關於數學課程走向的思考(孫曉天教授的報告）

我非常有幸能參加這樣一個論壇，雖然不是特別了解這個論壇的宗旨，但是，我感覺是非常有戰略眼光的。它的目的，就是把全省已經成為特級教師的各位，進一步拓寬視野，增長見識，不僅是個人的成長，也要向全省的小學數學界輻射。這樣一個團隊，是會引領江蘇省的小學數學改革試驗向前推進的。論壇應該大家就一些具體的問題談自己的看法，我今天居高臨下的講，是不太適合論壇的。

最近，我個人覺得，形勢很好。有幾個標誌：第一個是有史以來，我們開了課程改革經驗交流會，就在江蘇。第二個是溫總理在百忙之中到北京三十五中聽了5節課，足見教育問題在高層領導中的地位。第三個是錢學森老先生去世了，這在我們國家是一個大事。錢老去世前的最後一個問題，被稱為「錢學森問題」，用一句話概括就是「中國的教育為什麼不能培養創新人才？」第四，在課程大會上，教育部副部長陳小婭說：「課程改革開弓沒有回頭箭。」擲地有聲，字字千金。今年《人民教育》第22期《課程改革再出發》一文，是對陳小婭部長講話的一個回應。另外，還有教育部來了新部長——袁部長。袁部長第一次面對媒體，提出教育均衡化。提教育均衡化不是什麼新鮮事，但是他給了教育均衡化以具體解讀：教育怎麼辦？新舉措就是教師的流動。家長擇校，不就是因為你那個學校好教師多！教師流動了，學校不就均衡了。這是國際上比較通行的，也是比較容易操作的。我們小學沒有考試的壓力，但是有擇校的壓力。這是小學面臨的相當巨大的問題。這個問題也不僅僅是教師流動就能徹底解決的，但是有這種眼光是很重要的。一個朋友在日本，孩子學有所成後要回國了，想到小學裡看看原來的三年級老師，沒看著，流動走了。又到初中里想看看原來的老師，也流動走了。不是自己調走的，就是流動走的。全世界很多國家，都是通過教師的流動，達到教育的均衡。我說這個，是說從這裡看到希望。教師的流動能得到解決，還有什麼不能解決的。

這麼多事情聯繫在一起，我心裡有一種踏實的感覺。課程改革7、8年後，課程改革再出發。這一步也是關鍵的一步，關鍵在我們能不能解決「錢學森」問題。如果這些成立，我下面講的，多多少少也就有了依據。《人民教育》22期也發了我的文章《當前數學教育應當關注的幾個問題》。今年的《中國教育報》刊登了我的《小學數學要放眼長遠，注重長效》，讀者反響很好。結合這些想法，我談談今天的主題：《關於數學課程走向的思考》，我自己思考有這樣四個問題：目標、改革、改變、思考。

先談一個引子：從華人世界裡最有名的數學家丘成桐談起。丘成桐說：「我喜歡讀《史記》， 《史記》象一部美妙動聽的歌劇」。我可以大段地背誦：「高山仰止， 景行行止。」這是對孔子的敬仰。「歷史是宏觀的考察。用宏觀的觀點考察數學，就會有深刻的思想出來。我常常提出和別人不同的觀點，得利於對歷史的宏觀考察。」

數學家的大氣從哪兒來呢，就是有宏觀的考察。再看看數學的發展，經歷四個高峰：古希臘；牛頓發明微積分；希爾伯特的公理化思潮；計算機以後的數學應用和大規模的綜合。我們現在處在第四個階段，第四個數學高峰的產品如：混沌、孤立子、分形、小波、計算複雜性、費馬大定理的證明……，都與社會進步密切相關。比如分形、小波、計算複雜性都是和我們日常的生活聯繫在一起的，差不多都是宏觀的大範圍思考的產品。比如「小波」，簡單講就是壓縮「曲線」。電子信息的形態都是波形的，如果將曲線進行壓縮並減壓，就是現在電子信息技術的手段。費馬達定理被證明了，在召開發布會時，據說一時出現了票販子倒賣高價票的現象，這是只有歌星在開演唱會時才會出現的情況。

那麼數學的現狀怎麼樣？上海《解放日報》刊登了吳文俊說：「兩個不敢說：中國20年來有哪些「叫得響」的數學成果？有沒有象華羅庚那樣的大師？」2000年數學家大會在中國開，中國有很多人在大會上發言，但是2004年，我們一個發言的也沒有。據說，2010年又有了，主要是中國人做了副秘書長。丘成桐說的更直白：「差得還很遠！」上海《文匯報》田剛：數學研究不同於體育競技，不能光靠技巧，更多的應是對數學的興趣和不懈的毅力。……奧數能培養數學家？……因此，我們不缺技巧，缺少的是宏觀與大氣，缺少的是想法。

