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13.1 一致收斂性（習題）更新中，歡迎提問交流

06-06

13.1 一致收斂性（習題）更新中，歡迎提問交流

來自專欄數學分析教學筆記

1. 討論函數的一致收斂（內閉一致收斂）性，並說明理由。

（1） $f_n(x)=sqrt{x^2+frac{1}{n^2}},D=(-1,1)$

解極限函數 $f(x)=lim_{n ightarrow infty}f_n(x)=sqrt{x^2}=|x|,$

又因為 $0leq f_n(x)-f(x) leq 1/n$ ，一致收斂。

（2） $f_n(x)=frac{x}{1+n^2x^2}, D=(-infty,+infty)$

解極限函數 $f(x)=0,$

又因為 $|f_n(x)|leq 1/2n ightarrow 0,$ 一致收斂。

（3） $f_n(x)=egin{cases} -(n+1)x+1, & 0leq x leq frac{1}{n+1} \ 0, & frac{1}{n+1}<x<1 end{cases}.$

解極限函數 $f(x)=egin{cases} 1, & x=0 \ 0, & 0<x<1 end{cases}.$

極限函數不連續，因此不一致收斂。

取其閉子區間[0,1/2]，它的極限函數仍不連續，所以它同樣非內閉一致收斂。

點評其實就是說這個函數列有毛病的地方就在0這個點~

（4） $f_n(x)=x/n, D=[0,+infty);$

解極限函數 $f(x)=0,$

不一致收斂，因為若取 $x_n=n, f_n(x_n)equiv1 rightarrow 0$ .

內閉一致收斂，因為 $forall [alpha,eta]subset [0,+infty), x/n leq eta/n ~~ ightarrow 0$ .

（5） $f_n(x)=sin frac{x}{n}, D=(-infty,+infty)$

解極限函數 $f(x)=0$ ,

不一致收斂，因為若取 $x_n=n, f_n(x_n)equivsin1 rightarrow 0$ .

內閉一致收斂，方法和（4）完全類似。 $Box$

2. 證明：若對每一個正整數 $n$ 有 $|f_n(x)-f(x)|leq a_n, xin D, lim_{n ightarrow infty}a_n=0$ ，則 $f_n(x) ightrightarrows f(x), xin D, n ightarrowinfty.$

證明由題設， $forall epsilon>0, exists N>0, forall n>N,$ 有 $|a_n-0|=a_n<epsilon,$

所以，再由題意，對一切 $xin D, |f_n(x)-f(x)|leq a_n < epsilon.$

這就是一致收斂的定義。

點評（1）這個題目非常簡單，但這個思路非常重要，相當多的情況下，我們證明一致收斂的過程，就是「抹掉 $x$ 」的過程。

（2）教材上把這個題目的條件寫得啰嗦了，大家注意對比一下我寫的和教材原題的區別。 $Box$

3. 判斷下列函數項級數在所示區間上的一致收斂性。

（1） $sumfrac{x^n}{(n-1)!}, xin [-r,r]$

解魏爾斯特拉斯判別法，優級數為 $M_n = frac{r^n}{(n-1)!}$ , 比式判別法判斷優級數收斂。一致收斂。

（2） $sumfrac{(-1)^{(n-1)}x^2}{(1+x^2)^n}$

解 $u_n(x)=(-1)^{n-1}$ 部分和數列一致有界： $|S_n(x)|=|sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}|leq 1,$

$v_n(x)=frac{x^2}{(1+x^2)^n}, forall x, v_n(x)$ 顯然單調遞減；

又由 $(1+x^2)^ngeq n x^2Rightarrow |v_n(x)|leq 1/n$ ,從而一致收斂於0；

由於狄利克雷判別法，函數項級數一致收斂。

（3） $sumfrac{n}{x^n}, |x|>rgeq 1;$

解若 $r>1$ ，優級數 $sum frac{n}{r^n}$ ，比式判別法或根式判別法均可知其收斂，故此時一致收斂；

若 $r=1$ ,取 $x_n=n^{1/n}$ ，則 $frac{n}{(x_n)^n}equiv 1$ ,從而不一致收斂於0，故級數不一致收斂。

（4） $sumfrac{x^n}{n^2}, xin [0,1]$

解優級數 $sumfrac{1}{n^2}$ , 故一致收斂。

（5） $sumfrac{(-1)^{n-1}}{x^2+n}, xin (-infty,+infty)$

解 $u_n(x)=(-1)^{n-1}, v_n(x)=frac{1}{x^2+n}$ , 狄利克雷判別法（學生需自己補齊判別過程！）

（6） $sumfrac{x^2}{(1+x^2)^{n-1}}, xin(-infty,+infty)$

解注意（6）和（2）的區別！

另外注意它的通項是單調且一致趨於0的，但可惜這只是一致收斂的必要條件。

我們取 $(x_n)^2 =2^{frac{1}{n-1}}-1$ ,則 $sum frac{(x_n)^2}{(1+(x_n)^2)^{n-1}}=sumfrac{2^{frac{1}{n-1}}-1}{2}$ , 注意到

$2^{frac{1}{n-1}}-1 sim frac{1}{n-1}cdot ln 2$ ,

由比較判別法的極限形式，上述數項級數發散，從而原級數不一致收斂。 $Box$

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