平行宇宙從歷史求和開始！不怕腦子燒成灰的來！

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《路徑積分和歷史求和》

量子力學是從兩條縫裡鑽出來的科學。之所以這麼說，是因為整個量子學從最初思想的提出，到中間的成型確立，乃至今日的深入發展始終都在反覆的改進著一個關鍵性的實驗，雙縫干涉實驗。

稍微熟悉物理歷史的人肯定都對托馬斯·楊進行的光雙縫干涉實驗不陌生，這是一次偉大的設計，也是雙縫系列實驗中最早的版本，由此證實了光具有波動性，或者更準確的說，在當時它證實了光就是一種波。但是就在此後不久，越來越多的實驗現象預示著光應該是一種粒子。問題產生了，如果光線真是粒子流的話，那麼雙縫實驗的結果就會顯得匪夷所思。正是人們嘗試對這個古怪的現象進行解釋的種種努力，最後產生了量子力學。

我們從一個簡單的比喻說起。足球場上禁區前沿發生了犯規，防守一方排起了緊密的人牆。進攻方在人牆前準備直接射門。人牆中間有兩個隊員沒有緊緊的挨著，出現了一個小小的缺口，主罰隊員看到了這個缺口，便瞄準這裡射向球門。如果射門的隊員技術高超，那麼他的球將準確穿過人牆的缺口，射進球門之內。假設把這樣一個自由球的過程重複多次就會發現，射進球門內的足球一定總是落在從罰球點到人牆缺口的兩側所張成的狹小扇形範圍內。

如果人牆上有兩個缺口呢？球可以經過左邊的缺口，也可以經過右邊的缺口進進球門，但射進來的足球一定集中在兩個小扇形範圍內，它實際上是左右兩個缺口各自單獨存在時，進球點分布情況的疊加。這點很容易理解，它是經典物理學預測的事實。

但是接下來要進行一個理想實驗，幻想把這個足球場不斷縮小，一直減小到原子尺度，在這個超級小人國足球場上，不可思議的情況就會出現：落點的疊加率將會失效。當人牆只有一個缺口時，無論缺口是左邊的，還是右邊的，其結果跟上述情況大體一致。可是當人牆有兩個缺口時，球門內並不會出現兩個密集的足球落點區，相反的，在球門線上會每隔一小短距離會出現一個較集中的落點區，而每兩個集中落點區的正中間則完全沒有足球射到。形象點來說，如果把進門的所有足球都在其射入點位置摞起來，原本以為會在罰球點與兩個缺口的連線相交於球門線的兩交點處看到兩個大球堆，結果卻看到了像城牆垛口一樣分布的一溜小足球堆。這種情況就叫做干涉。

干涉是一種特有的波動現象，用波動理論來解釋非常合理。但是這就意味著，足球不能再被當做一個個的圓形小球，而必須是一種彌散在介質中的波。發自由球不再是用腳射門，而是變為發出某種波，或許這就是「世界波」說法的由來。發球隊員可以像劉建宏解說員一樣，站在罰球點，大聲高喊「進了進了進了進了進了進了」，聲波穿過兩個人牆窄縫後，在球門內發生干涉。有的地方解說聲音很大，有的地方則幾乎什麼都聽不到。這就是為什麼觀眾們在聽完劉建宏的解說後，有些會不停地問「到底進了幾個球？」，有些則完全蒙圈，大概他們被干涉了。

足球如果真的是一種世界波，那干涉現象的出現就是自然的結果，可惜的是，足球就是足球，不是嘴炮。隨著稍後光電效應等實驗結果的出現，光的粒子性逐步得到證實。此時上面提到過的的問題便產生了。如果光真的像是射出的一大堆足球，那干涉的進球點分布現象是怎麼產生的呢？為什麼本來明確的應該出現在小扇形範圍內的落點會偏移到其他地方呢？

要回答這個問題，我們先要說說1927年維納·海森堡提出的測不準原理。這個原理是對微觀粒子不確定狀態的一種定量描述。粒子在位置方面和速度方面同時具有不確定性，二種不確定性的乘積不小於一個極小的常量：普朗克常數。這裡所說的不確定性，和宏觀世界的不確定性含義有所不同。在射擊時，子彈的落靶位置是不確定的；在投籃時，籃球並不總是能準確的入籃。但深究起來這種不確定性是由於信息不完整引起的。如果能夠精確地測量子彈或籃球的初速度、角度、質量、空氣密度等參數，子彈和籃球的位置以及軌跡是可以精準地預測出來的。微觀世界裡的不確定並非如此，無論用多麼精密的儀器，多麼先進的方法去測量運動參數，觀察者依然會發現粒子的位置是不唯一的，是無法預測的。微觀世界的本質就是物理量沒有準確值。

這個高度違反人類直覺的奇怪定律引起人們極大的不安，因此一經提出物理學家們便竭盡所能去嘗試推翻它。著名的愛因斯坦和波爾的大論戰就是為此展開。然而事實卻是對測不準原理高度的不信任讓它經受了物理學史上可能是最嚴酷的理想實驗和真實實驗的無數次挑戰，但到目前為止，卻無一反例出現，這反而讓其成為量子世界的憲法。