上面僅僅是基於數學分析，如果這些依據是充分的，是不是可以得出這樣的結論：技巧、技術我們還行，但卻缺少大氣，缺少想法，也就是缺少創新意識。到了數學學科裡面來，我們就要思考如何解決創新的問題。數學輻射到生活的方方面面，目前基本還停留在第三高峰期之前，微積分啊什麼的。發展方向：基本素質，宏觀理解，應盡在視野之中。

在我們前進道路上還有困惑：主要來自於這幾個方面：1.大眾與精英？2.好與差的標準?也就是評價的問題，什麼樣的教學是好的教學，什麼樣的教學是好的？3.學科教育、素質教育、創新教育的關係？數學課如果沒有給學生留下發現的種子，那就不行。這三種教育是三個教育還是一個教育？4.功利性扭曲著對教育的價值判斷。5.數學教育的理論與實踐研究均匱乏。我們在編教材時有這種感覺，我們這些年來所積累的教學成果，在編教材時，一本書就編完了。隨著新課程的推進，消化得非常快，新的經驗又沒有積累起來，更沒有成熟。考試製度也沒有完全建立起來。整體上命題理論沒有根本改變。 還是「知識點」、目標教學、長考卷。仍然是經過「大運動量訓練」者佔便宜。

面對如此環境及困惑，該如何思考數學課程的走向問題？

思考一：目標決定數學課程的走向。

數學總是講公理。不管幹什麼，一定要按照那個「理」來干。目標體系在課程綱要中有刻畫，但是不管用什麼語言來刻畫，我認為數學課程目標核心的有三個：一個是為學生繼續接受教育作準備。小學教育一定要為初中教育做準備，把「直線」教好，到初中才能學好圖形。第二與學生的職業和生活有關，有研究表明，我在大學裡學的數學也忘掉70%，對普通勞動者而言，小學裡學的數學很多沒有印記了。所以，數學教育為生活做準備，更多的要服務於生活。小學學到的估算、近似計算有用，但大部分都消耗掉。中學裡學二次方程，但是將曲線去掉的話，真正在生活中用二次方程的也微乎其微。對學生一生有用的東西，在小學特別重要。第三是有助於學生今後成為一個好市民。我們一定要通過學科課程來錘鍊人的品德，基礎教育17個學科，只有每一個學科都把學生當成一個好人來培養，素質教育才會落實。比如說數學有很多功能是其他課程很難承擔的，比如，求實，發現，自信。我覺得，數學課程確實有這樣的功能。我們是不是在教學中落實這樣的功能？以上三點，當然是所有課程都要注重的目標。如果一定要權衡這三個目標中，哪一個更重要，我覺得第二、第三個一定比第一個重要。我們的學生要有職業，要有自己的生活，要成為一個好人。這一點我多次講，在美國的數學課程中，要讓學生成為一個負責任的選民。日本的教學大綱中，數學課程要有助於學生成為世界的日本人。日本是個島國，只有世界眼光，才能更好生存。我們現在三位一體目標，其實還是很抽象的。情感態度目標以前講培養社會主義接班人，還是不夠具體。關注職業、關注生活、關注教育這是情感態度價值觀目標的重點。

上面和數學還沒什麼最直接聯繫，更進一步，第一讓數學積澱成素養（而不僅僅是考試的利器），不能一學就忘。第二讓學生、公眾接受和喜歡數學。現在的課程學生接受了，家長、社會還很難說。第三讓學校數學插上「發現」的翅膀。發現和別的事不一樣，體育明星的子女搞體育，藝術家的子女都是藝術家，但是，發明家的子女差不多都不是發明家，比如愛迪生，愛因斯坦。科學研究研究表明，腦子裡沒有那一塊基因是和創造有關的。這和教育有關。學校教育有責任埋下發現的種子。「錢學森問題」其實就是對教育的批評。

下一步怎麼辦呢？第一，學現實的、有用的數學。數學應該和現實生活聯繫在一起。第二開始嘗試抽象的、理論的數學。第三，逐步體會數學的思想、方法，在此基礎上發展有中國特色的數學課程！

