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這個世界正面臨著讓人畏縮的問題——氣候變化、經濟衰退，還有電視真人秀節目——我們所說的「世界」通常指的是生活在地球這顆行星表面的生命，而非地球本身。我們想當然地認為行星的軌道具有高度的穩定性。沒有人擔心水星會在內太陽系中失控。也沒有人認真地思考過火星會和地球相撞。畢竟，行星已經穩定地繞太陽轉動了45.4億年。如果有哪裡不對勁的話，你會認為它早就該發生了。然而，對太陽系穩定性的嚴格證明一直是天文學中懸而未決和最讓人傷腦筋的問題之一。新發現的數百顆太陽系外行星又激發起了人們對這個問題新的興趣。許多太陽系外行星有著長橢圓軌道（大偏心率），暗示它們是以前行星「騷亂」時期的倖存者。在一些擁有兩顆或者更多行星的行星系統中，我們可以看到大尺度的軌道不穩定性確實發生在它們之間的清晰證據。例如，在包含有三顆行星的仙女υ中，最外面的兩顆行星具有大偏心率軌道，它們的形狀和指向可以認為是在這個系統尚年輕時有第四顆行星被拋射出去而造成的。即使在25億年（仙女υ的年齡）後，這一拋射的跡象依然清晰可見；每8千年這個系統就會再現那場災難剛發生後不久的大偏心率構形。並不那麼簡單牛頓第一個認識到了行星軌道的物理本質。他的萬有引力定律——描述了物體間的吸引力和它們的質量以及距離之間的關係——漂亮地解釋了太陽系行星的運動秩序。利用牛頓定律，根據行星目前的位置和速度以及它所受到的所有引力可以預測這顆行星未來的運動軌跡。太陽佔據了太陽系中99.8%的質量，因此做為一個非常好的近似，每顆行星的軌道可以被描述成一個個彼此獨立並且焦點位於太陽的橢圓。如果真能如此操控一切，每一顆行星的軌道都會永遠保持不變。但是，行星之間還存在微小的相互吸引。結果是，這些微小的效應並不會一直保持「低調」。只要時間足夠長，它們會以複雜並且意料之外的方式累積起來進而產生壓倒性的效果。即便是在牛頓那個年代，對行星運動的觀測就已經達到了非常高的水平。開普勒證明，行星在天空中的奇特軌跡可以用三維空間中一個簡單的橢圓來解釋。但直到三代人之後，牛頓時代的天文學家才以足夠的精度確定了行星的運動軌跡，以此揭示出了它們和完美橢圓之間的偏差。牛頓知道行星之間的吸引會改變它們的軌道，同時他也特別渴望能解釋木星和土星軌道的一個顯著特性。在整個16和17世紀，天文學家發現，木星正在緩慢地螺旋向內運動，而土星則正在逐漸向外。如果這一趨勢繼續進行幾萬年的話，整個太陽系就會陷入危機。雖然付出了巨大的努力，但牛頓無法用他的理論來解釋正在發生的這一現象。其中的數學實在是太嚇人了。在一封信中，他含蓄地承認了失敗：「…如果我沒有弄錯的話，同時考慮所有對（行星）運動的影響並且使用簡單計算即可得的精確定律來定義這些運動超出了人類思維所能及的範圍。」牛頓在解釋木星和土星「迷途」軌跡上的失敗為18世紀最傑出的數學家提供了巨大的動力。1776年拉普拉斯攻克了這一難題。他證明，木星和土星的軌道會在一個平均值附近出現周期為數千年的振蕩，這是由於木星繞太陽公轉五圈的時間正好和土星公轉兩圈的時間相等造成的。這一「共振」使得它們施加在彼此身上的擾動可以連續累加達數百年。一系列看似可以忽略的影響，只要時機恰當也能產生非常實實在在的長期效果。在建立了他的理論之後，拉普拉斯可以有效地來反演太陽系，進而預報古代行星在天空中的位置。他的結果和2千年前巴比倫人的觀測驚人地吻合，根據他自己的說法「公元前228年3月1日4時23分（巴黎時間），土星位於恆星室女γ下方兩個手指處」。這一在縱橫數千年里確定土星位置的成功使得他對於自己理論的正確性擁有極端的自信，並毫無疑問地導致了拉普拉斯決定論——如果你知道宇宙中所有粒子現在的位置和速度，那麼就能精確地知道它們的整個未來。

