「優弧」和「劣弧」。優弧像是瑞士乳酪上的孔，而劣弧則是剩餘的部分。不過Helfgott的計算更像是乾酪：他研究中的孔比Vinogradov的要小得多。Helfgott將「充分大」的下限降到了1030；他的同事DavidPlatt驗證所有該數字以下的奇數都符合該猜想，這一驗證過程需要計算機運行4萬小時才能完成。Granville稱，不幸的是，由於技術原因，Helfgott的方法要想證明哥德巴赫猜想的第一個推論——即兩個素數推論，被稱為「強哥德巴赫猜想」——是「零可能」的。而對於張益唐的新原理可能會為孿生素數猜想提供線索，Granville較為樂觀。然而，在兩個難題的進展都遭遇幾代的冰川期後，英國牛津大學的RogerHeath-Brown對於看到春天融冰跡象感到高興。「儘管已有幾百年的歷史，但數論仍在發展中。」Heath-Brown稱，「這是這兩個定理讓我最感到興奮的地方。」

張益唐的故事之所以特別轟動的原因在於，作出巨大數學貢獻的他已經接近60歲，之前只是個默默無聞的講師。2012年7月3日，在一個陽光明媚的下午，張益唐在科羅拉多州好友齊雅格家後院抽煙，20多分鐘里他有如神明啟示般的想出了主要思路，找到了別人沒有想到的特別突破口。2013年4月17日，一篇數論論文被投遞到純粹數學領域最著名的刊物《數學年刊》。不到1個月，論文所涉及領域的頂級專家罕有地暴露自己審稿人的身份，信心十足地向外界宣布：這是一個有歷史性突破的重要工作，文章漂亮極了。這位評審人就是當今最頂級的解析數論專家亨利·伊萬尼克。頂級專家的高度評價被科學界的泰斗級期刊《自然》敏銳地捕捉到了；2013年5月13日，《自然》催生了一次歷史性的哈佛演講。這篇文章的作者、一個學術界的「隱形俠」，第一次站在世界最高學府的講台上，並告訴世人：我走進了世紀數學猜想的大門！哈佛的講台下面座無虛席，連過道上都站滿了人。演講內容被即時傳到網上，網上不少人在刷新網頁等待最新消息。2013年5月14日，《自然》在「突破性新聞」欄目里，宣布一個數學界的重大猜想被敲開了大門。5月18日，《數學年刊》創刊130年來最快接受論文的紀錄誕生了。世界震動了！5月20日，《紐約時報》大篇幅報道了這個華人學者的工作。文中引用了剛剛卸任《數學年刊》主編職務的彼得·薩納克的講話：「這一工作很深邃，結論非常深刻。」5月22日，老牌英國報紙《衛報》刊登文章，文章的標題是：鮮為人知的教授在折磨了數世紀數學精英的大問題上邁進了一大步。印度主流報紙把作出這一非凡貢獻的人，與印度歷史上最偉大的天才數學家拉馬努金相媲美。這位作出重大數學突破的就是張益唐，由於對數學界最著名的猜想之一孿生素數猜想的破冰性工作，使他從默默無聞的大學講師躋身於世界重量級數學家的行列。這是一個永久的疑問：為什麼要研究數學猜想？短視地回答這個問題很困難。純粹數學的研究很像體育比賽。劉翔跑得那麼快有什麼用？世界短跑紀錄的刷新、跳高紀錄的刷新到底有什麼用？但這並不妨礙每四年一次的奧運會。很多數學大猜想的突破很像頂尖高手的棋藝對決，是世界紀錄的突破。孿生素數猜想變大海撈針為泳池撈針遠在中古時代，人類社會就產生了自然數的概念，人們也因此創立了一個古老而漂亮的數學分支：數論。數論裡面一個重要的概念就是素數，指的是那些只能被1和其自身整除的數，比如5、7、11、19等。張益唐所做的工作和素數有關，尤其和所謂的孿生素數有關。孿生素數是指差為2的素數對，即p和p+2同為素數。前幾個孿生素數分別是（3，5）、（5，7）、（11，13）、（17，19）等。100以內有8個孿生素數對；501到600間只有兩對。隨著數的變大，可以觀察到的孿生素數越來越少。2011年，人們發現目前為止最大的孿生素數共有20多萬位數。但這個數後面再多找一對孿生素數都要花至少兩年的時間。那麼會不會有一天再也找不到新的孿生素數對呢？數學家認為答案是否定的。幾百年前就有個孿生素數猜想：有無窮多個素數p，使得p與p+2同為素數。但至今人們都不知如何證明這個猜想。