思考二：改革決定數學課程的走向。

課程改革由政府主導， 體現了宏觀與大氣的時代要求，指出了課程的科學、和諧、可持續發展之路。課程改革和經濟改革不一樣，經濟改革是自下而上，農民把土地承包成功了，產量上去了，農民收入增加了，然後，國家再推行聯產承包制。經濟體制改革差不多每個環節都是自下而上的，聯產承包責任制，金融市場的改革，貿易體系的改革，商業制度的改革，都是下面幹了，國家一看，行了，然後成為國家的政策。而教育改革是自上而下的，因為教育面臨的很多問題，老百姓自己是看不懂的。我們也是孩子的家長，考試總是第一位的，你總得考個好大學啊，找個好工作啊，老百姓不就想這點事啊。但是如果國家也這麼想的話，整天想著吃飽飯，那錢學森問題就解決不了了，國家也成不了強國。強國夢就強不了。北京、上海、無錫這些城市，老百姓和國外也差不了多少，但是還有差不多有好幾億的貧困人民，到西北、西南看一看，還看到實實在在的落後。要成為大國，強國，最需要自己的知識產權。靠什麼？靠教育。教育要幫助我們插上發現創造的翅膀。政府捏課程改革的脈搏捏得最好，每一位老師所要想的就是按照自己的位置做好自己的事。課程改革沒有什麼大問題，不能太聽老百姓的。比如服務行業，辦成人民滿意是可以的，但是辦人民滿意的教育難度很大。國家的政策體現了宏觀和大氣的時代要求，也體現了課程的國情、科學。國家課程改革綱要有兩三萬字，要「擠水」的話，其中有兩句話是擠不掉的，一是「創新意識和實踐能力」以前從沒有提；二是培養學生終生學習的願望，也就是可持續發展，科學發展。教育的可持續發展，用一句話就是終生學習，一生有學習的願望、能力。如果把人的可持續發展落實到位，人的、經濟的、環境的可持續發展就能到位。

《數學課程標準》給出了放眼長遠、注重長效的課程方向。無論是試驗稿，還是正在修訂的實驗稿，堅決走數學課程的可持續發展之路。改革決定了數學課程的發展方向。開弓沒有回頭路，課程改革再出發，課程標準沒有問題，是怎麼變得更好的問題。方向沒有問題，從學生出發沒問題，關注實踐沒問題。就是摔跟斗，也要往前摔。有爭論，不要緊。最終大家達成共識。「美國數學戰爭」，戰到專門到中國來考證中國是怎麼回事。「日本數學教育大爭論」都爭論到國際的舞台，開國際會議，日本的發言人，張三和李四都可能爭辯。日本的教材中，圓周率大約是3，連3.14都沒有。我感覺差0.14，差距很大。而他們說，生活中有多少人用圓周率。我說這個的意思是想說爭論很正常，中國和外國比較起來，有些爭論簡直就是毛毛雨。爭論是好事，可以使很多問題一下子變得清楚了。當然，改革不是無條件服從。每一場爭論，都會讓我們的頭腦變得更加清楚。

大家都有這樣的共識：數學應當包含質疑、思考。數學應該有趣，有用，貼近生活。這些都沒問題。幾乎每一個數學家批評數學時都提到數學應當跟上時代，數學不只是「考試數學」。改革兼顧了公民的數學素質與精英人才的培養、熊掌與魚能兼得。現在已經證明了，選幾個苗子去培養來搞創新是行不通的，少年科技大學很多現在找不到了，很多改行了，還有些神經。袁隆平現在是一等一的科學家，他的實驗簡單講，就是種一大片水稻，然後看這裡面有那麼幾株特別好的，在進行雜交，然後再種一大片。現在我們的考試教育把一大批孩子都按住了。一個科學家批評：數學是讓人「開竅」的，現在是讓人「閉竅」。所以，從學生出發，面對每一個孩子，給他們發現的可能，就是培養超級水稻。我們一定要有充分的自信，當國家需要有人來發明創造的時候，有人站起來。不能因為大眾教育，精英就冒不出來。土壤越肥沃就越有希望。奧林匹克金牌如探囊之物，拿個銀牌都很自卑，可是，老外拿銀牌就樂壞了。如果這樣下去堅持那麼幾個周期，我們就會人才輩出，才會成為大國。（未完）

