數學皇冠上的明珠

公使提出的難題18世紀普魯士有一位法律系畢業的大學生，名叫哥德巴赫。1725年他來到俄國，出眾的才華使他成為彼得堡科學院院士併兼任秘書，1742年，被德國任命為常駐莫斯科外交公使。哥德巴赫辦公之餘，愛思考數學問題，有一天他對奇數＋奇數=偶數。這一數字規律細細推敲，發現其中似乎還存在另一個奧妙：奇素數＋奇素數=偶數。他驗算了許多偶數都是對的。於是，他大膽地產生了一個奇想：「任何一個不小於6的偶數都可以表示成兩個素數之和。」在此基礎上，他還發現：「每一個不小於9的奇數都可以寫成三個奇素數的和。」他的「異想天開」對不對？他不能證明。1742年6月7日，52歲的公使先生寫信給在俄國彼得堡工作的世界著名的瑞士數學家歐拉信中告訴了他發現的這一奧秘，並希望數學大師給出證明，作出裁決。同年6月30日，歐拉給他回信說：「任何不小於6的偶數都是二個奇素數之和，雖然我還不能證明它，但我確信無疑地認為這是完全正確的結論。」顯然，公使先生信中的第二個問題可以從第一個問題推出，但從第二個問題卻推不出第一個問題。因此，人們把第一個問題叫做「哥德巴赫猜想」，第二個問題叫做猜想的推論。歐拉是當時首屈一指的數學家，解決了許多難題，然而面對這一看似簡單的猜想，竟也感到為難，直到去世時都沒能證明，這可引起了大家的注意。在以後的二百年里，無數數學家和數學愛好者試圖證明它，可無人能完成。他們的心血都被這一猜想所吞沒。公元1900年，德國著名的哥廷根大學教授希爾伯特在巴黎召開的第二屆國際數學家會議上，提出了震動數學界的23個世界數學難題，其中第8個問題就是哥德巴赫猜想。他把這一猜想比作數學皇冠上一顆美麗的寶石，希望有人能摘取它。不少數學家做了很多驗證工作，他們檢查過3300萬以內的全部偶數，發覺猜想都是對的，但是，偶數是無窮無盡的，驗證不能代替證明。巧設懸念生波瀾四年一度的國際數學家會議，開過一屆又一屆，1912年，在第五屆國際數學家會議上，德國著名數學家蘭道在大會上提出了一個降低猜想條件的命題：「存在一個正整數C，使得每一個大於1的整數都可以表示為不超過C個素數的和」。但是他還是悲觀地認為，這是「現代數學家所力不能及的」。蘭道是把從正面進攻改為從側面攀登，逐步接近猜想，在數學上叫做「弱型哥德巴赫問題」。證明時，C越小越好，特別當不小於6的偶數時，若證明了C＝2就證明了猜想成立。這是一個更誘惑人的命題，於是人們開始瞑思苦想，尋找C＝2的另一條路子了。1937年，蘇聯數論大師維諾格拉多夫應用英國人創造的「圓法」與他自己創造的「三角和法」，證明了猜想的推論：「充分大的奇數可以表示為3個素數之和」是正確的。由此推出每一個充分大的正整數都是4個素數之和。」換句話說：當正整數為充分大的偶數時，C≤4； 正整數的充分大的奇數時，C≤3。