[圖片說明]：完美可預知性的終結。左：拉普拉斯（1749-1827），非凡的數學天才，解決了木星和土星軌道的緩慢變化之謎。這一成功幫助導致了「拉普拉斯決定論」——如果你知道宇宙中每一個粒子目前的狀態，就能徹底地預言它們的整個未來。中：勒威耶（1811-1877），他所在時代的傑出數學天才，第一個發現了完美軌道決定論存在問題。右：龐加萊（1854-1912）證明根本無法預言行星在遙遠未來的位置。即使是它們目前軌道中微觀的不確定性也最終會通過蝴蝶效應迅速演變成壓倒性的不可預知性。可預知的夢想在拉普拉斯的公式下，太陽系是完全穩定的。他的數學框架不允許行星的周期存在任何長期演化，而且拉普拉斯認為他已經證明了行星的軌道是「牢不可破」的。然而，到19世紀中太陽系這部精密的機器開始出現了裂縫。天文學家逐漸開始明白，拉普拉斯理論中的基本近似方法使得它無法適用於數千年以上的時間跨度。勒威耶（他根據海王星對天王星的攝動精確地預報了海王星的存在）警告，太陽系可能並不像拉普拉斯所說的那麼精準。幾十年內，這個問題變得日益緊迫。一個獎金頗豐的國際競賽也應運而生，第一個證明行星軌道穩定性的人將獲得由瑞典國王奧斯卡所頒發的金牌和2,500克朗的獎金。讓人沮喪的是，由龐加萊提交並最終勝出的證明卻是這個問題不可解。龐加萊證明，即使一個僅僅包含了一顆恆星和兩顆行星的簡單系統也是「不可積」的，即找不到一個公式能永遠告訴你這兩顆行星的位置——進一步也無法對它們軌道的長期穩定性給一個「是」或者「否」的回答。龐加萊的工作領先了他所在的時代差不多100年，他第一個暗示了混沌理論以及現在被廣為人知的「蝴蝶效應」——系統中一個微小的擾動會產生壓倒性的效果。（這個詞來自大氣建模中的發現，即便是一隻巴西的蝴蝶在風中搧動翅膀也會在幾個月之後改變全球的天氣。）龐加萊的工作證明，太陽系的確定軌道無法外推至無窮遠，同時任何有關行星命運的結論都必須用概率來表達。

[圖片說明]：最壞的情況。如果水星在接下去的60億年里落入了和木星的共振，它的軌道最終會被拉長並穿越金星的軌道——隨後水星可能會被拋射到任何地方，其中也包括了和地球間可能發生的碰撞。但水星在太陽死亡前失控的概率僅有大約1%。強力解在當代，有三件事情使得這一曾經晦澀難懂的天體力學領域得以獲得新生。空間飛行對行星的位置和空間探測器軌道的精度要求極高。超級計算機通過在大量小時間跨度上反覆計算行星的位置和速度進而對未來行星的運動進行高精度強力模擬。第三，太陽系外行星（包括具有共振和混沌跡象的多行星系統）的發現重新喚起了對太陽系命運的興趣。20世紀80年代，許多天文學家使用超級計算機研究了太陽系動力學中的微妙之處。這些計算的成果之一就是直接彰顯了太陽系確實是混沌的，更重要的是能進行有效軌道預報的時間跨度只有幾百萬年——遠遠小於太陽系的年齡。舉個例子，即使現在行星的位置能被確定到誤差小於一個原子的直徑，但你仍然無法準確地預報1億年之後它們的位置。我們沒有辦法確切知道公元100,000,000年1月1日元旦這一天是出現在冬季還是夏季以及地球是否還在繞太陽轉動。