關於數學課程走向的思考（續）

我認為，改革有幾個切入點：第一，重建數學教學模式；第二重新認識數學能力；第三重造數學問題；第四，重樹數學觀和教學觀。

改革的切入點之一：重建數學教學模式。傳統的五環節數學教學模式（複習——導入——新授——鞏固——作業）是凱洛夫的，應該發展、改造。現在從小學到大學都還是這樣。數學教育家弗萊登塔爾寫了兩本書，一本是《作為教學內容的數學》，老師們寫文章引用率很高；一本是《數學教育反思》。兩本書思路大體差不多。他的主要觀點就是，數學教學目標一個叫精神實體，一個叫實體。比如，長度，就是一個實體。長度還有一個精神實體，就是，為什麼要學習長度，長度是什麼，長度在哪裡，長度怎麼表現，平地有長度，山坡還有長度，平面有長度，球面還有長度，長度還可以疊加，把這些事情想清楚了，就是從為什麼開始，一步一步走向抽象長度的過程，叫做精神實體。他的結論：精神實體比實體重要。你告訴學生什麼叫長度，怎麼量長度，你的教學基本是有效的。如果你引導學生從為什麼開始，沿著探索的過程，發現長度，哪怕學生不知道長度是什麼事，你成功了一大半。我為什麼要講這個，弗萊登塔爾的觀點和凱洛夫的正好相反。凱洛夫是不講精神實體的，要把長度講紮實，你就按照我的五步驟就好了。弗萊登塔爾的意思是，這樣不行，你一定得告訴我長度在哪兒，長度怎麼表現的，讓學生自己發現，一步一步從現實到抽象。這是兩種截然不同的教學模式。我覺得，弗萊登塔爾講得非常有道理，真正這麼做會給學生埋下發現的種子。如果長度這麼研究、面積這麼研究，體積這麼研究，你就是不講怎麼運算，長時期的積澱，會形成一種東西，用一句話表示，那就是創新意識。當然，在操作中會遇到很多問題，中國有中國的傳統，中國人是講究目標和計劃的，完全讓學生去發現、探索，時間會拉得很長，空間也會拓展得很展。你可以這麼弄，但天天這麼做不行。而在荷蘭可以天天這麼去做，荷蘭也就因此而強大，我國的綜合實力排第六，荷蘭也就一千六百萬人，排第十。我們要學，要融合在一起。我們現在通過實踐，實際上逐步走出了一條有中國特色、既兼顧傳統又面向未來的新的教學模式。我們現在的複習是和提問題聯繫在一起的。複習+質疑。這次修訂的新課程標準，將發現問題和提出問題，分析問題和解決問題作為兩個重要能力。具體模式為：複習+質疑；導入+創設情景；講授+師生互動；鞏固+反思；作業+主動學習。這個模式和傳統模式的最大區別就是屏蔽了灌輸式教學。總的說來是將探究與發現貫穿始終。質疑是探索，創設情景是探索，師生互動是探索，反思是探索，主動學習是探索。

改革的切入點之二：重新認識數學能力。傳統的三大能力中，邏輯思維能力是核心。傳統的三大能力的來源：前蘇聯的克魯切茨基：（1）把數學材料形式化；（2）概括數學材料發現共同點；（3）運用數學符號進行運算；（4）連貫而有節奏的邏輯推理；（5）縮短推理結構進行簡潔推理；（6）逆向思維能力；（7）思維的靈活性；（8）數字記憶；（9）空間概念。（「形式化、抽象化）這是蘇聯的。其它的能力刻畫，如美國的問題解決；推理與證明；數學交流；數學知識的連接（關聯、綜合）。我國呢，《標準》中義務教育：提出問題、發現問題的能力；分析問題、解決問題的能力。高中：1、數學感覺與判斷。2、數據收集與分析。3 幾何直觀與空間想像。4、數學表示與數學建模。5、歸納猜想與合情推理。6、邏輯思考與演繹證明。7、數學聯結與數學洞察。8、數學計算與演算法設計。9、數學語言與數學交流。10、理性思維與體系構建。所有的能力都可以在小學找到影子，培養都應從這裡開始。

