倍數與因數奧數測試題

人教版《因數與倍數》

一、基礎與提高。

1、教學目標：

（1）認識自然數、整數、倍數、因數；

(2)認識奇數和偶數，掌握2，3，5的倍數的特徵。

(3)在1-100中，能找出10以內某個自然數的所有倍數；能找出10以內兩個自然數的公倍數和最小公倍數。

(4)在1-100中，能找出某個自然數的所有因數；能找出兩個自然數的公因數和最大公因數。

（5）利用公倍數和公因數的有關知識解決生活中的實際問題。

2、基礎知識講解：

●自然數a除以自然數b（0除外），除得的商是整數而沒有餘數，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a。

如果a能被b整除，a叫做b的倍數，b叫做a的因數。

●能被2，3，5整除的數的特徵：

2的倍數特徵：個位是0，2，4，6，8的數

5的倍數特徵：個位是0，5的數

3或9的倍數特徵：各個數位上的數字之和能被3或9整除。

4或25的倍數特徵：末兩位數能被4或25整除。

8或125的倍數特徵：末三位數能被8或125整除。

11的倍數的特徵：奇數位的數字之和與偶數位上的數字之和的差是11的倍數。

●奇數與偶數：能被2整除的數叫偶數，不能被2整除的數叫奇數。

質數與合數：一個數除了1和它本身以外，沒有其它的因數，這個數叫做質數（素數）。一個數除了1和它本身外，還有別的因數，這個數叫做合數。1既不是質數，也不是合數。

把一個合數寫成幾個質數相乘的形式，叫做分解質因數。

●最大公因數與最小公倍數：一般情況用短除法求。

特殊情況：倍數關係：（m，n）=m [m，n]=n （n是m的倍數）

互質關係：（m，n）=1 [m，n]=mn

3、經典例題：

例1：下列哪些式子是整除式？

（1）8.8÷1.1=8 （2）130÷10=13

（3）29÷7=4……1 （4）14÷5=2.4

分析與解：根據整除的定義，被除數和除數必須是整數，商是整數而沒有餘數才叫整除，因此只有（2）式才是整除式。

例2：寫出24的因數和倍數。

分析與解：因為1×24=24 2×12=24 3×8=24 4×6=24

所以24的因數有：1，2，3，4，6，8，12，24

因為24×1=24，24×2=48，24×3=72，24×4=96……

所以24的倍數有24，48，72，96……

例3：一個數萬位上是最小的合數，百位上是最大的一位數，個位上是最小的質數，百分位上的數既不是質數也不是合數，其餘數位的數字是零，這個數是多少？

分析與解：最小的合數是4，最大的一位數是9，最小的質數是2，既不是質數也不是合數的數是1。所以這個數是40902.01。

例4：1路汽車每隔3分鐘發一次車，3路汽車每隔5分鐘發一次車。這兩路車同時發車後，至少再過多少分鐘後又同時發車？

分析與解：1路汽車每隔3分鐘發一次車，就是指發車時間是3的倍數，3路汽車每隔5分鐘發一次車，就是指發車時間是5的倍數。至少再過多少分鐘又同時發車一次，只要求是3和5的最小公倍數即可。

[3，5]=15。

答：至少再過15分鐘後又同時發車。

例5：小明想把一張長36厘米，寬24厘米的白紙折出一些儘可能大的正方形，最後沒有多餘，請問這些正方形的邊長是多少？一共可以折出多少個正方形？

分析與解：要想使最後沒有多餘，那麼正方形的邊長必須是36的因數，也必須是24的因數，這些因數里最大的一個就是正方形的邊長。

（36，24）=12

36÷12=3

24÷12=2

3╳2=6

答：這些正方形的邊長是12厘米，一共可以折出6個正方形。

例6：為慶六一，六年級同學買來336枝紅花，252枝黃花，210枝粉花，用這些花可以紮成每束最多多少束同樣的花？在每束花中，紅、黃、粉三種花共有幾枝？

分析與解：要使每一束花的花束最多，並且沒有剩餘，就是求每束花的最大公因數。

（336，252，210）=42

336÷42=8

252÷42=6

210÷42=5

8+6+5=19（支）

答：這些花可以紮成每束最多42束同樣的花，在每束花中，紅、黃、粉三種花共有19支。

4、數學思想方法總結：

在實際應用時,如何區分是求最大公因數還是求最小公倍數,成為很多學生的難題.其實,可以把問題模型化,畫一些簡單的示意圖就可解決.例如把一個長方形裁成若干個邊長最大的正方形,動手一畫,就發現是要求長與寬的最大公因數.把若干個長方形拼成一個邊長最小的正方形,動手一畫,就發現是要求長與寬的最小公倍數.

