量子力學雜談——Fock空間

06-07

量子力學雜談——Fock空間

一、希爾伯特空間的直和和直積

對於有限維空間的直和和直積（或稱張量積）我們不陌生，而在無窮維空間中，這也容易推廣，當然我們得考慮新的空間中的內積，以及新空間關於此內積的完備性。

對於有限個空間的直和，考慮 $mathscr{H}=mathscr{H}_1oplus...oplusmathscr{H}_n$ 容易想到，新內積為

$langle x_1oplus...oplus x_n,y_1oplus...oplus y_n angle=langle x_1, y_1 angle+...+langle x_n, y_n angle$

如果我們把直和的數量推廣至可數個，那麼需要限制

$|x_1oplus x_2oplus...|^2=|x_1|^2+|x_2|^2+...<+infty$

那麼由柯西不等式，可保證內積存在 $(langle x_1, y_1 angle+langle x_2, y_2 angle+...)^2leq(|x_1|^2+|x_2|^2+...)(|y_1|^2+|y_2|^2+...)<+infty$

對於直積，我們只能考慮有限個空間的直積，因為無窮元函數並不好定義，而 $mathscr{H}_1otimes...otimesmathscr{H}_n$ 是由多重線性映射 $T:mathscr{H}^*_1 imes.. imesmathscr{H}^*_n ightarrowmathbb{F}$ 構成的線性空間的子空間，需要滿足 2範數有限，即

$sum_{i_1,..i_n}|T_{i_1,...,i_n}|^2=sum_{i_1,..i_n}|T(e^1_{i_1},...,e^n_{i_n})|^2<+infty$

自然定義

$langle T,S angle=sum_{i_1,...,i_n}T_{i_1,...i_n}^*S_{i_1,...,i_n}$

並由柯西不等式保證內積存在。

我們通常用到的是2範數有限的張量，即 $T:mathscr{H}^{*m} imesmathscr{H}^{n} ightarrowmathbb{C}$ （乘方表示笛卡爾積），且 $sum_{i_1,..i_n,j_1,...,j_m}|T_{i_1,...,i_n}^{j_1,...,j_m}|^2<+infty$ ，如同有限維記作 $(m,n)$ 型 $mathscr{L}^{(2)}$ 張量， $mathscr{L}^{(2)}$ 表示2範數有限，括弧區別運算元範數，因為運算元是 $(1,1)$ 型張量。

考慮一組向量的直積 $T=x_1otimes...otimes x_n$ ，易知（實際上這就是向量直積的定義）

$langle x_1otimes..otimes x_n,y_1otimes..otimes y_n angle=langle x_1, y_1 angle...langle x_n, y_n angle$

這裡涉及到糾纏態的問題，實際上糾纏態就是不能寫成直積的態，但總可以寫成直積的和，這麼看來糾纏態反而應該是主流的。但大量粒子合在一起時會發生退相干，使得糾纏態退化為直積態，這也是目前量子比特難以製成的原因。

二、Fock空間的構造

一個n粒子態由一個 $(n,0)$ 型完全對稱或反對稱張量表示：

$T^{pi(i_1),...,pi(i_n)}=(pm1)^{t(pi)}T^{i_1,...,i_n}$

其中 $pi$ 是 ${1,...,n}$ 的一個置換，而 $t(pi)$ 為此置換的逆序數（也可以看作此置換可拆分為對換的個數）。

對於任何 $(n,0)$ 型張量，可以考慮其對稱和反對稱化：

$T^{(i_1,...,i_n)}=frac{1}{n!}sum_pi T^{pi(i_1),...,pi(i_n)}$

$T^{[i_1,...,i_n]}=frac{1}{n!}sum_pi (-1)^{t(pi)}T^{pi(i_1),...,pi(i_n)}$

其中對稱 $mathscr{L}^{(2)}$ 張量表示一個n粒子玻色子態，記作 $mathscr{H}^n_B$ ；反對稱的 $mathscr{L}^{(2)}$ 張量表示一個n粒子費米子態，記作 $mathscr{H}^n_F$ 。

那麼 $mathscr{F}_B=mathbb{C}oplusmathscr{H}oplusmathscr{H}_B^2...oplusmathscr{H}_B^n...,mathscr{F}_F=mathbb{C}oplusmathscr{H}oplusmathscr{H}_F^2...oplusmathscr{H}_F^n...$ 就分別構成了玻色子和費米子的Fock空間。

我們定義粒子數運算元 $N(T_0oplus T_1...oplus T_n...)= T_1oplus2T_2...oplus nT_n...$ ，這樣n粒子態的全體就構成了粒子數運算元的特徵子空間。

三、產生與湮滅運算元

一般書上的產生與湮滅運算元實際上是一組基底的產生與湮滅運算元，實際上任何一個態，不管它是否作為基底考慮，都可以對應一個產生與湮滅運算元。

我們要求產生運算元把n粒子態變為(n+1)粒子態，而湮滅運算元相反，並把無粒子態（即真空）湮滅為0向量 $o$ 。而最自然地改變張量類型的方法就是張量積和縮並，所以我們定義：

$left (a^dag(x)T ight )^{i_1,...i_{n+1}}=sqrt{n+1}x^{(i_1}T^{i_2,...,i_{n+1})} orsqrt{n+1}x^{[i_1}T^{i_2,...,i_{n+1}]}$

