數的由來和發展（1）

人類是動物進化的產物，最初也完全沒有數量的概念。但人類發達的大腦對客觀世界的認識已經達到更加理性和抽象的地步。這樣，在漫長的生活實踐中，由於記事和分配生活用品等方面的需要，才逐漸產生了數的概念。比如捕獲了一頭野獸，就用1塊石子代表。捕獲了3頭，就放3塊石子。"結繩記事"也是地球上許多相隔很近的古代人類共同做過的事。我國古書《易經》中有"結繩而治"的記載。傳說古代波斯王打仗時也常用繩子打結來計算天數。用利器在樹皮上或獸皮上刻痕，或用小棍擺在地上計數也都是古人常用的辦法。這些辦法用得多了，就逐漸形成數的概念和記數的符號。　　數的概念最初不論在哪個地區都是1、2、3、4……這樣的自然數開始的，但是記數的符號卻大小相同。　　古羅馬的數字相當進步，現在許多老式掛鐘上還常常使用。　　實際上，羅馬數字的符號一共只有7個：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。這7個符號位置上不論怎樣變化，它所代表的數字都是不變的。它們按照下列規律組合起來，就能表示任何數：　　1．重複次數：一個羅馬數字元號重複幾次，就表示這個數的幾倍。如："III"表示"3"；"XXX"表示"30"。　　2．右加左減：一個代表大數字的符號右邊附一個代表小數字的符號，就表示大數字加小數字，如"VI"表示"6"，"DC"表示"600"。一個代表大數字的符號左邊附一個代表小數字的符號，就表示大數字減去小數字的數目，如"IV"表示"4"，"XL"表示"40"，"VD"表示"495"。　　3．上加橫線：在羅馬數字上加一橫線，表示這個數字的一千倍。如：" "表示 "15,000"，" "表示"165,000"。　　我國古代也很重視記數符號，最古老的甲骨文和鐘鼎中都有記數的符號，不過難寫難認，後人沒有沿用。到春秋戰國時期，生產迅速發展，適應這一需要，我們的祖先創造了一種十分重要的計算方法--籌算。籌算用的算籌是竹製的小棍，也有骨制的。按規定的橫豎長短順序擺好，就可用來記數和進行運算。隨著籌算的普及，算籌的擺法也就成為記數的符號了。算籌擺法有橫縱兩式，都能表示同樣的數字。　　從算籌數碼中沒有"10"這個數可以清楚地看出，籌算從一開始就嚴格遵循十位進位。9位以上的數就要進一位。同一個數字放在百位上就是幾百，放在萬位上就是幾萬。這樣的計演算法在當時是很先進的。因為在世界的其他地方真正使用十進位制時已到了公元6世紀末。但籌算數碼中開始沒有"零"，遇到"零"就空位。比如"6708"，就可以表示為"┴ ╥ "。數字中沒有"零"，是很容易發生錯誤的。所以後來有人把銅錢擺在空位上，以免弄錯，這或許與"零"的出現有關。不過多數人認為，"0"這一數學符號的發明應歸功於公元6世紀的印度人。他們最早用黑點（·）表示零，後來逐漸變成了"0"。　　說起"0"的出現，應該指出，我國古代文字中，"零"字出現很早。不過那時它不表示"空無所有"，而只表示"零碎"、"不多"的意思。如"零頭"、"零星"、"零丁"。"一百零五"的意思是：在一百之外，還有一個零頭五。隨著阿拉數字的引進。"105"恰恰讀作"一百零五"，"零"字與"0"恰好對應，"零"也就具有了"0"的含義。　　如果你細心觀察的話，會發現羅馬數字中沒有"0"。其實在公元5世紀時，"0"已經傳入羅馬。但羅馬教皇兇殘而且守舊。他不允許任何使用"0"。有一位羅馬學者在筆記中記載了關於使用"0"的一些好處和說明，就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握筆寫字。　　但"0"的出現，誰也阻擋不住。現在，"0"已經成為含義最豐富的數字元號。"0"可以表示沒有，也可以表示有。如：氣溫 ，並不是說沒有氣溫；"0"是正負數之間唯一的中性數；任何數（0除外）的0次冪等於1；0！=1（零的階乘等於1）。　　除了十進位以外，在數學萌芽的早期，還出現過五進位、二進位、三進位、七進位、八進位、十進位、十六進位、二十進位、六十進位等多種數字進位法。在長期實際生活的應用中，十進位最終佔了上風。　　現在世界通用的數碼1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人們稱之為阿拉伯數字。實際上它們是古代印度人最早使用的。後來阿拉伯人把古希臘的數學融進了自己的數學中去，又把這一簡便易寫的十進位位值記數法傳遍了歐洲，逐漸演變成今天的阿拉伯數字。　　數的概念、數碼的寫法和十進位的形成都是人類長期實踐活動的結果。　　隨著生產、生活的需要，人們發現，僅僅能表示自然數是遠遠不行的。如果分配獵獲物時，5個人分4件東西，每個人人該得多少呢？於是分數就產生了。中國對分數的研究比歐洲早1400多年！自然數、分數和零，通稱為算術數。自然數也稱為正整數。　　隨著社會的發展，人們又發現很多數量具有相反的意義，比如增加和減少、前進和後退、上升和下降、向東和向西。為了表示這樣的量，又產生了負數。正整數、負整數和零，統稱為整數。