《時間之問8》4年1閏，400年多少閏？

內容梗概：通過一個小遊戲激起了師生對連分數的興趣；然後把回歸年和朔望月之比值用連分數展開，他們發現了祖沖之把閏周從19年7閏改為391年144閏背後的數字秘密... 連分數計算與祖沖之提出391年144閏達到了驚人的一致！它還可以推算公曆的閏年、火星大沖。漂亮、驚嘆，已不能完全形容數學之美！ 也許只有一雙擅於發現的眼睛才能欣賞到數學背後的無言之美。」「我們先做個遊戲輕鬆一下吧」，學生剛坐下，老師對他說。「好啊，什麼遊戲？」「你有計算器嗎？」「當然有。」 學生手機，打開計算器。「你隨便想兩個3位整數，不要告訴我，將它們相除，保留8-10位小數點，把結果告訴我，我能猜出你最開始想的那兩個整數分別是多少。」「是嗎？這麼神奇！我試試。」 學生說道。「這兩個整數越隨機越好，最好是不能整除的兩個數。」「好，來了：0.52971311 。」 學生說出了一長串數字。老師拿出手機，按了幾下，很快有了結果。「我猜你剛才按下的數值是517和976.」「哇！猜對了！再來一個：0.20849934」 學生來了興緻。「應該是157和753！」「哇！又猜對了。老師你是怎麼猜的？」「很簡單，還是用連分數。我手機上有個網站，可以在線計算連分數 (http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/cfCALC.html) ，只要輸入你給我的小數，它就自動幫我算出所有的漸進分數，比如最後一次你給我的0.20849934，展開後是：[0; 4, 1, 3, 1, 9, 1, 1, 1, 439, 11, 1, 1, 1, 1, 2 ] 。在這個數列里開始是一些很小的數字，突然來了一個很大的數439，這個數的倒數很小，就說明此後連分數應該變化不大，連分數的精度一下子提高了很多，足夠接近真實的數值了，那麼就截取到439之前，也就是157/753. 因為我限定是100-999的數字，所以最接近的就是157/753了。」連分數分母漸進連分數近似值41/40.2511/50.234/190.2105263157894736715/240.20833333333333334949/2350.20851063829787234154/2590.20849420849420851103/4940.208502024291497971157/7530.2084993359893758443969026/3310610.20849934000078535「真有意思。我以後也可以去和別人去玩這個遊戲了。」 學生說道。「不過這個遊戲也有一些限制，就是必須給出的小數是沒有什麼規律的，如果給出的是0.3333333，那我就沒法猜了，因為有很多數都滿足這個結果，例如100/300，150/450. 所以要求別人隨便給出數值，越隨機越好，越沒規律越好，成功的幾率越大。」「嗯，好的，謝謝老師的溫馨提示。」「其實任意一個小數，或者是兩個數的比值，都可以想辦法用連分數展開。」學生想了想問道：「祖沖之把19年7閏改為391年年144閏，能不能用連分數來解釋呢？」「哦，你還是對祖沖之念念不忘。好，我們試試看。我們把回歸年長度和朔望月長度的比值進行連分數展開，得到兩個整數的比值，7/19是其中一個比較接近的數值，根據我們以前討論的結果，這意味著19年里有7年是13個月，有12年是正常的12個月，12和13的交替組合出12.368...，也就是回歸年和朔望月長度的比值。我們之前提過，祖沖之測量到的太陽回歸年是365.2428148天，他測量到的朔望月是29.5305915天，所以兩者的比值為：365.2428148 / 29.5305915 = 12.3682864450127877. 它的小數部分用7/19來近似有一定誤差，祖沖之於是提出了更精確的閏周144/391。我們接下來驗證一下祖沖之的改進有沒有道理！」「好，非常期待！」「首先，我們用剛才的網站在線把這個小數展開為連分數，得到：[0;2,1,2,1,1,20,23680969972]，也就是：

「如果逐項依次展開，就得到了這個小數的漸進連分數：

「隨著展開分數的增加，3年1閏變成8年3閏，一直到19年7閏，這些小數的值逐漸趨近真實值0.368... 」(0.5-->0.33333-->0.375-->0.363636-->0.36842)，誤差逐漸減少(0.1317-->0.03495-->0.00671-->0.00465-->0.0001346)。」「祖沖之以前普遍所採納的19年7閏，精度達到了萬分之一。那接下來的展開式是多少呢？」「只需在連分數分母繼續增加一個1/20，就等於...」 老師一邊說，一邊寫出來：