1995年巴黎天文台勒威耶的「後來人」Jacques Laskar發表了一個有趣的數值實驗的結果。在計算機代數的幫助下，他發展出了一種可以在時間上向前推進行星運動的近似方法。實現這一方法的計算機程序包含了超過15萬項，它們描述了行星間微妙的引力相互作用，使得他可以在計算機中以200年為一步向前推動太陽系的演化。由此他也成為了第一個在超過十億年的時間跨度上研究太陽系多種可能演化過程的人。那麼是否有結果表明太陽系中的行星可能會打破它們由來已久的軌道呢？在向前演化了5億年之後，Laskar的程序沒有顯示災難將要發生的明顯趨勢。木星、土星、天王星和海王星這些巨行星沒有顯示出任何不穩定的跡象。（我們現在認為它們在1千萬億年的時間跨度上都是穩定的。）但類地行星則呈現成了微妙的混沌和軌道的漂移，其中尤其是水星最終有可能會失控。

[圖片說明]：害群之馬。看似無辜的水星卻是掌控這太陽系是否失控的唯一關鍵。Laskar因此專門進行了一項實驗來研究水星的運動情況。為此，他檢查了他5億年的計算，從中挑選出了水星橢圓軌道偏心率達到最大的那一刻。然後，他用這一時刻的軌道構形做為另外四個幾乎完全相同的太陽系模型的初始條件，而在這四個模型中僅有地球軌道存在完全無法可觀測到的微小差異。當他在時間上向前演化這四個模型時，一開始它們彼此齊頭並進，但在幾百萬年之後蝴蝶效應開始顯現，不同的模型出現了不可避免的差異。在這四個模型都完成了5億年的演化之後，Laskar會再一次檢查行星的軌道，並從中挑選出水星偏心率達到最大的那一刻。接著他會以此做為另外新的四個數值模擬的初始條件，再一次重複上面的步驟。在重複了十幾次之後，就會產生大量可能的結果。Laskar發現，在其中一些結果里水星的軌道會被拉長並且出現和金星軌道相交的危險情況。軌道相交通常會導致災難：碰撞、會導致潮汐力撕碎一顆或者兩顆行星的密近交會或者是把一顆行星完全拋射出太陽系。對於地球而言，它的結果包括了從經歷更頻繁的小行星碰撞到直接被摧毀不等。今天的圖景Laskar1994年的結果第一次有力地證明，即便沒有外界的影響，在太陽做為一顆燃燒氫的恆星所剩下的60億年時間裡也會出現軌道混沌。不過，一些重要的問題仍有待回答。重複選擇看似最不穩定的軌道到底有多大的「幫助」？如果進行一次從頭到尾的模擬，太陽系能維持多久？是什麼機制使得水星的軌道失穩？最後，如果在計算中考慮了廣義相對論的微妙作用，結果是不是會有不同？這些問題最近都得到了回答。多個彼此獨立的小組進行了數值模擬，發現了太陽系的唯一致命弱點——使得水星失控的機制。正是由於木星的引力作用，水星一直處於危險之中。行星間的引力會造成一系列軌道相對於完美橢圓的偏離效果。在這些擾動中最顯著的就是軌道進動。當一個軌道發生進動的時候，其橢圓的長軸會改變指向，因此行星的近日點也會沿順時針或者逆時針方向緩慢但穩定地移動。水星軌道目前的進動速度為每年0.16°，而木星的則為每年0.23°。但數值模擬顯示，在非常長的時間下，引力作用會使得水星的進動速率大幅提升。最具有戲劇性的是，如果水星的進動速率接近木星的話，就會引髮長期共振，這會迫使水星軌道的進動和木星的同步。