5、設計構想：

<倍數與因數>的知識點相當多,概念特別容易混淆,建議同學們把這部分知識整理成知識樹,理清它們的區別與聯繫。本單元的題型也很多，通過各種各樣的題型練習，同學們可以學會如何審題，找到具體問題與實際知識點之間的聯繫。

6、鞏固練習：

1、寫一個能同時被4和25整除的最小五位數。

分析與提示：4和25是互質數，同時能被4和25整除的數一定是100的倍數，這個最小五位數是10000。

2、在機床上有甲、乙兩個齒輪相互咬合，甲齒輪有28個齒，乙齒輪有42個齒，當這兩個齒輪第二次咬合時，乙齒輪轉了幾圈？

分析與提示：[28，42]=84

84÷42=2

答：乙齒輪轉了2圈。

3、（1）A和B都是自然數，若A÷B=10，那麼A與B的最大公因數是（ ），

最小公倍數是（ ）。

（2）若A=3×2×5×7 B=3×5×2×11，則A和B的最大公因數是（ ），最小公倍數是（ ）。

分析與提示：（1）A和B是倍數關係時，且A大於B，A與B的最大公因數是B，最小公倍數是A。

（2）A和B的最大公因數是3×2×5=30，最小公倍數是3×2×5×7×11=2310。

4、有兩個數，它們的最大公因數是15，最小公倍數是225，其中一個數是45，另一個數是多少？

分析與提示：兩個數的積等於這兩個數的最大公因數乘以這兩個數的最小公倍數。所以另一個數是15×225÷45=75。

5、有兩個數，其中的一個數是另一個數的，已知它們的最小公倍數是54，那麼這兩個數的最大公因數是多少？

分析與提示：將「其中的一個數是另一個數的」這句話進行轉化得：「另一個數是這個數的3倍」，可發現，當兩個數是倍數關係時，它們的最小公倍數就是較大的那個數，所以這兩個數分別是54和18，它們的最大公因數是18。

6、長和寬為自然數，面積為105的形狀不同的長方形共有多少種？

分析與提示：因為105=1╳105=3╳35=5╳21=7╳15

可把每一組數據當做長方形的長和寬，故有5種。

7、一個長方形的面積是240平方厘米，長和寬是相鄰的兩個自然數，這個長方形的周長是多少厘米？

分析與提示：240=15╳16，所以這個長方形的周長是（15+16）╳2=62厘米。

8、把14、33、6、55、35、49這六個數平均分成兩組，使這兩組數各自的積相等。

分析與提示：先把這6個數分解質因數：

14=2╳7

33=3╳11

6=2╳3

55=5╳11

35=5╳7

49=7╳7

在這6個因式中，共有2個2，2個3，2個5，2個11，4個7。

所以這兩組只能是49，6，55和14，35，33。

二、數學能力的拓展與提高。

1、數學思維方法的講解。

（1）在求公倍數時，每3天去一次與每隔3天去一次並不一樣，要注意區別。

（2）求一個數的因數有多少個，有一個公式，請同學們掌握，同時可以用來檢驗找因數時是否有遺漏的情況。

2、數學思維方法的應用。

例1：若A=3²×5⁴×7⁵，那麼A有多少個因數？

分析與解：A的因數含有因數3的有3種情況，含有因數5的有5種情況，含有因數的有6種情況，搭配起來，共有3╳5╳6=90種情況。

答：A有90個因數。

由上題我們可發現求因數個數的計算方法：

若A分解因式的結果是：

A=a^m×bⁿ×……×c^p

那麼A的因數有（m+1）×（n+1）×……×（p+1）個。

例2：有0，1，5，7，6五張卡片，從中選出四張組成一個四位數，使得這個數能被2整除，又能被3整除，這個數最大是多少？

分析與解：先選擇較大的數。若選擇7，6，5，1四個數，不管組成的數是多少，都不能被3整除，故選擇7，6，5，0四個數字，這個數最大是7650，它既能被2整除，又能被3整除。

