數學能力該怎麼培養？

培養語感的方式是多看好的文學作品，數學呢？多做題？

什麼是真正的數學能力？計算是數學？邏輯是數學？空間想像是數學？奧數是數學？....

【李騰的回答(12票)】:

我覺得數學修養至少包括：基本功、思維習慣、智慧、實踐意識

基本功。通過閱讀數學教材，了解數學的十幾個大類，數十個小類的理論；通過演算一定數目但必須經典的數學題目（爛題、重複題少做；做一道題就把它做透）。

思維習慣。在理論研究和實際生活中，處處皆數學，數學的思維習慣就是——強邏輯。當聽到、看到或者自己想到一連串推斷時，應認真審視每一步推斷的邏輯性。要注意這樣做絕對不是為了挑刺，要和別人或自己的想法過不去，而是一種訓練意識。在這種訓練中，你會領悟到很多真正重要的東西，起步會比較痛苦，但收穫後就會越來越愛上這樣的訓練。

智慧：數學本身產生的智慧有限，數學只是一種工具語言，它比普通語言更善於準確描述邏輯和規律，所以是天生的描述深刻思想的工具。深刻思想——或者稱為智慧，其實是各行業人在反覆的工作實踐中發現的可利用的規律，真正的數學家，只是把數學作為描述規律的語言，他們會更在意使用數學語言來描述事物的規律。數學家要親身實踐，對規律的原型有切身體驗，然後通過反覆思考，總結出可利用的規律，並用數學描述出來。

實踐意識。上面其實都涉及了，學以致用，學數學是要反覆用的，要實踐。實踐是檢驗真理的最終標準。實踐中可以糾正數學演算中的錯誤，可以使你從數學訓練中獲益，激勵你進一步地聯繫數學，應用數學。

【王然的回答(11票)】:

什麼叫做數學能力？姑且理解一下，分為算術能力和數學素質。

如果要提高算術能力，應該比較容易，可能的辦法有：

1、做三年級口算題。基本是百位以內的加減乘除，可以幫助加強數字敏感；

2、做「+-*/得24」的那個遊戲，抽撲克牌做；

3、如果有能力每天做5到積分題。

如果要提高數學素質，這個相對比較難，但是比較有意思。

華羅庚有一系列數學科普的書，寫的非常好。有興趣的可以看一下。包括了數論、幾何、數學邏輯等等。（《從楊輝三角談起》、《從祖沖之的圓周率談起》、《從孫子的「神奇妙算」談起》、《數學歸納法》、《談談與蜂房結構有關的數學問題》）

【竇凱的回答(9票)】:

樓上精闢細緻的回答很多. 我補充一個自己感觸比較深的方面: 建模的能力.

--我覺得這個是 數學能力的一部分,且是非常實用的那一部分,所以專門說出來.

數學是世界運行的抽象表達,建模能力就是 把現實世界中的問題與數學問題聯繫起來的能力.建模的過程是一種抽象過程, 是一種尋找問題核心的問題重新定義過程.

小時候經歷的 奧數訓練是和這個有關, 但我覺得 更多的練習提高還是 要學會從現實世界中進行

(1)模式識別,

(2)變數和常量的識別並定義,

(3)屬性與特徵的區分,

（4）模擬過程（偏於定性）和數字過程（偏於定量）的區分 --注釋

【1】

並本著 科學精神進行有預設目的的實驗性觀察.

如此反覆,也許就能 見個靠譜的模型了.

注釋

【1】近日看到 馮諾依曼 發明 馮諾依曼結構的手稿 啟發而補充。。。

【Andrew Yang的回答(7票)】:

個人認為數學能力主要可以分為以下幾個方面：

1. 數字能力。有人天生對數字比較敏感，算術能力比較強，這個跟記憶力有很大關係。當然一定程度上是可以後天訓練的，也有一些訓練算術和記憶的方法，久之，大腦會提高對數字的敏感度。
2. 數學想像力。一種當然是空間想像力，大家學立體幾何時深有體會這個是否自己強項。我感覺這個天生因素為主，地圖半天看不懂，空間感較差的同學立體幾何肯定學得費勁。還有另一種想像力，我認為在數學中比前者更重要，就是對數學概念和問題的直覺和聯想能力。能很快聯想到遇到的某問題與先前的某問題有類似之處，或者直覺出某概念可能具有某些性質。這對快速和深刻理解數學概念很有幫助。
3. 邏輯思維能力。確切的說，該能力不只屬於數學能力。許多其他學問中也都用到，它是學習現代科學的最基礎能力。但它在以嚴謹著稱的數學學科中更顯基礎。其實這種能力與2中所述直覺能力相對，兩者在數學中都十分重要，強大的前者能豐富後者，而敏銳的後者能促進前者。個人覺得邏輯思維是後天最容易鍛煉的一種能力，在注意力集中條件下多練，自然能有提升。
4. 數學應用能力。這項本身並不在數學之中，但所謂數學的有用性我們無法在數學本身中證實，我們只能通過應用數學於其他問題來詮釋數學的魅力。而正是在這種實用中，數學本身也得到了發展。我們的數學能力也因應用能力的提高而提高。我看來，現在社會中的我們最缺的還是這項能力。如何把一個現實問題的解決結合上最佳的數學知識和手段，從而用最優的辦法處理之。從數學的角度，敏銳發現問題，深入分析問題，尋找方法和解決問題的能力是我們需要不斷培養的。最不應該的就是我們能手工計算一個3階矩陣的逆，卻不會算移動用哪個套餐最省錢。當然，這種數學的實現能力也是最難的，也涉及到很多其他學問，但只要多思考現實中的問題，就會發現數學無處不需要，用自己的方法和理解去用就一定會有提高。

數學並非像大部分國內教學中的那樣程式，深奧，和遠離現實。理解它，並慢慢結合自己個人化的理解和直覺，它就會很親切。做題並非不可取，做題也是一種思維訓練，但學數學不能只知道重複做題，做不到舉一反三的做題只會增添對數學的誤解。但其實，只要你去發現，生活中到處有你可以訓練數學能力的問題。嘗試才可能有進步。

最後，如果你是替孩子們問的，同意前面有些朋友的看法。我確實很想說，挖掘數學潛力的確應該從小學甚至更早開始，應該給孩子一個良好的學習環境。如果是碰上死板的老師，那真是對祖國未來的扼殺，寧可讓孩子瘋狂地玩也不讓他絕望地學。千萬要保護孩子對數學的興趣。

【余亦多的回答(7票)】:

當初學代數拓撲和微分幾何 感覺兩個分支需要的技能還是不一樣的

但綜合起來說

最基本的 是一顆單純的 以求知為樂趣的心

數學是一門孤獨的學科 你的很多樂趣 無法與身邊的好友與親人分享

所以 需要學會自己去享受純粹的 求知的樂趣

覺得這是最重要的

其次 是天才

這是老天爺賞的飯吃

沒辦法

之後 是善於由點及面的拓展

能夠把握住哪幾條公理及定理是最關鍵的

是能夠構建你知識體系與架構的核心支柱

再由此去建造屬於你自己的數學宮殿

當然 持之以恆也很重要

甚至說 更重要

像我這樣淪為一個banker 成天只做四則運算以後

你的數學能力就會逐漸變鈍......

【康偉的回答(4票)】:

我認為要想培養數學能力，最好的辦法還是建立對數學的興趣。

數學是萬物運行的基本規律，大到宇宙天體的運行軌跡，小到對一個弦的計算。無不跟數學有關係。

通過研究數學史你會發現，那些課本上的死理論，難記的公式都是前人在解決實際問題中逐步發現，逐步完善的。就連1+1=2這種看似公理的事情， 也可以用數學方法證明。

目前學校教授數學的方法，最大的問題在於，只教授公式的計算，甚至不告訴你這個公式可以幹什麼用。但是如果你多了解一些，就會發現，這些公式和實際生活是密不可分的。

在學計算機之前，我認為矩陣只能解方程。對於逆矩陣等等知識，只是認為是一種過程。後來才知道矩陣，逆矩陣可以做如此多的事情。

所以我建議，如果想培養數學能力，一定要全面的了解數學，數學不是課本上死記硬背的公式、公理。

記住，數學的根本目的還是為了解決實際問題

【唐羽的回答(3票)】:

數學能力有兩個層次：理解問題和解決問題。

（一）首先要有足夠的邏輯能力，理解問題的實質。

1、理解已知條件之間的關係；

2、等價轉換的能力：把條件換成另一個等價的條件，或把問題換成另一個等價的問題。

（二）其次要懂得使用工具或方法來求解，工具包括定理、公理、公式……方法包括排除法、反證法……

所以我認為數學能力可以通過很多方式培養，並非完全從做數學練習題本身獲得。

第一個層次的能力，可以通過多閱讀，多與人交談，觀察和關注真實世界，等等，都可以提升相應能力，書中是學不到的。

第二個層次的能力，則必須通過學習和練習，別無他途。數學工具和方法並不是必須嚴格遵守的紀律，但卻是經過驗證的一條可能有幫助的路徑。

【doubletony的回答(4票)】:

不是小學生的話，當然是先讀數學史。

【張出雲的回答(3票)】:

科學家和工程師完全不同的。工程師解決現實問題，科學家是理論上的突破，理論有可能幾十年都不可能產生經濟效益，但理論是必須要的。中國古代的數學成就只能是算術，工程上的應用，並無理論體系結構的突破創新。

像群論，非歐幾何，集合論的發明在當時都不被認可，而現在這些都是現代科學的基石。

美國二戰吸收大量德國科學家成為世界學術中心，此前世界學術中心分別為德，法，英，意。

想培養科學素養，看學術中心國的書，理解基本概念，在專業術語，基本概念上，國內翻譯害死人。

想培養工程技術，如計算機上用到的數學，死做題就行。

還是強調一下，理論研究多時並不能帶來錢。但未來發展必須。

【王加冕的回答(2票)】:

數學系畢業生（其實是信息安全專業 - -）表示…… 所謂「數學能力」的指代實在是太太太寬泛了。

我的體驗是，小學的數學教學還是不錯的（非常同意 @vasinvieplivee 的回答）：

我覺得初中後的數學教學就開始不靠譜了，技巧性的東西增多，本質性的東西體現得少（個人看法，我現在也不記得初中教了什麼了）。例如，幾何開始注重輔助線、解方程開始注重湊項等方法，而不是很注重本質的東西（為什麼四邊形不穩定，但加上對角線就穩定了；三角形內外角關係等）。

但是這可能也是數學教育必經的過程。

而對於高中數學，我個人感覺課程設計還是不錯的。各方面都比較必要：

這些，大概是我理解的「數學能力」。

====== 上面是自己的看法，下面回答您的問題 =====

我覺得，如果您想了解數學是什麼，可以買《什麼是數學：對思想和方法的基本研究》這本書讀。非常好。另外，這本書實在是太值了，584 頁，定價 37，卓越賣 24.4，紙還非常好，相當於 23 頁才 1 塊錢。

如果還沒有上大學（空餘時間不是那麼多），可以看一下波利亞的《怎樣解題：數學思維的新方法》。

如果您是家長，想跟孩子交流數學，或是想讓他學數學，不妨讀一下《科學精神的形成》這本書，不是講數學的，但我覺得學數學應該讀一下。

【奚衡的回答(1票)】:

主要是鍛煉自己的邏輯思維和推理的能力，很多的數學問題其實並不是很高深的學術問題，甚至是一些被人認為是技巧的東西，往往這些抓住問題的特徵本質，很多的數學問題特別是代數方面的問題，有明顯的邏輯特徵，一個是要發現這些邏輯特徵，找到特徵後就要對症下藥，這是解決問題的能力了

【黃力的回答(2票)】:

個人覺得，思考比做題重要的多。題不一定要做很多，但是做完每道題都要花時間去思考，思考題目的本質、尋求更多的方法等，尤其是難題。另外，思考後還要做好總結，這樣就會發現並掌握很多深層次的規律，久而久之能力自然提升。

【周江嶺的回答(2票)】:

沉澱

數學是美學，會思考之後，人的腦袋會轉得特別快

【老豚暈糖的回答(1票)】:

習慣性量化事物與規則，並追求規則的簡化、邏輯自洽與可重複性。

培養：邏輯能力，抽象思維能力吧。

【一動不動的回答(4票)】:

我試著拆分一下您所說的「數學能力」，大概您可能指的是，

1. 計算能力，想提高就多做題，這是我們在中學以前的數學課上主要乾的事情。

2. 數字敏感性，可以定向訓練，在日常工作中經常會提到。

3. 邏輯思考能力，這個複雜點，而且應該不是數學問題，應該屬於心理學範疇。大概是這樣，人的邏輯思考能力在兒童期形成，如果在那個年齡段出了問題，損害是永久的，後天通過訓練可以彌補部分，但是，好像完全恢復不太可能。

