成千上萬黑洞數模塊

千萬黑洞數模塊輔導教程模塊背景：在茫茫宇宙里，存在著一種叫「黑洞」的天體。它是由高密度物質組成，任何物質只要靠近黑洞就會被「吞噬」，連光線射到這個天體上都會被吸收掉，不能反射。人們看不見這個天體，所以稱它為黑洞。無獨有偶，在數字王國里也存在著許多「數字黑洞」，如果一個數字「公民」，任憑一種運算或規則的擺布，就會掉進「黑洞」，無法自拔。讓我們一起探尋一下「數字黑洞」形成的秘密。一、搜尋黑洞數。下面給大家介紹一種尋找「黑洞數」的一般方法：排序求差法。規則是，任取一個正整數（要求數字不完全相同），把它的各位數字按從大到小重新排列，再把它的各位數字按從小到大重新排列，分別組成最大數和最小數，並用最大數減去最小數，對所得的差重複上述過程。如果持續不停地重複下去，就會找到黑洞數。（1）以67為例，探尋兩位數的「黑洞數」：所以兩位數的「黑洞數」是：9，81，63，27，45組成的「漩渦型黑洞數」。（2）以103為例，探尋三位數的「黑洞數」：103→297→693→594→495→……所以三位數的「黑洞數」是：594。（3）以3109為例，探尋四位數的「黑洞數」：3109→9171→8532→6174→6174→……所以四位數的「黑洞數」是：6174。如果大家有興趣，可以嘗試用其數字去探詢黑洞數。在探尋的過程中，你會體驗到被「黑洞」吸引的感覺，這就是數學的神秘之美。二、小心啊！ 你的生日離黑洞有多遠！有一位網友，說他爺爺今年85歲了，沒有受過高等教育，但對很多知識都很感興趣，去年7月的一份報紙中，讓他對黑洞數琢磨良久。據貴報2007年7月27日生活家遊戲版《黑洞數6174》，爺爺發現一個有趣的現象，發現如果數字元合以下情況可以一次相減得到黑洞數6174。舉例如下：9863－3689=6174；8532－2358=6174；7311－1137=6174；6640－0466=6174；6200－0026=6174；7421－1247=6174；9973－3799=6174；這位老人發現這七個數字，與黑洞數6174隻差一步之遙，真是太玄了。我們規定每個人的生日都是四位數，如10月12日，可組成1012，但6月28日，組成了628，但我們把它看成四位0628，進行排序求差的演算得：628→8620-268＝8352→8532-2358＝6174，這個具有兩個完全數組成的生日，離黑洞數只有兩步啊！而1012是四步。大家試試，你的生日離黑洞有多遠？定理：任意取一個四位數,經過至多7次排序求差的演算,必定能得到6174。證明:設A>B>C>D ，第一次操作可能出現7種情況: (1)AAAB-BAAA ；(2)ABBB-BBBA ；(3)AABB-BBAA ；(4)AABC-CBAA ；(5)ABBC-CBBA ；(6)ABCC-CCBA ；(7)ABCD-DCBA 。考慮(1),AAAB-BAAA的個位數為10+B-A,十位,百位都是9,千位是A-B-1 ；考慮(2),ABBB-BBBA的個位數為10+B-A,十位,百位都是9,千位是A-B-1 ；考慮(3),AABB-BBAA的個位數為10+B-A,十位為9+B-A,百位是A-B-1,千位是A-B ；；考慮(4),AABC-CBAA的個位數為10+C-A,十位為9+B-A,百位是A-B-1,千位是A-C ；考慮(5),ABBC-CBBA的個位數為10+C-A,十位,百位都是9,千位是A-C-1 ；慮(6),ABCC-CCBA的個位數為10+C-A,十位為9+C-B,百位是B-C-1,千位是A-C ；考慮(7),ABCD-DCBA的個位數為10+D-A,十位為9+C-B,百位是B-C-1,千位是A-D 。注意到(1)中操作後新四位數的千位,個位的和為9,因此新四位數只可能是0999,1998,2997,3996,4995(後面的5994,6993,7992,8991,9990可以不用考慮,因為下次操作時4995,5994計算結果相同,其餘類似) 。同理(2),(5)中操作後新四位數和(1)一樣；(3),(4),(6),(7)中操作後新四位數的千位,個位的和為10,百位,十位的和為8,因此新四位數只可能是：1089,1179,1269,1359,1449 ；2088,2178,2268,2358,2448；3087,3177,3267,3357,3447；4086,4176,4266,4356,4446 ；085,5175,5265,5355,5445 。所以我們只需驗證下面這30個數經過不超過6次操作後可以得到6174即可 。0999,1998,2997,3996,4995 ；1089,1179,1269,1359,1449 ；2088,2178,2268,2358,2448 ；3087,3177,3267,3357,3447 ；4086,4176,4266,4356,4446 ；5085,5175,5265,5355,5445 。