張益唐在《數學年刊》上發表的這篇題為《素數間的有界距離》的文章，證明了存在無數多個素數對（p,q），其中每一對中的素數之差，即p和q的距離，不超過七千萬。如何理解張益唐的結果呢？諾丁漢大學物理教師安東尼奧·帕蒂拉舉了個有趣的例子：假如在素數王國里素數只能找鄰近的同類結婚，那3、5、7、11這種小素數找對象都很容易。但是素數越大，對象就越難找。但是根據張益唐的發現，素數和下一個素數的距離，應該小於或等於七千萬。孤獨的數字不會持續孤獨下去，總有另一個素數與之匹配。換言之，對於「大齡光棍」素數來說，七千萬步之內，必有芳草。七千萬聽起來是個巨大的數字，但在數學上只是一個常數而已。雖然它和孿生素數猜想的距離為2的結果還有十萬八千里，但用張益唐的方法把七千萬縮短到幾百以內也是指日可待的事情。實際上，在文章被公佈於眾後，短短的一個月以內，七千萬就被菲爾茨獎獲得者陶哲軒發起的網上討論班縮小到六萬多。張益唐起到的作用就是把大海撈針的力氣活縮短到在水塘里撈針，而他給出的方法還可以把水塘撈針輕鬆變為游泳池裡撈針。也許最後變成在碗里撈針還需要一些再創新的工作。但給出了這一偉大框架已經是讓全世界數學家瞠目結舌的壯舉了。非凡探索路演繹一個數學神話張益唐的故事之所以特別轟動的原因在於，作出巨大數學貢獻的他已經接近60歲，之前只是個默默無聞的講師。為了潛心研究數學，他幾乎把自己與世隔絕，在美國的偏遠省份「潛伏」下來。他的妹妹曾在網上發尋人啟事尋找哥哥。當時在美國當教授的老同學給他妹妹回了個電郵，表示他哥哥健康地活著，在鑽研數學呢。張益唐於1955年出生於北京。他1978年考進了北京大學數學系。北大1977年沒有招生，所以他是北大數學系「文革」後恢復高考的第一批學生。1978年第1期《人民文學》發表了作家徐遲的報告文學《哥德巴赫猜想》，講述了數學家陳景潤刻苦鑽研在哥德巴赫猜想研究上取得重大突破的真實故事，一時間陳景潤和哥德巴赫猜想變得家喻戶曉。像那個時代很多有志青年一樣，張益唐也是被徐遲的文章、被陳景潤的故事、被哥德巴赫猜想引導到數學系，以致終身投入到數學中去。4年的北大學習為張益唐打下了堅實的數學基礎。那時的北大教書育人之風極強，最頂尖的教師都在講台上耕耘。北大也有很多眼界很高的老師，學富五車，但不輕易落手寫小文章，可談起大問題頗為津津樂道，這讓年輕的張益唐「中毒」匪淺。這也奠定了他一輩子只做大問題、不為小問題折腰的風格。張益唐也是1978級公認的數學學習尖子。張益唐1982年畢業後跟隨著名數論專家潘承彪讀了3年的碩士。潘承彪的哥哥就是大名鼎鼎的山東大學前校長，因在哥德巴赫猜想方面的工作而聞名的潘承洞院士。潘氏兄弟也是北大數學系校友，畢業後在各自的崗位上做出了非凡的精彩。張益唐總是說在潘承彪的指導下他在北大打下了非常紮實的數論基礎。1985年，張益唐來到了位於美國的名校普渡大學讀博士，成為抗日名將孫立人和物理學家鄧稼先的校友。但張益唐在普渡的六七年是不堪回首的時光。他在美國的導師是代數專家莫宗堅。張益唐的研究課題是導師的專長——雅可比猜想，但苦幹了7年，得到的結果乏善可陳。眼界極高的張益唐不屑把博士論文結果整理出來發表。更糟糕的是，他和導師的關係糟得一塌糊塗。這裡有學術上的衝突，也有性格上的不和。因為博士論文的結果沒有發表，加上導師連一封推薦信都不願意寫，張益唐畢業後連個博士後的工作都沒有找到。一面要繼續做數學，一面還要糊口。畢業後的前六七年他干過很多雜活，包括臨時會計、餐館幫手、送外賣。你能想像一代北大數學才子、數學博士數年間在快餐店、在唐人街餐館打工的情形嗎？看到這裡，你是否對「天將降大任於斯人也，必先苦其心志，勞其筋骨」有更深刻的理解呢？1999年後，張益唐又回到了學校，到美國的新罕布希爾大學做助教、講師。新罕布希爾大學是成立於1866年的一所綜合性公立大學。雖然教學量比較大，比起研究系列的教授、副教授的工資性價比低很多，但能回到學校，做自己駕輕就熟的事情，還能利用圖書館、辦公室作研究，對一個胸有大志的數學人來說，應該是非常滿足的了。