「144/391! 哇！奇蹟！怎麼剛好是144/391! 我們和祖沖之不謀而合！難道是巧合嗎？」 學生叫道。「這不是巧合，而是不同方法精確計算後的必然結果。不過，144/391的誤差只有十億億分之三（小數點後16個0），這非常令人驚奇，它的精度比7/19的萬分之一提高了四千億倍！」「哇，真是巨大的飛躍！祖沖之也知道用連分數展開嗎？」「這個我們很難猜到，因為沒有流傳下祖沖之具體的推算方法，他也有可能採用了其它方法。」「那把這個連分數繼續展開呢？」 學生問道。「接下來，連分數的分母里就遇到了一個很大的數：23680969972，它的倒數非常小，對真實值的影響也微乎其微，說明144/391已經非常接近實際數值了，我們可以就此停下了。」「這個連分數數值的精度其實與回歸年和朔望月的測量精度有關，對於祖沖之來說回歸年的測量精度與今天的測量值有萬分之六日的差別，如果不管測量的精度，那麼祖沖之的方法的得出的新閏周是非常符合當時的測量結果的，也和連分數的預測非常相符。」「連分數的用處真多。除了計算閏月，還能計算其它的農曆嗎？比如陰曆的大月和小月的分布？」「可以。農曆月份有時是大月30天，有時是小月29天，並沒有什麼明顯的規律，其實這背後也是數字在起作用。一個朔望月是29.5305915天，那麼把小數部分用連分數展開得到，也就是說 2個月有1個大月，15個月有8個大月，49個月里有26個大月... 這是一般情況，但也有根據農業節氣做出的微調。」

「連分數的用處真多。除了計算閏月，連分數在天文方面還有很多用途吧？哪些和我們相關呢？」「現在世界上通用的公曆的前身是儒略曆，頒佈於公元45年。這部曆法把一年定為365.25天，也就是4年一閏，但是這個和實際的365.2421991天還有一定誤差！」「嗯。」「到了1582年，儒略曆比實際已經差了10天。教皇頒布了新的曆法：格里曆。新曆法規定一年為365.2425天，更接近實際值。根據新的格里曆，1582年10月15日星期五對應於儒略曆1582年10月4日星期四。採用新的格里曆的國家被迫跳過了10天，也就是說有10天被直接刪除了。這引起了工人的暴亂，因為10月份老闆只發20天的工資，而工人們堅持10月份一定要發一整月的工資。」 老師說道。「雖然格里曆的365.2425天比儒略曆更接近實際的天數，但是它的閏年設置比4年1閏更複雜了吧！」「我們把0.2425做連分數展開，發現剛好等於400年97閏，而且400年是整數，便於記憶、方便使用。」

「那400年里究竟哪幾年設置為閏年呢？」「我們一步一步來。首先真實值比0.25略小，比0.24略大，但更接近0.24。所以我們先在100年里設置24個閏年，這相當於每4年1閏或100年25閏，但是到了第100年的時候不閏，所以是24閏。」「接下來呢？」「這樣，400年應該閏了24x4=96次，比97次還少1閏。這樣，到了第400年，還是再加1閏。總結一下就是：4年1閏，100年不閏，400年閏一次。」「所以2000年2月29日出生的人，本來他/她出生的那一天應該是3月1日的，但由於400年1閏，所以他/她只好每4年過一次生日了！」「對。400年97閏，97/400=0.2425。雖然它和真實的0.2421991之間的誤差很小了，可是仍有一些誤差。」「這些誤差積累多久才能積累到一天呢？」 學生問道。「這個很容易估算，一年真實是365.242199天，而格里曆是365.2425天，那麼每年差了0.000301天。那麼要1/0.000301=3322年後誤差才積累到一天，這已經相當小了。」「那3322年以後該怎麼辦呢？」「這個問題，就留給子孫後代去考慮吧。那時候的科技水平已經很發達，一定能夠找到一個合適的解決方法。」 老師說道。「連分數還有什麼用處？」「你聽說過火星大沖嗎？」 老師問道。「聽說過，每隔若干年，火星距離地球相對比較近，看起來很明亮，不過是多久我不記得了。這也可以用連分數來預測？」「對。」

火星與地球距離很近時稱為「火星大沖」「我猜一猜，這應該和火星公轉周期和地球的公轉周期的比值有關吧？ 」「你說的沒錯。」「火星的公轉周期是多久呢？我查一下。」學生說道，「火星的周期是686.971天，那麼和地球周期相比得到一個分數：687.971/365.2422=1.8809.」「好，做連分數展開得到一系列漸進分數：2/1（2），15/8（1.875）， 32/17（1.88235），47/25（1.88），79/42（1.88095）。根據15/8，地球轉15周約等於火星轉8周，但是這個比值比較粗糙。如果到79/42就非常接近實際值了，所以可以認為每隔79年就又會在相同的位置發生一次火星大沖。」「嗯，看來一輩子只能看到一次了。但是如果是按15年一次，就可以看到很多次了。」「對。不過我們之間的見面就頻繁多了，每周一次。」學生笑了笑說：「好的，老師下周見！」參考文獻：徐誠浩，《連分數與曆法》 ，高等教育出版社，2007-12《時間之問》 | 系列目錄
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