例3：六年級72名學生共捐款（ ）85.9（）元，若每人捐款的數量兩樣多，請你推測每人捐了多少錢？

分析與解：因為72=8×9，8和9互質，所以（ ）859（ ）這個數一定是8和9的倍數。

若是8的倍數，那麼59（ ）一定是8的倍數，只有592是8的倍數。

若是9的倍數，8+5+9+2=24，只有24+3=27，所以這個數只能是38592。

385.92÷72=5.36(元)

答:可推測出每人捐人5.36元。

例4：某班學生人數在40與50之間。如果分成6人一組，那麼有一個小組少4人；如果分成8個人一組，那麼有4個小組各多一人。求這個班的人數。

分析與解：先假設這個班的人恰好可分成6人一組，也恰好可分成8人一組，那麼這個班的人數就是8和6的公倍數，在40-50之間的數滿足這個條件的只有48，嘗試一下：

48-4=44

44÷8=5……4

滿足條件。

答：這個班的人數是44人。

例5：從學校到少年宮的路上，一共有37根電線杆，原來每2根電線杆之間相距50米，現在要改成每2根之間相距60米，除兩端的2根不需移動外，中間還有多少根不必移動？

分析與解：先求出學校到少年宮的路程：

（37-1）×50=1800（米）

[50，60]=300

所以第300米、600米、900米、1200米、1500米處的電線杆不必移動。

答：中間有5根不需要移動。

3、鞏固練習：

1、一個最簡分數，分子、分母的和是50，如果把這個分數的分子、分母都減去5，所得分數的值是，原來的分數是（ ）。

A、B、C、D、

分析與提示：原來分數的分子與分母的和是50，把這個分數的分子和分母都減去5後，現在分子與分母的和是40，分數的值是，現在分數的分子是40÷5╳2=16，分母是24，原來的分數是，故選擇B。

2、警察查找一輛肇事汽車牌號（四位數），一位目擊者對數字很敏感。他提供說：「第一位數字最小，最後兩位數是最大的兩位偶數，前兩位數字的乘積的4倍剛好比後兩位數少2。「你能幫警察叔叔猜出這個車牌號嗎？

分析與提示：最大的兩位偶數是98，倒推法得到前兩位數是（98-2）÷4=24。所以這個車牌號碼是2498。

3、一個能被2和3同時整除的四位數，它的千位上的數既是奇數又是合數，它的百位上的數不是質數也不是合數，它的十位上的數是最小的質數，個位上的數是多少？

分析與提示：千位上的數是9，百位上的數是1，十位上數是2，同時又因為這個四位數能同時能被2和3整除，所以個位上的數可能是0或6。

4、一筐蘋果不超過250個，3個3個地數，5個5個地數，7個7個地數恰好數完。這筐蘋果最多有多少個？

分析與提示：這筐蘋果肯定是3的倍數，5的倍數，7的倍數。[3，5，7]=105，在250以內，這堆蘋果最多有210個。

5、商店裡有6箱貨物，分別重16，17，18，19，20，31千克，兩個顧客買走了其中的5箱。已知一個顧客買的貨物的質量是另一個顧客的2倍。問：商店裡剩下的1箱貨物重多少千克？

分析與提示：這6箱貨物共重16+17+18+19+20+31=121千克，因為一個顧客的貨物是另一個顧客的2倍，這兩個顧客買走了其中的5箱貨物總重一定是3的倍數，只有121-16=105，121-19=102，121-31=90滿足條件。

105÷3=35 35=17+18 滿足要求；

102÷3=34 34=16+18 滿足要求；

90÷3=30 不滿足要求；

答：商店裡剩下的1箱貨物重16千克或19千克。

6、甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的環形跑道從同一點同時同向跑步，經過多少時間三人又同時從出發點出發？