在新罕布希爾大學的14年是張益唐研究的黃金期。不需要研究經費，憑自己堅實的數學功底，充滿智慧的大腦，以及潛心鑽研的精神，他終於演繹出數學史上的一個神話。2012年7月3日，在一個陽光明媚的下午，張益唐在科羅拉多州好友齊雅格家後院抽煙，20多分鐘里他有如神明啟示般的想出了主要思路，找到了別人沒有想到的特別突破口。校友情深助千里馬奔騰張益唐的成功路上有眾多的朋友幫助，特別是北大校友的幫助。一位北大化學系的校友在上世紀90年代開了幾家賽百味連鎖店。他聽北大校友說張益唐在逆境中還在作數學的大問題，很想資助張益唐，但又怕被拒絕。所以他就想了一個點子，每個季度請張益唐來幫助給這些連鎖店報稅，讓張益唐用簡單數學來得到較為輕鬆的報酬，同時有較多時間去研究數學大問題。張益唐一輩子的轉折點是落腳新罕布希爾大學。促成這件事的有兩個主要人物，他們是北大數學系1980級的校友唐朴祁和葛力明。畢業於湘潭一中的唐朴祁是1980年湖南省高考狀元，是張益唐在北大時的系友、普渡大學讀博士時的同學。1999年初，已經在美國大計算機公司工作的唐朴祁去紐約參加學術年會時，找到在紐約打工的張益唐，聊到自己在計算機網路研究中遇到的一個數學難題。大約3周以後，張益唐居然想出了解決問題的基本思想，最後產生了兩人的一個軟體合作專利。據說這個專利已經在計算機網路基礎設施領域有廣泛應用。三個星期啃下一個有廣泛實際用途的計算機演算法難題，讓張益唐頓覺寶刀不老，信心大增。唐朴祁也對老友的數學實戰功夫印象深刻。同年晚些時候唐朴祁與在新罕布希爾大學工作的葛力明見面，他提到張益唐的強大分析實力和當時的艱難處境。作為學長的張益唐不僅做過他們的習題課老師，也是上世紀80年代他們自己組織的大學生討論班上的常客。此時已是大學教授的葛力明似乎更有條件幫一下他們的朋友和老師。這次會面時，唐朴祁已經不知道張益唐的準確工作地點。經過一番周折，葛力明在美國南方的一個賽百味快餐店聯繫上了張益唐，兩三天後，張益唐就來到新罕布希爾大學了。每過幾天，張益唐都會說，有進展，應該很快就出來了。他是指自己正在攻克的一兩個世界難題。但時間過得很快，兩個月、三個月，兩年、三年……14年後，張益唐轟動性的工作終於橫空出世了。當然，在美國大學裡要留一個沒有多少學術資歷的人14年肯定不是一件簡單的事，中間也有酸甜苦辣的故事。這裡的主要幫手還是系裡的明星教授葛力明。葛力明過去的10年一半時間在中國科學院數學院工作，教書育人，深得國內同行的好評；同時由於在研究領域的國際聲譽，他也是新罕布希爾大學數學系的大教授。難能可貴的是，作為學弟，在執迷於數學的學長最困難的時候，他真正做到了出手相助。思考張益唐釋放學術研究正能量張益唐成功很重要的一點是淡定，寵辱不驚。在朋友開的賽百味快餐店幫忙，他可以一絲不苟。在大學任教，年近60還只是個講師，在一般人看來無疑是失敗，甚至是潦倒的，但他處之泰然，不改其志。難能可貴的是逆境之中他還是一如既往地作大問題。作大問題的人不需要太多，但不能沒有！張益唐的精神及成就，對中國科學界是極大的正能量，也是對目前浮躁的科研環境的一種鞭策。2013年5月20日，耶魯大學法學教授斯蒂芬·卡特在《彭博》上撰文《可以是電影明星的數學家》，他認為張益唐的勵志故事是一個很好的電影題材。網上也有人建議文學家、編劇、導演們可以把張益唐的故事搬上銀幕，拍出比《美麗心靈》更美的電影。張益唐做過學生會主席，具有演講天才，喜歡文學、音樂，是NBA球賽的鐵杆球迷，還可以喝一斤二鍋頭沒感覺。他應該是新時代數學家的好代言人。成名後的張益唐仍像過去一樣低調淡定。他說：「我的心很平靜。我不大關心金錢和榮譽，我喜歡靜下來做自己想做的事情。」張益唐自己想做的事情是什麼呢？他還在瞄著迄今未解決的另一個大猜想。我們希望他能夠在平靜中再創神話。

綜合《中國科學報》 2013-07-19 第5版 和2013-05-27 第3版文章
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