可以這樣來理解測不準原理，微觀世界的每個粒子都好像一個調皮的小學生，眾多的學生集合在一起形成宏觀隊列行進的時候，整個隊伍的運動狀態是可以精確描述的。但是當你把攝像鏡頭推近到隊列當中的某個「粒子」時，這些小學生不安分的多動症就會毫無保留的顯現出來。他們一會摳摳鼻子，一會轉動身體，一會跳躍起來，一會左右擺動。你完全無法預知他們下一刻會去做什麼小動作，因為他們的狀態是不確定的。當老師命令一個小學生盡量保持在自己的位置時，他就會更加頻繁的出現肢體動作；而當老師要求他們的手上不要亂動時，他們則會更劇烈的左右移動位置。手上的不確定性和腳下的不確定性總是此消彼長，這就是測不準的一種直觀圖景。

回到剛才所說的足球射門場景，在測不準基本法的要求下，微縮球場上粒子足球的落點必然是不確定的，否則的話，位置的不確定性變為0，這將導致足球的速度變成無限大，而這顯然是相對論所不允許的。這就是說，射出的粒子足球有可能在球門內，也有可能在球門外，還有可能在看台上，甚至可能在德雲社的相聲劇場或是跨界喜劇人的表演舞台。這聽起來很離譜，但這就是事實，正如加來道雄所說：「量子力學就是這樣一種思想，所有可能的事件，無論有多麼奇怪或者不可思議，都有一定的概率發生。」

幸運的是，雖然足球的落點是不確定的，但是其分布的幾率卻是有章可循的。這個規律在薛定諤失戀後被他發現，成為著名的薛定諤方程。與此同時，海森堡也給出了一套矩陣形式的等價表達。無論是薛定諤從偏微分角度的描述，還是海森堡從代數角度的描述，兩者雖然都能準確的計算出落點概率，並與實驗保持一致，但其對於建立幾率分布這個場景的物理直觀都是很不成功的。這種情況直到費曼的出現才被改變，1940年他天才般的提出了路徑積分和歷史求和的理念，讓人們首次直觀的理解了微觀足球場上到底發生了什麼事情。這種解釋的詭異之深和腦洞之大，超過了人類的想像，幾乎讓所有人目瞪口呆，所以費曼才自信滿滿的說：「我可以有把握的說，沒有人理解量子力學。」

按照費曼的講述，不同足球落點的幾率分布是這樣形成的。射出的足球從開始的起點到最後的某個落點之間存在無數條可能的連接路線，一條路線稱為一種歷史。每條路線都可以計算出一個經過它的能耗。在宏觀世界，足球會選擇能耗最小的一條路線作為運動軌跡，所以其落點是確定的，軌跡也是確定的。而在微觀世界，粒子不是選擇一條路線運動，而是同時沿著所有可能到達目的點的路線運動，並且把全部的路徑能耗折算成一種貢獻的分數加總起來，這個歷史貢獻的總和就是粒子落在此點的概率。

請注意，加總的不是路徑能耗，而是能耗折算出的分數，這個分數的計算方法我們下面會講到。這聽起來簡直荒誕可笑，粒子怎麼能同時按照所有可能的路線去運動呢？並且居然還能像計算機一樣把全部走過的路徑的歷史貢獻加總求和，最後再按照這個總和作為幾率落在某個位置。可就是這種古怪的像瞎掰一樣的歷史求和方法計算出的結果已經被眾多的實驗一再證實，而且已經被物流學界接受為正確的方法。因此我們必須改變自己的直觀慣性去理解量子世界的奇妙魔法。

粒子足球被發出後，有的歷史中它會沿著直線飛向球門落點；有的歷史中它會沿著曲線飛向落點；還有的歷史中它經過左邊缺口後，從右邊缺口繞回到人牆的前面，並從左邊缺口第二次穿越再落到終點；甚至有些歷史中它會跑到地中海上空轉一圈再重新回到球門內的落點，總之只要你能畫的出來的連接起點和終點的路線，都是可能的歷史，都對最後的幾率有貢獻。很明顯，這樣的路徑實在太多太多了，可是為什麼這麼多路徑的能耗貢獻加起來形成的落點概率卻不是無窮大呢？為什麼會出現足球堆垛口那樣有規律的干涉分布呢？原因就是能耗計算的貢獻值有正有負，而大部分的路徑的貢獻分數都在相加的時候被抵消掉了。

要說明這點，必須先搞清楚路徑的能耗和歷史貢獻分別是什麼？簡單地說，能耗就是物理學上的「作用量」，歷史貢獻就是根據「作用量」計算的一種分數，而這個分數是周期波動的。

在牛頓力學中，物體運動的軌跡是通過微分方程給出的，計算沿著時間一點點遞推進行；而在等價的拉格朗日力學中，運動軌跡是通過一種叫做「作用量」的物理方程一次給出的。這正是變分法的起源。了解數學的人都明白這裡的作用量實際上就是一種泛函，故此作用量的定義形式因具體問題的不同而千變萬化，但是其量綱總是相同的，都是能量乘時間。這就提示我們可以把作用量理解為一種能量在時間上的積累，也就是能耗。

