介觀輸運理論

06-06

介觀輸運理論

來自專欄非平衡格林函數用於介觀輸運理論

透射率和電流有什麼關係？1970年蘭多爾在研究一維無序系統中的隧穿問題的時候得到了電導和透射率的量化關係，也被稱為蘭多爾公式：

$G=frac{2e^2}{h}frac{T}{1-T}$

其中T為透射率，在這個工作的指導下也是建立了標度理論的基礎，當然這是後續我們會給出的局域化標度理論，不過我們只會重點關心有限尺寸下的標度行為，從而區分體系在無序下的相變。

自從1985年很多介觀實驗進行了金屬和半導體樣品的霍爾電橋實驗。但是怎麼解釋這些多埠測量有一系列讓人迷惑的問題。事實上，並沒有一致的兩端電阻，這主要是因為接觸電阻（它起源於導線中無窮多的輸運模式在進入中心區有限輸運通道所引起的電阻）的重要性沒有被忽略。Bu(u帶兩個點，下面不嫁說明就是Buttiker)ttiker，發現一個簡介有沒的方法來解決這一問題。他發現電流探針和電壓探針並沒有本質的區別，我們可以把所有的探針看做一樣的基礎上，簡單的拓展二埠的結果就發展稱為我們熟知的Landauer-Buttiker電流公式：

當 $T_{alphaleftarroweta}=T_{eta leftarrow alpha}=T$ 時，電流表達式可以改寫為

這一結果只在零溫下成立，當考慮有限溫度時，電極中的費米分布函數（與透射率直接相乘）不再是階躍函數，而是服從費米分布，電導公式改寫為：

其中 $overline{T}(E)$ 表示費米能附近模式數M與每個模式的輸運可能性的乘積。在實際處理中，可直接計算零溫先透射率隨費米能的改變，最後和分布函數 $frac{partial f_0}{partial E}$ (需要做歸一化處理)乘積並積分，雖然看起來積分區間是從負無窮到正無窮，事實上 $frac{partial f_0}{partial E}$ 只在特定的範圍內非0，而這個範圍的大小和溫度有關，分布函數的中心取決於費米能。這樣的話，給定一個費米能，做一次積分（其實是溫度引起的展寬的平均），溫度越高，展寬越寬，需要平均的範圍越大。

到現在為止我們得到的電流電導都和格林函數沒有半毛錢關係，首先我們知道透射率和散射矩陣滿足： $T_{mleftarrow n}=|S_{mleftarrow n}|^2frac{ u_m}{ u_n}$ ,其中 $u_i$ 是群速度。但是這依然和格林函數沒有關係。非常巧妙的事Fisher和Lee的一篇文章[1]將格林函數與散射矩陣聯繫起來，從而將格林函數與透射率聯繫起來，進而將格林函數與電流、電導聯繫起來！那就是大名鼎鼎的Fisher-Lee關係：

其中展寬函數

而 $Sigma^r$ 為半無限長導線的推遲自能，可以通過迭代或轉移矩陣[2,3]先求解半無限長導線的表面格林函數(因為出發點是緊束縛近似) $g_{00}$ ，隨後可以通過

$Sigma=V_{CL}g_{00}V_{LC}$

其中 $V_{CL}$ 表示中心區與導線的耦合，而相反 $V_{LC}$ 表示導線與中心區的耦合。最後對於透射率我們只剩下推遲格林函數未知，而我們知道

$[E+ieta-H]G^r=1$

其中 $eta$ 為無窮小的正量，而 $H=H_cen+sum_alphaSigma_alpha$ 。

這樣我們可以得到了所有需要的東西。通過半無限長導線的表面格林函數計算自能，通過自能與中心區格林函數計算展寬函數以及推遲超前格林函數，通過展寬函數與中心區格林函數得到了透射率，通過透射率可以得到電流、電導等物理量。通過譜函數可以得到LDOS以及DOS等物理量。

ps：這裡面有幾個部分需要證明，

1、Fisher-Lee關係：散射矩陣和格林函數的關係，

2、自能的表達式 $Sigma=V_{CL}g_{00}V_{LC}$ ，

3、展寬函數與導線自能的關係：

這幾部分都是嚴格可以證明的。

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下面我會以最簡單的四方格點模型為例，具體演示如何處理

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參考文獻：

[1] Fisher D S, Lee P A. Relation between conductivity and transmission matrix[J]. Physical Review B,(1981),23,6851.

[2] Sancho M P L, Sancho J M L, Sancho J M L, et al. Highly convergent schemes for the calculation of bulk and surface Green functions[J]. Journal of Physics F: Metal Physics,(1985),15,851. (迭代)

[3] Zhang J, Shi Q W, Yang J. Electronic transport in Z-junction carbon nanotubes[J]. The Journal of chemical physics,(2004),120,7733（轉移矩陣）

[4] Lee D H, Joannopoulos J D. Simple scheme for surface-band calculations. II. The Greens function[J]. Physical Review B,(1981),23,4997. （轉移矩陣）