[圖片說明]：災難之路。水星具有一條偏心率適中的軌道。木星的軌道（不在此圖之內）也有偏心率，但較之更小。這兩條橢圓軌道的長軸分別被稱為「拱線」，它們會緩慢地沿著逆時針方向（藍色箭頭）進動。如果兩者的速率達到同步，那麼如圖所示水星的軌道會被拉得越來越長，直到它和金星的軌道相交。此時，水星和金星間的密近交會會把它們朝任何一個方向甩出去，由此也把混沌傳播遍整個內太陽系。長期共振的形成還會帶來其他的麻煩。在數百萬年的時間裡，木星會逐漸地提取水星軌道的角動量。這一效應在大質量的木星身上幾乎看到不到效果，但對於小得多的水星而言它的軌道偏心率會增大到能引發災難的程度。現在的計算機已經發展到了能夠進行數千次太陽系模擬的程度，其中每一個都不採用近似方法而且還包含了廣義相對論以及諸如小行星穀神星和月球等天體的影響。2009年夏，Laskar和他的合作者Mickael Gatineau公布了迄今所進行的最龐大的研究結果，他們共進行了2,501組太陽系模擬。

[圖片說明]：建模水星。上圖：在絕大多數水星的長期模擬中，一切都波瀾不驚。這裡顯示的是水星軌道偏心率的典型變化，從現在開始到未來的20億年中沒有劇烈的起伏。（偏心率為0意味著以太陽為中心的圓軌道。偏心率為1則是一條以太陽為端點的、形似直線的橢圓軌道。目前水星的偏心率為0.21。）下圖：然而在少數情況下，水星會失控。在這一模擬中，其作者會從中挑選出水星偏心率較大的時刻，並以此做為「分支點」開始四組新的模擬。當這些新的模擬中水星又出現大偏心率時，再一次將其做為分支點，循環往複。在這些模擬中內太陽系偶然會出現失控的結果。這些模擬包含了大量的細節。例如，它們顯示，我們很幸運愛因斯坦是對的。著名的廣義相對論效應會為水星的進動速率增加額外的每年0.43個角秒。這使得水星的軌道很難與木星發生危險的長期共振。如果沒有這一廣義相對論效應，水星軌道失穩的概率為10%。但有了廣義相對論的作用，在太陽死亡前太陽系失控的可能性僅有大約1%。雖然很小，但1%的概率仍然是不可忽略的。Laskar和Gastineau計算出了幾種太陽系未來可能的軌道，其中地球的情況都不妙。在其中尤其劇烈的一種情況下，地球會和火星發生毀滅性的直接碰撞。在另一種情況下，火星會在距離地球表面僅幾百千米的地方掠過。雖然沒有撞上，但這也絕非是一件好事。在地球和火星逐漸靠近的過程中潮汐拉伸和擠壓作用會把地球加熱到完全能熔化地殼和地幔的程度。地球的海洋會蒸發成一個包圍著全球性岩漿海的水蒸汽大氣。

[圖片說明]：密近交會。行星間的密近交會和碰撞一樣糟糕。如圖所示的計算機模擬顯示，如果火星從距離地球足夠近的地方掠過，潮汐力會使得較小的行星嚴重變形、自轉加快，並且還會有大量的岩幔被拽出，形成小行星大小的岩石和殘塊流——其中一些會被地球俘獲，引發災難性的後果。在這裡地球被不現實地顯示為一個球形。在真實的情況下它也會出現暫時的變形。事實上，地球和火星間極端的密近交會耗散地球內部大量的潮汐能，使得整顆行星熔化。即使地球和火星根本沒碰上，地球也會成為一個岩漿星球。我個人更願意看著那99%而不是剩下的1%。現在對於太陽系穩定性這一數百年之久的問題我們已經有了一個確定的概率解。在接下去的5千萬年里任何行星都不會失控。在太陽面對其60億年之後的終點時，行星則確實會展現出它們不同尋常的軌跡。

Gregory Laughlin是美國加州大學聖克魯茲分校的天文學教授，他的主要研究集中在太陽系外行星及其發現。Laughlin還管理著由高級天文愛好者參與的行星搜尋計劃Transitsearch.org。木星衛星的不穩定性Landon Curt Noll文Shea譯1771年拉普拉斯意識到，木星四顆最大的衛星中的三顆有著密切的關係。在時間上木衛三繞木星轉動一周的時間正好和木衛二繞木星兩周以及木衛一繞木星四周的時間相等。為了紀念拉普拉斯，天文學家把發生在任何三個或者更多天體間的軌道共振稱為拉普拉斯共振。木衛一、木衛二和木衛三是太陽系中唯一已知的案例。

