解析數論在中國

王元

摘要

本文綜述了解析數論近70年來在中國的發展以及中國數學家在這一領域的重要貢獻， 特別是華羅庚及陳景潤的重大成就。

1、回顧

中國解析數論研究的創始人是華羅庚，他生於1910年，江蘇金壇人，由於家貧，初中畢業後，僅念完一年職業學校，即輟學在家。他發奮自學數學，並能在上海《科學》雜誌上發表一些初等數學文章，從而引起了熊慶來、楊武之等注意。1931年，清華大學算學系主任熊慶來邀華羅庚來清華工作，任系助理員。在楊武之的指導下，華羅庚走上了研究數論之路。

1936年， 清華大學以訪問學者名義，送華羅庚去英國劍橋大學深造，師從哈代（G. H. Hardy）。在與同輩互相研討下，華羅庚在解析數論方面取得了突出成就。

由於抗日戰爭爆發，華羅庚於年回國，在昆明任西南聯合大學數學系教授，在華羅庚的領導下，閡嗣鶴與鍾開菜跟他一起研究解析數論。（後來，鍾開萊改習了概率論）1946年，華羅庚去美國工作。

中華人民共和國剛成立，華羅庚即於1950年初回國服務。1951年，華羅庚被任命為中國科學院數學研究所所長。

1953年，他在數學所組織了「 數論導引」 與「 哥德巴赫（G.Goldbach）猜想「 兩個討論班，指導越民義、許孔時、王元、吳方、魏道政、嚴士健、任建華研究解析數論。1956年，華羅庚調廈門大學陳景潤來數學所工作。

1955年，閔嗣鶴在北京大學數學系開設解析數論專門化，參加的學生有潘承洞、尹文霖、邵品宗與侯天相。以前，閔嗣鶴還指導過遲宗陶。

解析數論的研究領域也從華羅庚與閔嗣鶴熟悉的指數和估計及其應用拓展到篩法、模形式論、二次型論、丟番圖分析、超越數論、代數數論及數論的應用等。

另外，中國還有幾位基本上靠自學成才並能在解析數論方面作出貢獻的人，他們是董光昌、丁夏畦與潘承彪。

近70年來，中國經歷了抗日戰爭與解放戰爭。建國後，歷次政治運動不斷，特別是「文化大革命」十年浩劫。但解析數論的研究不僅沒有間斷，而且不斷取得令人鼓舞的成績，這是十分難得的。

本文僅列舉幾條經典解析數論方面最重要的成果如下。這些結果及其證明在國內外該領域最重要的著作中均可以見到。

2、華氏定理

華氏定理（1949）命q為一個正整數， f(x)=a_kx^k+...+a₁x 為一個k次整係數多項式且最大公約 數（a_k ，... ，a₁ q)=1，則對於任何ε >0皆有

此處e(z)=e^2πiz與「0 」 有關的常數為僅依賴於k與π的常數c(k,ε) 。

華氏定理溯源於高斯(C.F.Gauss)。他首先引進f(x)=ax²的特例情況，即所謂高斯和S(q，ax²)，(a，q)=1， 並得到估計S(q，ax²)=O(q ^1/2)。

高斯引進並研究高斯和的目的在於給出初等數論中非常重要的二次互反律一個證明。以後，不少數學家企圖推廣高斯和及他的估計，但他們只能對特殊的多項式所對應的，S(q，f(s) )，取得成功，這一歷史名題直到1940年，才由華羅庚解決。

華氏定理是臻於至善的，即誤差主階1-1/k已不能換成一個更小的數。這只是取f(x)=x^k及q=p^k(p為素數)就可以知道。所以依·維諾格拉朵夫 （I. M. Vinogradov）稱讚華氏定理是驚人的。

華氏定理的直接應用是，可以處理比希爾伯特（D. Hilbert）一華林（G.Waring）定理更為廣泛的問題: 命N為一個正整數 ， f₁(x)(1<=i<=s)是首項係數為正的k次整值多項式， 考慮不定方程

N=f1(x1)+…+fs(xs) (1)

的求解問題，特別取f₁(x) =…=f_s(x)=x^k， 即得

N=x₁^k+…+x_s^k (2)

1770年，華林提出猜想:當s>=s₀(k)時，(2) 有非零非負整數解。華林猜想是希爾伯特於1900年證明的。於是華林猜想就成了著名的希爾伯特一華林定理，但用希爾伯特方法所能得到的S₀(k)將是很大的，20年代以後，哈代、李特伍德(J.E. Littlewood)與依·維諾格拉朵夫用圓法及指數和估計法對S₀(k)作了精緻的定量估計。用華氏定理基本上可以將依·維諾格拉朵夫關於華林問題的重要結果推廣至不定方程（1），即假定（1）滿足必須滿足的條件，則當s>=s₀=O(klogk)及N充分大時，（1）有非零非負整解。當s>=s』₀=(k²logk)時，方程（1）的解數有一個漸近公式。