分析與提示：甲跑一圈需要時間：600÷3=200（秒）

乙跑一圈需要時間：600÷4=150（秒）

丙跑一圈需要時間：600÷2=300（秒）

[200，150，300]=600

答：經過600秒三人又同時從出發點出發。

7、500位同學站成一排，從左到右數「1，2，3」報數，凡報到1和2的離隊，報3的留下，向左看齊再重複同樣的報數過程，如此進行了若干次後，只有兩位同學了，這兩位同學在開始的隊伍中位於從左到右的第幾個？

分析與提示：第一次報數留下的人是3，6，9，12，……恰好是3的倍數。

第二次報數留下的人是9，18，27，……恰好是9的倍數。

第三次報數留下的人是27，54，81，……恰好是27的倍數。

第四次報數留下的人是81，162，243，……恰好是81的倍數。

第五次報數留下的人是243，486號同學。

答：這兩位同學在開始的隊伍中位於從左到右的第243號和第486號。

三、數學思維訓練。

1、經典例題：

例1：在六位數568□□□的方框中填入三個數字，使這個六位數能被3，4，5整除。求滿足條件的最小的六位數。

分析與解：設六位數為568ABC，因為六位數分別是3，4，5的倍數，所以：

（1）5+6+8+A+B+C=19+A+B+C是3的倍數，即A+B+C被3除餘2。

（2）BC 是4的倍數。

（3）C=0或5。

由此可知，C=0，且B是0，2，4，6，8之一。

由於要求最小的六位數，所以A從最小數開始試驗，有A=0、B=2時滿足條件。所以所求的六位數為568020。

例2：已知七位數92AB427能被99整除，求這個七位數。

分析與解：因為99=9╳11，且9和11互質，所以所求的七位數要能被9和11整除。有：

（1）9+2+4+2+7+A+B=24+A+B是9的倍數，得：

A+B=3或 A+B=12

（2）9+4+7+A-（2+2+B）=16+A-B是11的倍數，得：

A-B=6或 B-A=5，

對比條件可知，只有當A+B=12，A-B=6時，A、B有解：

A=9 ，B=3

因此所要求的數是：9293427

例3：把一張長1米3分米5厘米、寬1米5厘米的紙裁成同樣大小的正方形紙塊，而沒有剩餘，問能裁成最大的正方形紙塊的邊長是多少？共可裁成幾塊？

分析與解：要把長方形的紙裁成同樣大小的正方形紙塊，還不能剩餘，這個正方形紙塊的邊長應該是長方形的長和寬的公約數。由於題目要求是最大的正方形紙塊，所以正方形紙塊的邊長是長方形的長和寬的最大公約數。

1米3分米5厘米=135厘米

1米5厘米=105厘米

（135，105）=15

長方形的面積是：135╳105=14175（平方厘米）

正方形的面積是：15╳15=225（平方厘米）

共可裁成正方形紙塊：14175÷225=63（張）

例4：一盒鉛筆，可以平均分給2，3，4，5，6個小朋友，這盒鉛筆最少有多少支？

分析與解：這些鉛筆可以平均分給2，3，4，5，6個小朋友，因此，鉛筆的支數一定是2，3，4，5，6的公倍數，求鉛筆最少有多少支，就是求2，3，4，5，6的最小公倍數。