[圖片說明]：木衛一。版權：NASA/JPL。它們4:2:1共振的結果之一就是它們之間相互的引力攝動使得它們的軌道始終偏離正圓。對於最靠近木星的木衛一來說，正是其橢圓軌道造就了它著名的潮汐作用，木衛一的本部由此被加熱進而使得它成為了太陽系中火山活動最活躍的地方。在42個小時里，木衛一就會繞木星一圈，在這個過程中它的部分表面會抬升、下落多達100米！做為比較，月亮引發的「地球潮」不足1米。在一篇發表於2009年6月18日《自然》雜誌的論文中，Valéry Lainey、Jean-Eudes Arlot、??zgür Karatekin和Tim Van Hoolst計算髮現，木衛一上的潮汐作用會以90萬億瓦的功率向其內部注入能量，這個數字是地球上所有發電廠容量的5倍多。木衛一不同尋常的潮汐加熱所產生的平均表面熱流量大約是地球的25倍。這些計算和使用紅外望遠鏡對木衛一所進行的測量相一致，這還說明木衛一的內部處於熱平衡狀態——因此木衛一的熱量來自潮汐而並非是其核心的放射性衰變或者是其形成過程中殘留下來的熱量。一些科學家假設，木衛一會從其他伽利略衛星處汲取能量，由此在它們的軌道收縮時來維持4:2:1共振。與之相反的是，Lainey及其同事使用116年來對木星衛星位置的觀測數據，得出它們之間拉普拉斯共振正在緩慢瓦解。他們發現在1891年以來木衛一的軌道已經向木星移動了55千米，而木衛二和木衛三則分別向外運動了125和365千米。下圖顯示的是施加在木衛一上的數個較大的作用力中的兩個。Lainey及其同事證明，右圖中向內的作用力要大於左圖中向外的作用力，導致木衛一朝向木星運動。類似成對出現的作用力也會出現在木衛二和木衛三身上，但向外的力佔據了主導，因此它們正在遠離木星。

[圖片說明]：左圖：來自木衛一的引力會引發木星上的潮汐。木星10個小時的自轉（比木衛一42小時的公轉快）會把潮汐隆起帶到兩者連線的前方。前導潮汐隆起會向前拉動木衛一，使之加速並由此稍稍遠離木星。右圖：木星也會在木衛一上造成潮汐隆起。就像月亮，木衛一也總是只有一側朝向木星，但並不完全。木衛一的軌道是橢圓形的——因此它在靠近木星的時候會加速。在這期間它的自轉會滯後於公轉。於是木星的引力會拉動木衛一的潮汐隆起使之加速。這部分加速的能量來自木衛一的軌道能，所以木衛一會變得更靠近木星。這一效應會超過上面所提到的另一個。伽利略衛星正在慢慢地脫離拉普拉斯共振出乎了許多人的意料。Lainey及其同事並沒有對這一共振會在何時瓦解做出預言。但當它發生之時，木衛一的軌道會變得更圓，其潮汐效應也會大為減弱，木衛一上的火山活動也會停止。那麼再然後呢？要預言伽利略衛星的命運還需要更好的數據和認識。也許當拉普拉斯共振瓦解的時候，來自木星的潮汐力會再一次把木衛一向外推，木衛一、木衛二和木衛三會再一次進入共振狀態，使得木衛一上的火山蘇醒。也許這一過程已經發生了好幾次？我們既無法確定地預言伽利略衛星的未來，也無法追蹤它們的過去。例如，我們還不知道木衛四是否也參與了其他三顆衛星的共振。但我們知道的一件事情是我們很幸運地正好處於伽利略衛星的活躍期能目睹這一現象的發生。Landon Curt Noll是一位思科系統的計算機安全專家，同時也是美國天文學會的會員。他樂於在弗萊蒙特峰天文台做演講（www.fpoa.net）並且把新的研究成果加入到他的天文學網頁（www.isthe.com/astro）中。
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