3、華氏不等式

華氏不等式(1938)命N為一個正整數， f(x)對為一個k次整係數多項式，T(a)=∑^N_x=1， 則對於任 何ε>0及1<=j <=k 皆有

華氏不等式的直接應用為不定方程(1)，由圓法來處理方程(1)，則首先需將方程(1)的解數表示成(0，1)上的一個積分，然後將(0，1)，分成互不相交的優孤與劣孤之並，優孤上的積分給出(1)的解數的主項，需證明劣孤上的積分是一個低階項，從而可以忽略不計，這樣就得到了解數漸近公式。華羅庚證明了：假定f_i(x)(1<=i<=s)為滿足必須滿足的條件的k次整值多項式。則當s>=2^k+1時，方程(1)的解數有一個漸近公式。特別對於華林問題，即方程(2)，當s>=2^k+1時，對充分大的N，(2)有非尋常非負解，且解數有漸近公式。當k<=10時，這一結果是華林問題的最佳結果。直到半個世紀之後，基於對華氏不等式的某些改良，沃恩（R.F. Vaughan）與希斯布朗(D.R.Heath-Brown)才能對華羅庚關於華林問題的結果作點改進，但他們所用的方法卻繁得多了。

基於華羅庚關於解析數論的基本方法，即關於指數和估計的華氏定理與華氏不等式，再加上依· 維諾格拉朵夫的韋爾（H.Weyl）和估計與關於素數變數的指數和估計，華羅庚系統地研究了不定方程(1)及其他堆壘問題的求解問題，並限制變數x₁，x₂，…x， 均取素數值。

華羅庚的結果總結在他的專著《堆壘素數論》中，這本書被譯成俄文、英文、德文、匈牙利文與日文。它是圓法、指數和估計及其應用方面最重要的經典著作之一。

4、陳氏定理

陳氏定理（1966）每一個充分大的偶數都是一個素數及一個不超過兩個素數的乘積之和。簡記為（1，2）。 誠如哈貝斯坦（H. Halberstam）與黎切爾特(H.E.Richert)所稱，陳氏定理為「 驚人的定理」 ，而且「 從篩法的任何方面來說，它都是光輝的頂點」。

陳氏定理與篩法相關，篩法導源於公元前250年的「 埃拉朵斯染尼氏（Eratosthenes）篩法」 ，1919 年，布倫(V.Brun)對這一方法作出了重大改進，並將它用於哥德巴赫猜想。1947年，賽爾貝格（A.Selberg）給出了埃拉朵斯染尼氏篩法的另一個重大改進。

哥德巴赫猜想是1742年哥德巴赫與歐拉（L.Euler）的通信中提出來的，可以表述為：每一個不小於4的偶數都是兩個素數之和 。簡記為（1，1）。

1900年，在希爾伯特的著名演講中，又將這一猜想列入他的23個數學問題中的第八問題。布倫首先證明了：每個充分大的偶數都是兩個素因子個數均不超過9的整數之和，簡記為（9，9），余類推，（1，1）即表示哥德巴赫猜想對充分大的偶數成立。布倫的方法與他的結果先後被拉代馬海爾（H.Rademacher），艾斯特曼(T. Estermann)，黎奇(G. Ricci)，布赫斯塔布(A.A. Buchstab)與孔恩(P.Kuhn)所改進。

將布倫、布赫斯塔布與賽爾貝格方法相結合，王元改進了布赫斯塔布的結果，他證明了

（3，4）（王元，1956）。

再與孔恩方法相結合，他又得到了當時的最佳結果

（2，3）（王元，1957）。

處理哥德巴赫猜想的另一途徑是，將布倫篩法與林尼(Yu.V. Linnik)的大篩法相結合。首先是雷尼(A. Renyi)於1947年證明了，存在常數c使(l，c) 成立，潘承洞與巴爾巴恩(M.B.Barban)獨立地確定了c之值，潘承洞的結果如下：

（1，5）（潘承洞，1962），

（1，4）（潘承洞，1963）。

這是當時的最佳結果，由於邦比里( E. Bombieri)與阿·維諾格拉朵夫(A.I.Vinogradov)對大篩法及算術級數素數分布的均值定理的重大貢獻，他們於1965年證明了(1，3)，在上述成就的基礎上，加上天才的創造，陳景潤於1966年證明了(1，2)，陳景潤的方法在國外稱為「轉換原理」。

5 、其他工作

在經典解析數論的下列方面：依· 維諾格拉朵夫的韋爾和估計的改進與簡化；塔內(Tarry)問題；高斯圓內整點問題；狄里赫雷（P.C.L.Dirichlet）除數問題；黎曼（G. F. B. Riemnan）ξ一函數在臨界線上的值估計；最小原根估計；最小皮爾（J.Pell）氏方程解的估計；算術級數中最小素數的估計；小區間中殆素數估計；小區間中哥德巴赫數的估計；有限制的三素數定理；無平方因子數的估計以及球內整點問題與高維除數問題等，中國數學家都作出了引人注目的貢獻，在此就不詳細敘述了。　

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