$left(a(x)T ight)^{i_1,...i_{n-1}}=sqrt{n}x_{i}T^{i,i_1...,i_{n-1}}$

它們滿足對易關係：

$[a(x),a(y)]=[a^dag(x),a^dag(y)]=O,[a(x),a^dag(y)]=langle x,y angle I$

或者反對易關係：

${a(x),a(y)}={a^dag(x),a^dag(y)}=O,{a(x),a^dag(y)}=langle x,y angle I$

一般書上的產生湮滅運算元是其特例 $a_n=a(e_n),a^dag_n=a^dag(e_n)$ ，其中 $e_n$ 是一組單粒子空間的正交歸一基，而通常的對易關係，可由上面的一般對易關係和正交歸一基的定義得出。

四、玻色子的相干態

對於玻色子單粒子態 $x$ ,定義其相干態：

$x^c=1+x+...+frac{1}{sqrt{n!}}(otimes x)^n+...$

其中 $(otimes x)^n$ 表示n個 $x$ 的直積，顯然它是對稱的，於是這的確是一個玻色子態，對於任何玻色子態 $T=T_0oplus T_1...oplus T_n...$ ，總有：

$T(x^*)=langle x^c,T angle=T_0+T_1(x^*)+...+frac{1}{sqrt{n!}}T_n(x^*,...,x^*)+...$

那麼我們就可以把任何一個Fock空間中的態對應到一個單粒子對偶空間上的解析泛函。

設 $P$ 是單粒子空間的復正態分布 $dP=prod_{i}frac{1}{pi}e^{-|x_i|^2}d^2x_i$ ，利用積分公式：

$int_mathbb{C}frac{z^{*m}z^n}{sqrt{m!n!}}frac{1}{pi}e^{-|z|^2}d^2z=delta_{mn}$

我們有：

$langle T,S angle=int_mathscr{H}T^*(x)S(x)dP(x)$

類似於單粒子態的波函數，這可以類比為多粒子態的「波泛函」。

五、希爾伯特空間的外代數

外代數的內積要求滿足

$langle x_1wedge...wedge x_n,y_1wedge...wedge y_n angle= left |egin{matrix} langle x_1,y_1 angle&...&langle x_1,y_n angle\ ...& &...\ langle x_n,y_1 angle&...&langle x_n,y_n angle end{matrix} ight |$

這個內積和張量的內積差了個 $frac{1}{n!}$ 的因子，實際上一個n階完全反對稱張量 $T^{i_1,...,i_n}$ ，對它的任何非0分量，可以做一次置換，保持不變或改變負號，而內積中出現兩個張量，於是負號抵消，這個分量在內積中重複運算了 $n!$ 次從而可以去除掉。

重新定義

$(T_n,S_n)=frac{1}{n!}sum_{i_1,...,i_n}(T_n^{i_1,...,i_n})^*S_n^{i_1,...,i_n},|T_n|=sqrt{(T_n,T_n)}$

我們使用一套新記號與原記號做區別，由外積定義：

$T^{i_1,...,i_m}wedge S^{j_1,...,j_n}={m+nchoose m}T^{[i_1,...,i_m}S^{j_1,...,i_m]}$

於是 $|T_mwedge S_n|leqsqrt{{m+nchoose n}}|T_m||S_n|$ ，從而 $frac{|T_mwedge S_{n}|}{sqrt{(m+n)!}}leqfrac{|T_m|}{sqrt{m!}}frac{|S_{n}|}{sqrt{n!}}$

剛好 $|T_n|=frac{|T_n|}{sqrt{n!}}$ ，於是 $|T_mwedge S_n|leq|T_m||S_n|$ 。

對於一般的Fock態，其內積定義為各n粒子分量內積之和，此時 $frac{1}{n!}$ 不斷壓低大量粒子分量，使得原來一些範數不收斂的情況變得收斂，也就是說外代數實際上是比費米子的Fock空間更大的，而 $|cdot|$ 比 $|cdot|$ 也更弱。

而 $|T_mwedge S_n|leq|T_m||S_n|$ 則保證了 $|Twedge S|leq|T||S|$ 從而使得外代數的外積關於範數連續，使外代數成為一個巴拿赫代數（由於此範數由內積給出，也可稱為希爾伯特代數）。

在量子場論中，我們對費米子做路徑積分時用到了Grassmann數，而外代數就是一種Grassmann數具體化的方法，而其中Grassmann數的生成元可以看作是單粒子空間的一組基，函數可以看作一個一般的外代數元素，而對函數的積分滿足 $int heta_id heta_j=delta_{ij}$ ，這並不是通常意義的積分，叫做Berezin積分，它可以用外代數的內乘（interior product）來解釋。注意內積的英文是 inner product。

而內乘需要用到對偶向量， $(iota_alpha omega)_{i_2,...,i_n}=alpha^{i_1}omega_{i_1,...,i_n}$ ，一般外代數是定義在 $(0,n)$ 型張量的空間中，然後用一個向量做內乘，本文為了對比外代數和費米子的Fock空間，使用了 $(n,0)$ 型張量。當然有了內積後，向量和對偶向量是通的，不會造成多大問題。

而Berezin積分的真實意思是 $int_Lambda fd heta=iota_{ heta^*} f$ ，這裡*號表示按內積取得對偶，而不是Hodge對偶。