如果再加上正分數和負分數，就統稱為有理數。有了這些數字表示法，人們計算起來感到方便多了。　　但是，在數字的發展過程中，一件不愉快的事發生了。讓我們回到大經貿部2500年前的希臘，那裡有一個畢達哥拉斯學派，是一個研究數學、科學和哲學的團體。他們認為"數"是萬物的本源，支配整個自然界和人類社會。因此世間一切事物都可歸結為數或數的比例，這是世界所以美好和諧的源泉。他們所說的數是指整數。分數的出現，使"數"不那樣完整了。但分數都可以寫成兩個整數之比，所以他們的信仰沒有動搖。但是學派中一個叫希帕索斯的學生在研究1與2的比例中項時，發現沒有一個能用整數比例寫成的數可以表示它。如果設這個數為X，既然 ，推導的結果即 。他畫了一個邊長為1的正方形，設對角線為x ，根據勾股定理 ，可見邊長為1的正方形的對角線的長度即是所要找的那個數，這個數肯定是存在的。可它是多少？又該怎樣表示它呢？希帕索斯等人百思不得其解，最後認定這是一個從未見過的新數。這個新數的出現使畢達哥拉斯學派感到震驚，動搖了他們哲學思想的核心。為了保持支撐世界的數學大廈不要坍塌，他們規定對新數的發現要嚴守秘密。而希帕索斯還是忍不住將這個秘密泄露了出去。據說他後來被扔進大海餵了鯊魚。然而真理是藏不住的。人們後來又發現了很多不能用兩整數之比寫出來的數，如圓周率 就是最重要的一個。人們把它們寫成 等形式，稱它們為無理數。　　有理數和無理數一起統稱為實數。在實數範圍內對各種數的研究使數學理論達到了相當高深和豐富的程度。這時人類的歷史已進入19世紀。許多人認為數學成就已經登峰造極，數字的形式也不會有什麼新的發現了。但在解方程的時候常常需要開平方如果被開方數負數，這道題還有解嗎？如果沒有解，那數學運算就像走在死胡同中那樣處處碰壁。於是數學家們就規定用符號"ｉ "表示"-1"的平方根，即ｉ＝ ，虛數就這樣誕生了。"ｉ "成了虛數的單位。後人將實數和虛數結合起來，寫成 ａ＋ｂｉ的形式（a、b均為實數），這就是複數。在很長一段時間裡，人們在實際生活中找不到用虛數和複數表示的量，所以虛數總讓人感到虛無縹緲。隨著科學的發展，虛數現在在水力學、地圖學和航空學上已經有了廣泛的應用，在掌握和會使用虛數的科學家眼中，虛數一點也不"虛"了。　　數的概念發展到虛和複數以後，在很長一段時間內，連某些數學家也認為數的概念已經十分完善了，數學家族的成員已經都到齊了。可是1843年10月16日，英國數學家哈密爾頓又提出了"四元數"的概念。所謂四元數，就是一種形如 的數。它是由一個標量 （實數）和一個向量 （其中x 、y 、z 為實數）組成的。四元數的數論、群論、量子理論以及相對論等方面有廣泛的應用。與此同時，人們還開展了對"多元數"理論的研究。多元數已超出了複數的範疇，人們稱其為超複數。　　由於科學技術發展的需要，向量、張量、矩陣、群、環、域等概念不斷產生，把數學研究推向新的高峰。這些概念也都應列入數字計算的範疇，但若歸入超複數中不太合適，所以，人們將複數和超複數稱為狹義數，把向量、張量、矩阿等概念稱為廣義數。儘管人們對數的歸類法還有某些分歧，但在承認數的概念還會不斷發展這一點上意見是一致的。到目前為止，數的家庭已發展得十分龐大。 數　系　　數系通常指包括自然數、整數、有理數、實數和複數的系統。　　數的觀念具有悠久的歷史，尤其是自然數的觀念，產生在史前時期，詳情已難於追索，但對數系建立嚴謹的理論基礎，則是19世紀下半期才完成。 自　然　數　　建立自然數概念通常有基於基數與基於序數兩種方法。　　基於基數的自然數概念可溯源於原始人類用匹配方法計數。古希臘人用小石卵記畜群的頭數或部落的人數。現在使用的英語calculate（計算）一詞是從希臘文calculus（石卵）演變來的。中國古代《易·繫辭》中說，上古結繩而治，後世聖人易之以書契，這都是匹配計演算法的反映。　　集合的基數具有元素"個數"的意義，當集合是有限集時，該集合的基數就是自然數。由此可通過集合的並、交運算定義自然數的加法與乘法（見算術）　　為了計數，必須有某種數制，即建立一個依次排列的標準集合。隨後對某一有限集合計數。就是將該集合中每個元素順次與標準集合中的項對應，所對應的最後的項，就標誌著給定集合元素的個數。這種想法導致G.皮亞諾1889年建立了自然數的序數理論。　　皮亞諾規定自然數集滿足下列五條公理，這裡"集合"、"含有"、"自然數"、"後粥"等是不加定義的。　　　① 是自然數。　　　② 不是任何其它自然數的後繼。　　　③ 每個自然數都有一個後繼（a的後記為）　　　④ a/=b/蘊含a=b　　　⑤ 設S是自然數的一個集合。如果S含有1，且S含有a / 蘊含S含有 ，則S含有任何自然數。　　公理⑤就是熟知的數學歸納法公理。一切自然數集記為{1, 2 , 3 ,…，n …}，簡記為N。　　從上述公理出發，可以定義加法和乘法，它們滿足交換律與結合律，加法與乘法滿足分配律。
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