[2，3，4，5，6]=60

例5：兩個質數的和是50，求這兩個質數的乘積的最大值是多少？

分析與解：把50表示為兩個質數的和，共有四種形式：

50=47+3=43+7=37+13=31+19

經計算髮現：31╳19=587最大。

例6：試寫出十個連續的自然數，個個都是合數。

分析與解：我們要想找出十個連續的自然數而且每個數都是合數，顯然1，2，3，4，5，6，7，8，9，10是不行的，因為這十個自然數不是個個都是合數。

我們設K=1╳2╳3╳4╳5╳6╳7╳8╳9╳10╳11

那麼K+2，K+3，K+4……K+11為連續的10個數。

K是2的倍數，所以K+2能被2整除；

K是3的倍數，所以K+3能被3整除；

K是4的倍數，所以K+4能被4整除；

……

K是11的倍數，所以K+11能被11整除。

所以K+2，K+3，K+4……K+11為連續的10個合數。

2、數學思維訓練題：

1、爺爺對小明說：「我現在的年齡是你的7倍，過幾年是你的6倍，再過幾年是你的5倍、4倍、3倍、2倍。」爺爺和小明現在的年齡各是多少？

分析與提示：此題先可以這樣想：

設小明今年X歲，爺爺今年就是7X歲。再過A年，可列方程：

6（X+A）=7X+A

解得X=5A

再過B年，可列方程：

5（X+B）=7X+B

解得X=2B

所以X既是5的倍數，又是2的倍數，所以X是10的倍數。可從10嘗試驗證。恰好得到爺爺今年70歲，小明今年10歲。

2、甲、乙兩人在400米的環形跑道上晨練，甲跑一圈需要70秒，乙跑一圈需要75秒，兩人約好同時從起點出發，到兩人同時回到終點時結束晨練，那麼這次晨練他們用了幾分鐘？

分析與提示：[70，75]=1050。

1050÷60=17.5(分)

答:這次晨練他們用了17.5分鐘。

3、有一根繩子，分別在它的10等分處、12等分處和15等分處剪斷，那麼這根繩子最後被剪成幾段？

分析與提示：假設這段繩子長60米。

60÷10=6（米）

60÷12=5（米）

60÷15=4（米）

10等分和12等分重疊的地方在30米處；

10等分和15等分重疊的地方在12米、24米、36米、48米處；

12等分和15等分重疊的地方在20米、40米處。

9+11+14-7=27

27+1=28（段）

答：這根繩子最後被剪成28段。

4、大雪後的一天，小亮和爸爸共同步測一個圓形花園的周長，他倆走的起點和

方向完全相同，小亮每步長54厘米，爸爸每步長72厘米，由於兩人的腳印有重合，所以各走完一圈後雪地上只留下60個腳印，求花園的周長。

分析與提示：[54,72]=216

216÷54=4(步)

216÷72=3(步)

4+3-1=6(步)

60÷6╳216=2160(米)

答:花園的周長是2160米。

5、有一根長方體木料，它相鄰兩個面的面積是108平方分米和32平方分米，長、寬、高都是整分米數且長度均不為1分米，如果把它鋸成若干個小正方體並能拼成一個大正方體，那麼這個長方體的長、寬、高各是多少？這根長方體木料最少能鋸成幾個小正方體？需要鋸幾次？

分析與提示：設長方體的長、寬、高分別為a，b，c，可列式：

Ab=108 bc=32

108=2╳2╳3╳3╳3 32=2╳2╳2╳2╳2

由上可知寬一定是108和32的公因數(1除外),所以:

B=2或4

那麼它的長、寬、高分別為54，2，16或者是27，4，8。

當長、寬、高分別為54，2，16時，最少可鋸成棱長是2厘米的小正方體共：（54╳2╳16）÷（2╳2╳2）=216（個）。需要鋸的次數為：

54 ÷2=27 27-1=26（次）

16÷2=8 8-1=7（次）

共 26+7=33（次）

當長、寬、高為27，4，8時，最少可鋸成棱長是4厘米的小正方體，除去余料，共：（24╳4╳8）÷（4╳4╳4）=12（個）。需要鋸的次數為：

27÷4=6……3

8÷4=2 2-1=1（次）

共 6+1=7（次）

6、爺孫倆人今年的年齡乘積是693，4年前他們的年齡都是質數，爺孫倆人今年各多少歲？

分析與提示：先將693分解質因數：

693=3╳3╳7╳11

根據一般生活情況，爺爺和孫子現在的年齡只可能分別是：63歲和歲11，77歲和9歲，99歲和7歲。而4年前他們的年齡都是質數，爺孫倆今年各是63歲和11歲，或77歲和9歲。

7、一個長方體的正面和上面和面積和是209平方米，如果它的長、寬、高都是質數，那麼這個長方體的體積是多少？

分析與提示：設長方體的長、寬、高分別為a，b，c，列式等式：ab+ac=209，即a（b+c）=209，a（b+c）=11╳19，而a，b，c都是質數，滿足條件的數只有2，11，17。所以這個長方體的體積是374立方米。

8、把一個一位數的質數A寫在另一個兩位數的質數B的後面，得到一個三位數，這個三位數是A的87倍，求A和B。

分析與提示：可列式：10B+A=87A

86A=10B

可得A=5，B=43