將30個數分為6個集合 ：S（1）={4176,2358} ；S（2）={1179,1269,2088,3087,3357,4266} ；S（3）={1089,4356,1998,3996} ；S（4）={0999,2268,3177,3447,4446,5265,5355,5445} ；S（5）=[2997,4995,2178,3267} ；S（6）={1359,1449,2448,4086,5085,5175} 。則S(i+1)中的任意一個元素經過一次操作後,新四位數作適當排列可以得到S（i）中的某一個元素,且S（1）中的任意一個元素經過一次操作後必定得到6174。定理2： 對任一個各位數字不全相同的三位數，施行如下的「重排求差」運算:將其各位數字按由大到小和由小到大的順序從左到右重新排列，各得一個三位數，然後前者減去後者，得一數.對此數再施行上述「重排求差」運算.證明經如此有限次運算後，最後必得495。證明：事實上，對任一個各位數字不全相同的三位b3b2b1，不妨設b3≥b2≥b1， b3≠b1則 b3b2b1一b1b2b3- (b3一1一b1)9(10+b1一b3).其中間一位數字必為9，首末兩位數字之和也為9，因而只要考察如下6個數:990, 891，792. 693, 594,容易驗證，對這5個數中的任一個數，施行有限次(不會超過5次)「重排求差」運算後，必得495。三、黑洞數的性質：黑洞數問題是近幾十年來有趣數學問題。它已引起國內外數學界的廣泛注意和研究。我們可以從黑洞數的性質人手，另闢一徑進行研究，很快就能得到二位到八位的全部黑洞數，並第一個發現了黑洞數的神奇衍生法，從而把黑洞數問題的研究推向更深層次。首先給出黑洞數的幾個重要性質：性質1 ：黑洞數一定能被9整除。證明: 由於一個數N，與它的數字和同餘（mod9），而排序求差，不改變數字的組合，大數和小數同餘，因此兩個數的差必定被9整除，所以黑洞數能被9整除。性質2：奇數位黑洞數必定能被99整除，而且中間位數字bm=9。證明:把一個數N由右邊向左邊數，將奇位上的數字與偶位上的數字分別加起來，再求它們的差，設為r，那麼這個差與原數同餘，即N≡r（mod11），奇數位黑洞數排序求差的大數與小數，除以11的餘數相同，因此它們的差是11的倍數。由性質1，黑洞數一定能被9整除。所以奇數位黑洞數必定能被99整除。又因為求差時中間數字相同，求差結果必定是9。性質3:黑洞數Nm=b1b2……bm(m≥4)只能屬於下列二種情況之一(1)b1+bm＝10;(2)b1+bm＝9且b2＝b3=……bm-1=9。三、各位黑洞數的尋找：二位數，三位黑洞數只須從能被99整除的三位數，四位以上的黑洞數只須從能被9整除(奇位黑洞數能被99整除且中間位數字是9)且首末位數之和等於10的數中去尋找就行了。再注意到一個數能被9整除的充要條件是該數各位數字之和能被9整除，以及排序求差運算僅與數碼有關而與數的大小無關，我們就得到下面的 結論：二位黑洞數只能由18，27，36，45經過排序求差運算產生，簡單計算後得到一個黑洞圈((5個黑洞數組成):（63，27，45 ,09，81）;三位黑洞數只能由198，297，396，495經過排序求差運算產生，計算後僅有一個黑洞數495;四位黑洞數只能從下列的數經排序求差運算產生:1ij9,2ij8, 3ij7, 4ij6, 5ij5(這裡i=0,1,2,3,4且i=8-j;或者i=8而i=9)，計算後也僅有一個黑洞數6174;五位黑洞數只能從下列的數經排序求差運算嚴生:1i9j9,2i9j8, 3i9j7, 4i9j6; 5i9j5(這裡i=0,1,2,3,4且j=8-i;或者i=8而j=9)，計算後得到三個黑洞圈共10個黑洞數):(1) 83952, 74943, 62964, 71973;(2) 82962, 75933, 63954, 61974;(3) 53955, 59994;六位黑洞數只能從下列的數經排序求差運算產生:1ijkl 9,2ijkl8, 3ijkl7, 4ijkl6, 5ijk15,(這裡i.＝0，1，2，3，4,j =0, l,2,3,4，而k=8-j,1=9-i) ,還可以這樣產生：1i99j9,2i99j8,3i99j7.4i99j6,5i99j5；(這裡的i=8-j)計算後得到三個黑洞圈:(1) 420876, 851742, 750843，840852, 860832,862632, 642654;(2) 549945;(3) 631764;仿此計算，不難發現七位數只有一個黑洞圈:8429652，8719722，7619733，8649432，8439552，7519743，7509843，9529641。八位數則有四個黑洞圈:(1) 85317642, 75308643, 84308652, 86308632，86326632. 64326654. 43208766:；(2) 64308654, 83208762, 86526432;(3) 63317664;(4) 97508421;九位數只找到一個黑洞數：864197532, 十位數也只找到一個黑洞數9753086421。