六年級華羅庚學校數學課本第十二講： 棋盤中的數學（三）

第十二講棋盤中的數學（三）——棋盤對弈的數學問題我們看這樣一個比輸贏的問題．例1在8×8的棋盤格中的某個格子里已放入一枚棋子「王」（如右圖），甲、乙兩人輪流移動「王」子，每次只能橫向或豎向移動一格．凡「王」子已經佔據過的格都不得再進入．誰先遇到無法移動「王」子時，誰就算輸方．試證明，先走者存在必勝的策略．分析「王」子已佔一個格，還剩下8×8－1＝63個格，比如甲先走一個格，還剩下62個格．若能將62個格分成31對，每對都是相鄰的兩小格，這時該乙走，乙領先進入一格，甲就隨之進入與其配對的格，這樣就造成了甲必取勝的態勢．因此，將64個格兩兩配對成為32個1×2的小矩形是解決本題的關鍵．證明：設甲為先走的一方，在甲的心目中如上圖將64個方格兩兩配對分成32個1×2的小矩形，「王」子必在某個1×2的小矩形的一個格子中．甲先走，將「王」子走入這個1×2的小矩形的另一個格子中．這時還有31個1×2的小矩形，每個小矩形中都有兩個小方格．這時該乙走，乙總是領先進入某個1×2小矩形的第一個格，甲就可以隨之進入這個小矩形的第二個格．由於不能重複進入「王」已經進過的格子，所以乙總處於領先進入新的小矩形的第一格的地位，甲就總可隨之進入這個小矩形的第二個格．最後必然乙先無法移動「王」子，乙輸．甲必取勝．例2下圖是一盤未下完的中國象棋殘局，各子走法必須按中國象棋的規則辦事，將對方憋死或無法走子時算取得勝利．如果輪到乙方走，問乙怎樣走法才能取勝？file:///C|/DocumentsandSettings/Administrator/桌面/小學1-6年級奧數書/小學生6年級數學奧數/11216_SR.HTM（第1／6頁）[2010-07-048:24:18]

第十二講棋盤中的數學（三）分析在上圖中，雙方的將（帥）均無法移動，雙方的士（仕）也無法移動，底炮也不能在橫線上移動（否則對方可將炮沉底打悶將）．底線兵（卒）只能橫向移動．誰先移動底線兵（卒）打將，會造成對方將（帥）移出，從而出現移兵（卒）方自己必輸的態勢．因而只有底炮、中炮和邊卒（兵）可以在縱線上移動，兵（卒）只能前移1步，中炮只能前移4步，底炮只能前移8步．現在的問題是：乙先走，輪流走完這三對子的13步，問乙怎樣走才能取勝？解：我們把乙的獲勝策略及甲的各種走法列表於下（其中，「甲1，乙1」分別表示，「甲第一步走棋」與「乙第二步走棋」，其餘類同；「中炮2，相炮3，卒1」分別表示「中路炮進2步」，「相位炮進3步」和「卒進1步」．其餘類同；「結果」欄表明乙1，甲1，乙1之後的態勢，其中的「距」以步為單位）：其中，情形⑦～⑩顯然為乙勝．情形①，②中，如甲2進炮幾步，則乙3就將另一路炮進同樣步數，…，這樣，終將乙勝．情形③，④與⑤，⑥是類似的．以③為例，甲的各種走法及乙的策略見下表：file:///C|/DocumentsandSettings/Administrator/桌面/小學1-6年級奧數書/小學生6年級數學奧數/11216_SR.HTM（第2／6頁）[2010-07-048:24:18]第十二講棋盤中的數學（三）顯然，各種情形中也是乙勝．注意，若甲某次退炮幾步，則乙接著將同一路炮進相同步數（這樣，這兩隻炮之間的間隔沒有改變）．說明：本題的深刻道理和規律在於自然數的二進位表示，將1步，4步，8步分別用二進位表示為1，100，1000．當乙從8步中走了3步後，變為還有5步即1，100，101．我們把這三個數寫成豎式1100101容易看出每一個數位上的數字之和都是偶數．（這裡均勿進位）．無論甲怎樣走，所走的那一行的步數（用二進位表示）至少有一個數位上的數字發生了變化，從而破壞了上面的規律，即不是每一個數位上的數字之和都是偶數了，比如說，甲在中路炮進一步，三路的步數變為：111101這時三個數位上的數字之和1＋1＋1，1＋0，1都不是偶數．file:///C|/DocumentsandSettings/Administrator/桌面/小學1-6年級奧數書/小學生6年級數學奧數/11216_SR.HTM（第3／6頁）[2010-07-048:24:18]第十二講棋盤中的數學（三）乙再接著走，他的辦法是恢復上面的規律．這是能辦到的．首先，他看一下數字和不是偶數的最高數位，三路步數二進位表示中至少有一路在這數位上的數字是1，然後，他就在這一路上走若干步，使得上述數位上的數字和為0，而較低數位上的數字為1或0以保證這些數位上的數字之和為偶數，其它數位上的數字不變．比如，對於上面的情形，乙應當在「相」位炮所在的路線上走3步，將三路步數變為：11110這樣繼續下去，步數逐漸減少，必有結束的時候，由於甲走後，不是每個數位上的數字之和都是偶數，所以甲不可能走到最後一步．走最後一步的是乙，所以乙必然取勝．例3如下圖是一個9×9棋盤，它有81個小正方形的格子，在右上角頂的格子里標有「▲」的符號代表山頂．