4. 數學（那應該叫）天分，真的很不幸，那是天分。做個類比，就象您無論多努力，畫多少張畫兒，上了美院附小、美院附中、美術學院，學士碩士博士都讀全了，您該是一畫匠還是一畫匠，人家一木匠，該是齊白石，就是齊白石。

當然，這並不是不叫您努力學習啊。畢竟在普通人類的生活中，需要天分的時候很少，譬如上大學，只要不是數學以及緊密相關專業，普通人都對付得了。努力足以。

而且，即使您不幸讀了數學或者與其緊密相關專業，數學沒學明白，至少可以拿來當做哲學學。

【容及愚的回答(1票)】:

本人本科學數學的，但是沒怎麼學好，現在回過頭又自學了一些東西，稍有感觸。

數學的能力有好多種，有邏輯的，有空間的，還有一些不好歸類。空間的，多觀察立體圖形，小時候玩七巧板，大了搞搞立方體的堆疊，練練畫畫主俯視圖，應該會有一點提高。邏輯的，推導幾何證明很有幫助，林肯貌似喜歡用這招來鍛煉邏輯能力。

但更重要的，應該是以問題為核心，數學就是以解決問題發展起來的，The Problem is the key in Mathematicas，有了問題想著去解決，不解決睡不著覺，想著想著天就亮了，這應該是鍛煉數學能力的理想狀態。當然，有笛卡爾之流的是早上賴床，不起來，躺著想問題。

再深糾一下，為什麼有的人會因為一個問題睡不著覺，反覆去想，然後最終解決問題，這應該是先天的東西，所謂天賦。

要參加考試之類的，做題是不二的選擇，以問題為核心，驅動進步。

要想真正的體悟數學的美，就不要多做題，找些好問題，反覆去想，多看看超過自己目前水平的東西，以更高的維度看低維的東西，以高觀點來看初級的東西。

【和平的回答(1票)】:

有這麼多大賢的見解，我只表達我「小學生」的看法：個人見解，粗淺勿噴

數學能力 應該主要包括 數學知識 和 數學素養，而且是兩者的結合。

【數學知識】

相對而言比較容易建立，去學習理解就可以，但不同的人理解的程度不一樣，這和當時去學習的興趣態度 以及 對問題的追究程度 有關。 理解的深 以後 應用也會更得心應手。

數學知識是基礎，沒有知識談不上能力，再聰明也沒用。

【數學素養】

這主要指應用數學知識求解問題的思維能力。它依賴於數學知識基礎，形成於平時的思維鍛煉。

而其中最主要的兩個是深度思維 和 廣度思維。

深度思維能力，指你可以對某個很複雜很複雜的問題進行思考探索下去。而缺乏這方面能力的人會很難深入或會想得頭痛。這個能力的鍛煉方法，就是逐漸的去思考較難的問題，也不能急於求成造成挫折，這是個長期的過程。

廣度思維能力，經常指的是我們所說的靈感之類的東西。有時候人在思考問題的時候會用錯方法，但如果轉變一下方式或模式，就能找到一個很簡單解決問題的方法。這說明轉變後的方式和問題是匹配的。還有，在數學思考的過程中，往往就像迷霧中探索道路一樣，只知道起點（問題）和終點（答案），走錯了路可能是死胡同，走對了就豁然開朗。而在走路的過程中如果能有很好的發散思維，比如借鑒以前類似的成功案例，或一些數學模型的套用猜想等，就能很好的探出明確的路徑，久而久之就能建立起比常人敏銳的思維，也就是人們常說的數學素養。

這2個思維能力缺一不可。

數學知識 和 數學素養 的 結合，關鍵還在於鍛煉，鍛煉就會熟練。

天賦聰明之類的說法，人大腦本身物質條件的差異，應該也是有的，但對於我們一般人來說應該基本差不了多少，所以我個人覺得還是在於鍛煉的差異。

【吳以四的回答(3票)】:

數學學到最後，就成了哲學了。

【鄒宇的回答(0票)】:

多思考。

所有數學知識都是網狀連接在一起的，想清楚它們之間的聯繫就會在基礎方面有很大的提升。

【夏天的回答(0票)】:

我覺得這東西主要看興趣，如果一開始就覺得數學沒學好，心理有畏懼感，越怕越遠離，也就覺得越難學。

不知道LZ是為什麼想學數學，如果不是工作需要的話，純數學會很枯燥，也很難看進書去。

業餘玩樂的話隨便推薦幾本書：[美] G. 波利亞的《如何解題》、《數學與猜想》，後者主要討論一種推理方法。

【沈夢雨的回答(0票)】:

我覺得數學是一門很神奇的科目，先從興趣培養吧，數學是可以運用在很多領域上的，你去挑一些你感興趣或者擅長的領域的數學方面的題，試一試，能分析就很好的啦，能做出來的話就會很有自信，就算不能做出來也會覺得數學很神奇、充滿挑戰。呵呵～堅持一下，加油！數學其實很有愛的～：）

【胡淼的回答(0票)】:

推薦下面這篇文章，關於學習的方法和思維的~ 裡面的鏈接都很值得看

http://www.lovemaple.info/blog/2011/04/introduction-to-head-first-series/

歡迎拍磚

【齊巍的回答(2票)】:

學好數學的前提是熱愛生活，深刻的數學理論都藏在生活中不起眼的地方，比如一顆樹上枝條的數目，雪花的形狀等等

【馬梓耕的回答(0票)】:

簡單來說一方面增加自己的熟練度 最主要的是要明白原理 數學是純理的東西 跟工科材料或者文科什麼不太一樣，一定要弄明白怎麼來的，剛弄明白趁熱打鐵做一些題 就能更充分的理解這些知識，消化吸收，定期回顧一下 就能熟練掌握了，知識與知識之間都有聯繫，學了很多 即使別人不說 自己也在頭腦中想一想，對未來的學習 和自己的思維都很有幫助！希望能幫上忙

【楊洪順的回答(0票)】:

學數學之前，我覺得先了解數學家，感受下大家風範，有助於激發對數學得興趣。

【Daisy如我的回答(0票)】:

就是做不出的時候被卡住的哪一點，為什麼在這裡就接不下去了，為什麼，反覆深度的問，想清楚，為什麼自己就沒想到，自己的思考方式與正確的思考方式的差距，這一點的突破很重要~

【何洪舉的回答(0票)】:

學數學的最大收穫是什麼，最重要的就是邏輯思維能力，數學能力強不一定是說能記得多少複雜的公式、能做多少奧數的題，關鍵是要有那個思維方式。畢業之後什麼公式、定理那些差不多都要全還給老師了……

【大Joy的回答(0票)】:

數學最有吸引力的是其邏輯推導，數論啥啥的。但太高深，轉而看羅素和維根斯坦的傳記。。。

【free_POC的回答(0票)】:

從你問題的補充來看，你似乎是把數學考試得高分作為「數學能力」強的體現。如果我沒理解錯，那麼多做題、多思考總結各中題型、解法就行了。如果是想往數學研究方向靠，那麼最關鍵的就是興趣了，有了興趣，那還得通過提高考試成績，進入好的學校的數學系學習。另外提一句，數學史很重要。有價值、有發展空間的數學多是從解決問題的需要中出來的，一味只看布爾巴基學派那樣的書，會讓你失去方向。問題永遠是科學的發展之源。

【羅雲威的回答(0票)】:

什麼是數學能力？我的理解是：當你面對一個問題時，可以在大腦里運用數理知識去分析問題。就算你不記的某個定理公式，你也可以通過一些簡單的公理去的證明或者否定它。

【楊勤榮的回答(0票)】:

1讀幾本 通俗數學名著 系列的書

2 通讀華羅庚《高等數學引論》4卷

3 如果你比較狠，那建議你去讀springer出版社的數學黃皮書吧

【劉迪的回答(0票)】:

還是得多做題吧。少做點計算題，多做點幾何證明吧，狂計算會把人都整吐的。。。。。當然最好的還是興趣，有興趣才會有動力。

【吳婧婧的回答(0票)】:

可以看看類似易經之類的有利於邏輯推算的文理兼修的書籍。例如周易中兩級四象八卦後又推出六十四卦象，每一卦之間都有著內在的邏輯推理關係，多做這類推導，應該有利於提高數學能力。

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