天體圍繞黑洞史瓦西半徑處的速度？

06-07

天體圍繞黑洞史瓦西半徑處的速度是多少？是否為光速？如果不為光速，那光為什麼無法逃逸？如果為光速，那麼根據相對論，天體的質量會變得無限大，那麼黑洞如何吸引？
如果不為光速，如果墜入史瓦西半徑內，會不會有無限接近光速的半徑，那麼根據相對論，天體的質量也會變得無限大，那麼黑洞如何吸引？
以上求高人指教！

卸腰。

先說結論：天體運行軌道是不會出現在史瓦西半徑上的。事實上，穩定軌道最小在三倍史瓦西半徑處，不穩定軌道下限在一點五倍史瓦西半徑處。

首先假設讀者具備《理論力學》、《張量分析》等數學基礎。了解理論力學哈密頓原理求解運動軌道方法。

為了確定天體軌道，我們利用哈密頓—雅可比方程：

$g^{ik}frac{partial S}{ partial x^i}frac {partial S}{ partial x^k}-m^2 c^2=0$

將其中的度規張量 $g^{ik}$ 換成施瓦西度規：

$ds2=(1-frac{2m}r)c2dt2－(1-frac{2m}r)^{-1}dr2－r^2(d heta2+sin^2 heta dvarphi2)$

得：

$(1-frac{r_g}{r})^{-1}(frac{partial S}{cpartial t })^2-(1-frac{r_g}{r})(frac{partial S}{partial r })^2-frac 1 {r^2}(frac{partial S}{partial varphi })^2-m^2c^2=0$

其中 $r_g=2m$ 即為施瓦西半徑。

假設我們的天體能量和角動量守恆，則最小作用量應該有下面形式：

$S=-xi_0 t+Mvarphi+S_r(r)$

代入哈密頓雅可比方程易得：

$S_r(r)=int[frac{xi_0^2}{c^2}(1-frac{r_g}r)^{-2}-(m^2c^2+frac{M^2}{r^2})(1-frac{r_g}r)^{-1}]^{frac1 2}dr$

為求得 $r=r(t)$ 需做 $frac{partial S}{partial xi_0}=const$ ,寫成微分形式：

$frac{1}{1-r_g/r}frac {dr}{cdt}=frac{1}{xi_0}[xi_0^2-U^2(r)]^{1/2}$

其中： $U(r)=mc^2[(1-frac{r_g}r)(1+frac{M^2}{m^2c^2r^2})]^{1/2}$ 類似於非相對論力學中的等效勢能。

題目所問可以只考慮圓軌道問題，此時 $dr/dt=0$ ，則有 $U(r)=xi_0$ ，而可能的軌道數值由 $U(r)=0$ 給出：

$frac r{r_g}=frac{M^2}{m^2 c^2 r_g^2}[1pmsqrt{1-frac{3m^2c^2r_g^2}{M^2}}]$

$xi_0=Mcsqrt{frac{2}{rr_g}(1-frac{r_g}{r})}$

根號前的正號給出穩定的軌道，負號給出不穩定軌道，顯然最靠近中心穩定軌道出現在：

$r=3r_g,M=sqrt{3}mcr_g,xi_0=sqrt{8/9}mc^2$

而不穩定軌道的下限在 $M ightarrowinfty,xi_0 ightarrowinfty$ 處（即極端相對論情況） $r ightarrow3r_g/2$ 。

綜上：在 $r_gsim3r_g/2$ 範圍內不存在任何天體軌道， $3r_g/2sim3r_g$ 處僅存在不穩定的天體軌道，越靠近下界約接近極端相對論情況，稍微受到微擾，就會朝視界運動，而在 $3r_g$ 以上，軌道則是穩定的。

這就是廣義相對論與牛頓力學不一樣的地方，牛頓力學當中任意位置都可能存在穩定的軌道。

關於度規請參閱：

1.知乎用戶：黑洞吸入的東西去哪兒了，是否能夠塞滿一個黑洞？

2.知乎用戶：白洞最先由誰提出來的？

其餘數學推導僅需高等數學基礎。

其實吧，在天體物理中，沒有什麼速度不速度的東西，任何質點，管你有什麼屬性，都在沿著一個速度在各自的時空軌道中前進。在史瓦西半徑處，所有的軌道都他媽撲向奇點。。。。。史瓦西半徑的神奇之處在於軌道的終點都是奇點。。。但是速度，還是那個速度，一直都沒變過。。。。

愛因斯坦相對論是無法解釋清楚這一問題的，稱之為奇點。這一問題只能用曉話123論場速可變的相對性原理來說明。在視界內光子在黑洞場作用下被束縛，即光子在視界內運動，參曉話123有關論述。