陳景潤

陳景潤

陳景潤

王元

1938年，我國著名數學家華羅庚證明了「幾乎全體偶整數都能表成兩個素數之和。」也就是說，哥德巴赫猜想幾乎對所有偶數都成立，被譽為「華氏定理」。證明的喜訊不斷傳來以後，曾有人認為從維諾格拉多夫的「四個素數」到哥德巴赫猜想的「兩個素數」只有二步之遙了，誰知這二步的腿邁出至今60多年，還沒有著地。另闢蹊 衝刺「1＋1」人們從各個角度設法攻克哥德巴赫猜想，一些人從各種推論設法證明，另一些人尋找反例否定，還有一些人另闢蹊徑，採用古老的「篩法」努力去攀登。我們知道，任何一個偶數總可以表示成兩個正整數的和，這兩個正整數可能是素數，也可能不是素數。但我們可以把其中不是素數的正整數分解為素因子。並用代號簡記為「1＋1」、「1＋2」、「2＋3」等。「1＋1」表示兩個素數的和；「1＋2」表示一個素數加上2個素因子的乘積。於是，哥德巴赫猜想就變成命題「1＋1」，即充分大的偶數可以表示成兩個素數的和。數學家把這種逐步逼近猜想的方法通常叫做「因子哥德巴赫問題」或叫「殆素數之和」。向「1＋1」進軍的號角從1920年吹響了，世界各國一些數學家像奧林匹克運動會上的健兒，不斷刷新著世界紀錄。1920年，挪威數學家布朗，用篩法證明了，每一個大偶數是兩個「素因子都不超過9個的素數之和，即（9＋9）；1924年，拉德馬哈爾證明了（7＋7）；1932年，愛斯斯爾曼證明了（6＋6）；1938年，布赫斯塔勃證明了（5＋5），1946年又證明了（4＋4）；1956年維諾格拉多夫證明了（3＋3）；1958年，我國數學家王元證明了（2＋3）。1948年，匈牙利數學家蘭易用一種新的方法證明了（1＋6）；1962年，我國數學家潘承洞證明了（1＋5）；同年，王元、潘承洞又證明了（1＋4）；1965年，布赫斯塔勃、維諾格拉多夫和數學家龐皮艾黎都證明了（1＋3）。而最新的紀錄是我國數學家陳景潤證明的（1＋2）。移動群山的人陳景潤是福州市人，1950年考入廈門大學數學系，畢業後當了幾年數學教師，1957年，經華羅庚推薦調到中國科學院數學研究所，在華羅庚教授等老一輩數學家的精心指導下，投入到數學研究中，取得了一個又一個令人矚目的成果。他在福州英華中學讀高二的時候，從曾在清華大學教過書的沈元老師那裡聽到了哥德巴赫猜想扣人心弦的故事，從此暗下決心，長大後要去摘取這顆「皇冠上的明珠」。1963年開始，他用自己的全部精力，向「1＋1」的頂點衝擊。他不分節假日，苦讀寒窗夜，挑燈黎明前，殫精竭慮，探測精蘊，進行了大量的手工運算，一心一意搞這道難題的研究，搞得他發獃了。有一次自己撞在樹上，還問是誰撞了他。他為證明這道難題，付出了很高的代價，磨禿了一枝又一枝筆；演算草稿紙已經裝滿了幾麻袋，然而，新的草稿紙又鋪滿了他的斗室；數字、符號、引理、公式、推理積在樓板上有三尺深。他的肺結核病加重了，喉頭炎嚴重，他咳嗽不停；腹脹、腹痛，難以忍受，有時已人事不知了，卻還記掛著數字和符號。他在抽象的思維高原，緩慢地向陡峭的巉岩攀登；不管是善意的誤會，還是無知的嘲諷，他都不屑一顧，未予理睬，他沒有時間來分辨，寧可含垢忍辱。苦心不負有心人，經過三年的苦心耕耘，終於在1966年5月，他寫出了厚達200多頁心織筆耕的長篇論文，以他羸弱的身驅，執著的追求，向全世界宣布他證明了「1＋2」，這一成功距「1＋1」只有一步距離。陳景潤領先世界的成果，轟動全世界。英國數學家哈勃斯丹和德國數學家李希特合著《篩法》一書原有10章，付印後才見到陳景潤「1+2」的論文，立即要求暫不付印，特為之添寫了第11章，章目為「陳氏定理」，並在序言中評價說：「這是一個相當好的成就」，是運用篩法的「光輝頂點」。一個英國數學家給他的信里還說：「你移動了群山」。250多年過去了。哥德巴赫猜想仍未得到最終的證明，由於數學方法和工具的不夠，在20世紀看來沒有被解決，只有在21世紀有望被人摘取這顆皇冠上璀璨的明珠。

關於imath

這裡是大學數學的第二課堂。致力於傳播數學知識和數學文化，涉及到數學新聞、數學知識的由來、數學家的故事、數學思想方法、數學趣事、數學與各學科的聯繫等。感謝您的關注！「衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴。」"你若不離不棄，我便點燈相依！"

點擊下方「閱讀原文」查看更多↓↓↓

推薦閱讀：