五、黑洞數的神奇衍生法在深人研究了二位-一八位的黑洞數的結構後，結合上述三個性質，我們發現了黑洞數的有趣衍生法，即一些黑洞數(圈)，它們可按照一定的規則，奇蹟般衍生出一系列更多位的黑洞數(圈)來。若一個黑洞數(圈)有二種以上的衍生法，則其中每一個黑洞數(圈)也必然能按照這幾種衍生法，分別產生出高位黑洞數(圈)。方法1：由495衍生而成(每段插入k一1個數碼)，即99…95…54…4-4…45…59…9 ＝5…549…9 94…45 (k=1,2,3,，…)，即就是495依次間隔地插人了k-1個5,k-1個9和k-1個4得到的(不妨稱為A型衍生法);方法2：(2)N2k+2=63…3176…6 4，是一個2K+2位黑洞數，它是由黑洞數6174其間對稱地插人k-1個3和k-1個6得到的(不妨稱為B型衍生法);方法3：99…975084200…01是 一個2k+6位黑洞數，它是由黑洞數97508421其間對稱地插人k-1個9和0得到的(不妨稱為C型衍生法);方法4：555430865444,832110888762,877652643222，也是一個2k+6位的黑洞圈，它是由八位黑洞圈64308654, 83208762, 86526432；依次對稱地插人k-1個5-4,k-1個1-8和k-1個7-2得到的(不妨稱為D型衍生法);以上結論，都不難由黑洞數的定義直接驗證，讀者可自行證明。例1：九位黑洞數864197532用A型與B型衍法，可得一個9k位黑洞數： N9k=8…886…664…442…219…997…775…553…331…12和一個2k+7位黑洞數：N2k+7=8643…3 1976…6532。例2：(851742,750843, …,420876)，循環周期m＝7，可衍生而成為：(853…3176…642，753…3086…64343…320876…66)為由(6174)衍生的黑洞數(63…3176…64)。例 3：由(97508421)衍生的2k+6位黑洞數為(99…97508420…001).。例4：由(64308654,83208762,86526432)衍生的為:(65…54308654…44,8321…1088…8762，87…76526432…22).是2k+6位。懸而未能解決的問題:(1)黑洞數除了上述四種衍生法，還有別的衍生法嗎?(2)為什麼有些黑洞數(圈)不能用這四種衍生法產生新的黑洞數(圈)?例如前面所述的五位的三個黑洞圈，七位的一個黑洞圈，以及下列的11位黑洞圈等:86330986632, 96532966431,87331976622, 86542965432,76320987633，96442965531，87320987622, 966539543310。習題1.什麼叫黑洞數？有沒有一位黑洞數？2.請你驗證864197532是黑洞數。3.你把你的生日當作三位數，或四位數，進行排序求差演算，看幾步能得到黑洞數？4.黑洞數有幾種衍生法？6位黑洞數549945，與三位黑洞數有什麼關係？請尋找11位黑洞數。電子表格模塊操作指南一、第一關：一位黑洞數，只有一種情況。第一關一位數原數反序數差000110220330440550660770880990一位黑洞數是0二、第二關：二位黑洞數第二關2位數二位黑洞數是(81,63,27,45,09)循環原數反序數排序求差反序數排序求差反序數排序求差1001099081186311110000000000三、第三關：三位黑洞數，可用函數MOD(A3,10)，MOD(INT(A3/10),10)，=MOD(INT(A3/100),10)來分解三位數，用函數LARGE(B3:D3,1)排序。用函數(E3&F3&G3)-(G3&F3&E3)進行排序求差，用函數IF(H3三位黑洞數需要計算6次。第三關3位數三位黑洞數是495原數分解排序第一次排序求差1000011009909910110111099099102201210198198103301310297297104401410396396與黑洞數的距離6666565456434563123456123456234563456456566四、第四關：四位黑洞數。可用函數MOD(A3,10)，MOD(INT(A3/10),10)，=MOD(INT(A3/100),10)，INT(A3/1000)來分解四位數，用函數LARGE(B3:E3,1)排序。用函數(F3&G3&H3&I3)-(I3&H3&G3&F3)進行排序求差，用函數IF(J3四位黑洞數需要計算7次。第四關4位數四位黑洞數是6174原數分解排序第一次排序求差10000001100099909991001100111001089108910022001210020882088
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