改革的切入點之三：改造數學問題。第一，「對、快、准」需科學考量。一個孩子在北大附小，練習冊上做每分鐘60題口算，從一年級到六年級都是這樣。這不是教材配的，不知道是什麼人編的，家長都去買。改造數學問題，就是要對一些傳統的問題給以思考，尋求科學依據。我們也可以通過自己的實踐來給「量」進行界定。第二，應用題與解決問題不是一回事。應用題的類型是以前的教學大綱提到的。我們傳統的教科書中的應用題，不是應用，是練習的題型，因為所有的題型在現實生活中都不存在。像相聲里批評的出水管的問題，生活中是很多的，而相遇問題等都是編出來的，訓練學生的機智程度和綜合解決問題的能力。而路程問題現在被轉化成什麼呢，現在有個詞叫「變式」，轉換成了研究三者之間的關係。因此，依依不捨的應用題一定要了解它的來源，也不一定是13類，也有人說11類。有一點是肯定的，（應用題）都是學完了以後用的。比如路程問題，先學，學完了再用。它和解決問題不是一回事。解決問題是從學習開始的，沒有現成的結果供你運用，為了解決問題而學，在學的過程中發現一種模式，再去運用。而伴隨著應用而開始的學習，現在的小學數學學習基本都是從應用開始的。每一個新的概念都是從解決問題開始的，從運用開始的。第三，化歸與變式不是一切。第四，開放、情景、應用並重是一個努力方向。

改革的切入點之四：重樹基於「全面知識」的數學觀和教學觀。從「雙基」：對、快、准到「四基」：基礎知識、基本技能、基本思想方法、基本活動經驗。

如果說修訂的標準有什麼大變化，只說一點，肯定就是走向「四基」的新的時代。初衷是這樣的，現在三位一體的目標中，過程與方法也叫做解決問題，但是在課程標準的實驗稿中，已經把提出問題、解決問題寫到課標里了。但是，老師是不大看課程標準的，老師關心的還是雙基。一旦學生掌握有含糊了，還是注重雙基。因此，這次修訂時，把數學思想方法等內容從原來的雙基裡面拿出來了，拿出來的這些其實還是和過程有關係的。課程標準老的稿子，提出問題，解決問題，建立模型，大家還是認為是雙基。因此，這次把基本思想方法、基本活動經驗單列。我認為是非常有道理的，我們為什麼要搞改革呢？我認為是要收穫創新意識和實踐能力，收穫終生學習的願望和能力。如果「又對、又快、又准」能夠收穫創新，能夠收穫實踐能力的話，我們就什麼都不幹了，專門抓那個，既有經驗，又有積累，學生能做冷板凳，家長又熱心。多簡單啊！事實並不是這麼回事，一定要有過程和方法，有思想和經驗。一定要把基本思想方法、基本活動經驗放到檯面上來，和那個基礎知識、基本技能平起平坐，才能夠落實創新意識和實踐能力的培養。為什麼？作為課程內容的數學包括：隱性知識和顯性知識。從幾個角度理解：1.顯性知識：能夠言傳的知識；隱性知識：所知比能言多，只可意會。2.事實性知識、原理性知識是顯性的；理解性的知識、如「數感」；與人及其社會關係有關的知識，如價值觀，是隱性的。相互關係是：顯性：冰山的尖端；隱性：隱藏在冰山下的部分（90%以上）；隱性是顯性的基礎，既可以輔助和嚮導，也可以干擾和衝突。如果我們不盯那個90%，只盯那個10%，10%將不復存在。為什麼我們花了很多時間，學生不喜歡數學，我們不能產生大數學家，上了大學不報數學專業。方程的概念就是顯性的，為什麼學習方程？在現實生活中方程藏在哪裡呢？我們怎麼能夠發現它呢？怎麼用方程解決問題呢？方程可以解決什麼問題呢？我說的這個從現實出發到得出方程的過程，蘊含著思想，在這過程中，從一個未知的需要解決的問題到方程的模型，就是一個發現、探索、刻畫的過程，這個過程中運用的以及在這個過程中積澱下來的，也就是隱性知識。隱性知識的特徵：形式多樣 訣竅、技巧、直覺、思維、意識、約定俗成的默契；信念、價值取向…載體的非技術性：大腦，氛圍…內容不確定性：沒有形成完整體系，不能精確闡述流通困難：灌輸不進去，只能靠體驗、領悟、傳遞、轉化……。從隱性走向顯性是不可改變的教學走向。

重新審視「教什麼」「怎麼教」「教得怎麼樣」？「學什麼」「怎麼學」「學得怎麼樣」？

能力是隱性知識的「外顯」 ；素質是隱性知識的內化與升華。只有顯性知識的人可能會成書獃子；只注重顯性知識的培養是產生「高分低能」的重要原因；要樹立基於「全面知識」的教學觀，把隱性知識納入教學範疇。

知道隱性知識的存在，把握隱性知識的要點，注重顯性知識與隱性知識的結合，是當前轉變教學模式、教學觀念、教學行為的基本點。