物體運動的每條可能的軌跡都對應著一個能耗，不同路徑的能耗有大有小，真實軌跡正好是使能耗最小的那一條路徑。通過適當的計算方法，找到這條最小化作用量的路徑，也就求出了運動軌跡。

而微觀粒子的運動情況完全不同，他們要對所有能到達終點的每一個可能的路徑計算能耗，並把能耗按照費曼路徑積分法折算成一種分數，這就是歷史貢獻。所有路徑的歷史貢獻加起來，便產生了粒子到達該終點的幾率。粒子到達其他點的幾率也是同樣的計算方法。

需要說明的是，上述講述中為了表達清晰，把宏觀和微觀的路徑選擇分成兩種模式來介紹，嚴格來說是不對的。宏觀物體其實同樣也是進行歷史求和的，只不過當尺度較大時，歷史求和結果與最小化能耗算出結果是一致的。

還有一個需要說明的問題是虛數i的作用。虛數的定義本來是為了拓展負數開平方根的可能性，但是從科學技術的發展來看，虛數更本質的功能是提供了一種簡潔的波動性表達能力，而這點又和虛數乘法的旋轉特性有關，因為旋轉的投影就是一種波動。實數x乘以虛數i變為xi，從複平面上看就是向量逆時針旋轉了90度。如果再次乘以i，便是再次旋轉90度。隨著i在乘冪上累積，旋轉便不停進行下去。我們之前的節目中說過，以e為底的指數函數恰好是表達累積增長速度的最佳形式，如果把i放到e的肩頭，exp{ix}恰好表達了一個勻速的圓周運動，其實部則構成了一個簡諧波動。

費曼在研究路徑積分的過程中做出了兩項重大的創新。第一，他發現普朗克常數h的量綱恰好和作用量一致，都代表能耗，所以他認識到普朗克常數h的物理意義就是作用量的量子。第二，為了把量子特有的波動性引入到路徑貢獻的計算當中，他實質上運用了虛能耗的工具，把作用量放到了指數e的肩膀上，這意味著路徑能耗產生的歷史貢獻會隨著作用量數值的增加或減少而出現周期性的波動。周期數恰好等於一條路徑的能耗中含有的普朗克量子的份數。如果能耗是普朗克常數的整數倍，則貢獻值波動為整數周期，相位為0，貢獻為正實數；如果能耗是普朗克常數的整數倍加半倍，則貢獻值波動為半個周期，相位為π，貢獻為負實數。其他的分數周期也可按照相位來計算其貢獻數值。通過這個描述，我們就可以知道，在量子力學中進行歷史求和時，不同路徑帶來的貢獻時正時負，好像一片振動的波紋，波紋的波長就是普朗克常數。

在宏觀世界中，設想存在一條歷史路徑為L，與它極其臨近的另一條路徑為S。由於S和L非常接近，兩者的能耗只會存在很小的變化。不過這個宏觀世界中很小的變化量相對於普朗克常數來說，依然是巨大的。這意味著S和L路徑的貢獻實際上跨過了好多的波紋周期，那麼在S和L兩條路徑中間還夾著無數的其他近似路徑，這些路徑的貢獻必然就分布在S和L所跨過的這些波紋周期當中，他們相互之間正負交錯，必然互相抵消。故此在宏觀尺度下，任選一條路徑只要其與極其鄰近的路徑間存在微小的能耗差別，則該路徑的貢獻一定被周邊小鄰域的其他路徑所抵消。只有一種特殊的路徑貢獻不會被抵消，那就是該路徑的能耗和它的近鄰路徑的能耗是沒有差別的，換句話說，這條路徑處的能耗泛函導數應該為零，而這正是最小能耗路徑的約束條件。所以說，在宏觀尺度下歷史求和的結果必然等同於能耗的最小化。

在微觀尺度下，臨近的S和L路徑的能量差和h相比已經不再是很大的數，S和L之間並不能跨越多個波紋，S的貢獻並不能被周邊的路徑貢獻所抵消，而是會和能耗的波動函數一樣呈現出幾率的波動。這就是量子力學著名的幾率波的產生原因，也是微縮足球場上穿過人牆雙縫的足球形成球堆垛口的真正原因，足球同時經歷了所有可能的歷史。

同時經歷所有可能的歷史!這句話不知道能否讓你聯想到平行宇宙。其實，正是費曼的歷史求和思想誕生了一類平行宇宙的思想。把宇宙沿著大爆炸的逆方向向前追溯，直到普朗克尺度。量子力學將發揮支配性，而此時的粒子的歷史求和就是對宇宙的歷史求和。不同的路徑將導致不同的宇宙。而費曼類型的平行宇宙和其他類平行宇宙相比，還具有更加玄妙的意義，就像道格拉斯亞當斯所說：「無限多的小概率事件的驅動器是一種一瞬間飛躍星座距離的奇妙方法，而不需要在高維空間中討論來討論去。」用直白的話來說，如果飯館已經做好了所有的菜，那你就不再需要琢磨做菜的方法。

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