關於燈光四射(Radiant Lantern)一題見解

06-07

來自專欄格物窮理

本文將陳述筆者對2018年IYPT第14題燈光四射提燈輻射(Radiant Lantern) 的見解。

首先讓我們來看No.14 Radiant Lantern 問題描述如下：

When taking a picture of a glowing lantern at night, a number of rays emanating from the centre of the lan-tern may appear in the pictures. Explain and investigate this phenomenon.

在晚上，當拍攝一張強烈燈光的照片時，許多從燈光中心發出的輻射也許會出現在照片上，解釋並研究這個現象。

筆者先查閱了wiki條目Diffraction spike，發現不同形狀的燈輻射是由不同形狀和不同葉片數的光圈衍射造成的。

且對於燈輻射星芒數與光圈葉片數存在一個經驗公式

$f(x)= egin{cases} 2n& ext{n is odd}\ n& ext{n is even} end{cases}$

不同形狀的燈輻射是由不同形狀和不同葉片數的光圈衍射峰

由於問題探討的是照相機成像，接下來筆者將要介紹照相機系統：

照相機是用來攝影的光學儀器。照相機的種類有很多，根據其成像介質不同分為底片相機和數碼照相機；根據取景方式不同可分為雙鏡頭反光相機、單鏡頭反光相機等。

a). 單鏡頭反光照相機結構圖；b). 雙鏡頭反光照相機結構圖.

可以看到，單反和雙反僅成像系統是一致的，只是人眼取景系統不同而已。

接下來我們將介紹成像系統部分：

一般照相機的鏡頭是變焦鏡頭(Zoom lens) ，當然也有定焦鏡頭，這裡我們之討論前者。一般的鏡頭存在不同的透鏡組，以消除非理想透鏡帶來的幾何相差(如：球差、色差等)。

一種簡單的變焦透鏡系統

變焦透鏡的變焦過程

即我們可以把變焦透鏡系統簡化為一個"焦距可調"的理想透鏡和一個固定焦距的聚焦透鏡。結構如下：

變焦透鏡的簡化模型

下面我們將由傅里葉變換光學和相因子分析法對模型求解：

點光源透過無焦系統形成平面波： $U_0(x,y)=A_0$

平面波透過光圈： $U(x,y)=A_0t(x,y)$

其中光圈函數 $t(x,y)$ 為： $t(x,y)= egin{cases} 1& ext{光圈內}\ 0& ext{光圈外} end{cases}$

我們先考慮光圈緊貼透鏡的情況：

光圈緊貼透鏡之示意圖

透鏡前平面 $P_1$ 的光場分布，即為平面波透過光圈： $U(x,y)=A_0t(x,y)$

透鏡後平面 $P_2$ 的光場分布，即上式乘上透鏡的相位變換因子 $e^{-ikfrac{x^2+y^2}{2f}}$ 以及透鏡的"光圈函數" $P(x,y)= egin{cases} 1& ext{透鏡內}\ 0& ext{透鏡外} end{cases}$ ，即

$U_dagger(x,y)=U(x,y)P(x,y)e^{-ikfrac{x^2+y^2}{2f}}$

由惠更斯菲涅耳原理：波前 $P_2$ 上的每個面元可以看為次波源，它們向四周發射次波 $frac{1}{r}e^{ikr}$ ( $r=sqrt{(x-u)^2+(y-v)^2+z^2}$ )；波場中任一場點的總擾動，是所有次波源所貢獻的次級擾動的相干疊加。

對於傍軸條件： $z^2gg ho^2$ ，即 $rapprox z+frac{(x-u)^2+(y-v)^2}{2z}$

次波可化為 $frac{1}{z} cdot e^{ikfrac{(x-u)^2+(y-v)^2}{2z}}cdot e^{ikz}$

接收面光場即總擾動之和為： $U_ddagger (u,v)=-frac{iA_0}{lambda z}iint t(x,y) P(x,y)e^{-ikfrac{x^2+y^2}{2f}}cdot e^{ikfrac{(x-u)^2+(y-v)^2}{2z}}cdot e^{ikz}dxdy$

當接收面(CCD)位於變焦透鏡的焦平面上時，即 $z=f$

接收面光場可化簡為：

$U_ddagger (u,v)=-frac{iA_0}{lambda f}e^{ikf}iint t(x,y) P(x,y)e^{-ikfrac{xu+yv}{f}}dxdy$

注意到上式積分核 $e^{-ikfrac{xu+yv}{f}}$ 為二維傅里葉變換積分核。顯然，最終接收光場的復振幅分布為孔徑函數 $t(x,y) P(x,y)$ 的二維傅里葉變換，因此我們可以利用FFT演算法，對成像進行模擬(模擬見後)。

光圈未緊貼透鏡之示意圖

同理，對於光圈未緊貼透鏡的情況：

$U_ddagger (u,v)=-frac{iA_0}{lambda f}e^{ik(1-frac{d}{f})(frac{u^2+v^2}{2f})}iint t(xi,eta) P(xi+frac{d}{f}u,eta+frac{d}{f}v)e^{-ikfrac{xi u+eta v}{f}}dxi deta$

當然，最終接收面接收到的信息為光強分布，對於光強分布，有：

$I(u,v)=U_ddagger ^*cdot U_ddagger$

即最終接收面光強分布為

$I(u,v)=left( frac{A_0}{lambda f} ight)^2 left( iint t(xi,eta) P(xi+frac{d}{f}u,eta+frac{d}{f}v)e^{-ikfrac{xi u+eta v}{f}}dxi deta ight)^2$

即星芒產生的原因是平行透過光圈的遠場衍射結果。

細心的讀者可能發現，這僅僅是對單色光的推導，那對於日常普遍存在的複色光呢？

對於複色光源，光強分布為：

$I(u,v)propto sum_{lambda} left( frac{A_{lambda}}{lambda} ight)^2 cdot left{ FFTleft[ t(x,y)cdot P(x,y) ight] ight}^2$

通過Matlab模擬，發現經驗公式具有一定的代表性(模擬代碼見後)。

Matlab模擬結果

稍微懂點攝影的人都知道，拍照具有幾個重要的參數：焦距、感光值ISO、曝光時間t、光圈值f。對於這些參數，筆者主要研究了曝光時間和光圈值的影響，研究成果將在下一篇文章中體現。除了對相機系統研究，當然還可以對光源的參數研究，如光源距離鏡頭的距離，光源的大小線度、光源的光功率等（P.S. 筆者認為星芒的形狀，不考慮大小，與非光圈的形狀因素無關）。

clear,clcwlr = 700.0; wlg = 541.1; wlb = 435.8;%紅綠藍三色光波長，因為一般照相機的CCD只接收這三色光。%% 讀取光圈a = imread(D:IYPT1.bmp);% 1.bmp 為光圈圖像(格式為二值矩陣)，筆者是利用Windows自帶的畫圖軟體製作。grid onfigure(1)imshow(a,[])%% 對光圈傅里葉變換a_fft = fft2(a);a_abs = fftshift(abs(a_fft));%% 對復振幅加和Image_R = a_abs/wlr;Image_G = a_abs/wlg;Image_B = a_abs/wlb;U(:,:,1) = Image_R;U(:,:,2) = Image_G;U(:,:,3) = Image_B;%% 光強分布I= U.^2;figure(2)imshow(I) % 顯示星芒

參考文獻

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