A、B兩人這樣來遊戲：由A把一位「皇后」（以一枚棋子代表）放在棋盤的最下面一行或最左邊一列的某個格子里（即放在右圖中陰影區域的一個格子里），然後由B開始，兩人對奕：「皇后」只能向上，向右或向右上方斜著走，每次走的格數不限，但不得倒退，也不得停步不前；誰把「皇后」走進標有「▲」的那格就得勝．顯然，雙方對弈下去決不會出現「和棋」，在有限個回合後，必有一勝一負，試分析B必取勝的策略．這個遊戲我們不妨稱之為「皇后登山」問題．分析我們採用倒推分析的方法．如果A把皇后走進下圖中帶陰影的格子，則B就可一步把皇后走到山頂而獲勝．因此任何一方都應該避免把皇后走進右圖中的陰影地區，而都應該迫使對方不得不把皇后走至帶陰影的格子里去，這是取勝的總的指導思想．file:///C|/DocumentsandSettings/Administrator/桌面/小學1-6年級奧數書/小學生6年級數學奧數/11216_SR.HTM（第4／6頁）[2010-07-048:24:18]十二講棋盤中的數學（三）那麼B應把皇后走到哪些格子中才能迫使對方不得不把皇后走進上圖中帶陰影的格子里去呢？從上圖中可看出，這樣的格子只有兩個：有標號①和②的格子．由此可知，如果誰搶佔了①或②，只要走法不再失誤，就必會得勝．因此，我們形象地稱①、②兩格為「制高點」．那麼為占①或②，如下圖，如果A把皇后走進有的方格里，則B就能佔領①或②，從而獲勝，而B又怎樣迫使A不得不把皇后走進有的或有陰影的方格呢？同樣的分析可知，只要B能佔領第二對制高點③或④即可．繼續運用上述分析方法，還可以得到下一組制高點⑤和⑥．這時，不論A開始把皇后放在最左一列與最下面一行的哪個格子中，B第一步都可以搶到一個制高點，或者第一步就直接達到▲，只要走法得當，必能穩操勝券的．說明：1．如果我們給出的是8×8的國際象棋盤，玩「皇后登山」遊戲，A開始把皇后放在最左列或最下行的哪個格時，A必勝？這時我們看到，對8×8棋盤，制高點⑤在最左列上，制高點⑥在最下列上，所以A開始把皇后放於⑤或⑥，則A必勝，放在其它格時，B可搶到制高點，則B必勝．2．如果在普通的圍棋盤上，（共有18×18＝324個格）玩「皇后登山」遊戲．B取勝的制高點都是哪些？請讀者自己找出來．可以告訴大家，一共有六對，計12個制高點．file:///C|/DocumentsandSettings/Administrator/桌面/小學1-6年級奧數書/小學生6年級數學奧數/11216_SR.HTM（第5／6頁）[2010-07-048:24:18]第十二講棋盤中的數學（三）例4在8×8的國際象棋盤中（如下頁圖）有三枚棋子，兩個人輪流移動棋子，每一次可將一枚棋子移動任意多格（允許兩枚或三枚棋子在同一格），但只能按箭頭所表示的方向移動．在所有棋子都移到A點時，遊戲結束，並且走最後一步的算贏，問哪一個人能夠獲勝？解：由三枚棋子到A的格數分別要走59步，50步和30步，這樣就與例2在三條路線上走步本質上一樣的，我們不妨把59，50，30這三個數寫成2進位．59＝（111011）2，50＝（110010）2，30＝（11110）2排在一起：11101111001011110第一個人應當將第一行的111011改為101100，也就是減少11ll，這樣就使各個數位上的數字和為偶數．這時無論第二個人如何走都將破壞這個特性，第一個人接著可以採取使各個數位上的數字和為偶數的方法，穩步地走向勝利．這就是說，第一個人應當將最外面的棋子移動15步（即（1111）2＝1×23＋1×22＋1×2＋1＝15），即可按例2的規則穩步取勝．file:///C|/DocumentsandSettings/Administrator/桌面/小學1-6年級奧數書/小學生6年級數學奧數/11216_SR.HTM（第6／6頁）[2010-07-048:24:18]習題十二習題十二1．如下頁圖是一個3×101的棋盤，甲每次可走一個黑子，乙每次可走一個白子．每枚棋子只能在它所在的行沿固定方向移動，走步數不限，但不能越過對方棋子，誰不能走子誰算輸．若甲先走，請指出甲必取勝的著法．2．對8×8的棋盤，討論「皇后登山」問題．3．在普通圍棋盤上（共18×18＝324個格）討論「皇后登山」遊戲．4．圖a是一個彩色激光棋盤，上面有紅（打×）黃（空白格），藍（斜線格）三種顏色的方格．遊戲人可以隨意地通過按電鈕將某一行或某一列的小方格同時改變顏色，紅變黃，黃變藍，藍變紅，如果按不多於10次電鈕將圖a變為圖b，便可得獎．問遊戲人能否得獎？5．由甲在2×19的棋盤格上任放兩個皇后Q1與Q2（如圖）於兩行中，然後乙開始先走棋：如果走一個皇后，則可把任一皇后向右（向E方向）走任意多少格；如果同時走兩個皇后，則必須向右同時走相同的格數，不得不走棋，也不可倒走；這樣輪流走棋，誰使得另一方無棋可走時即獲勝，試討論乙取勝的策略．file:///C|/DocumentsandSettings/Administrator/桌面/小學1-6年級奧數書/小學生6年級數學奧數/11217_SR.HTM[2010-07-048:24:19]習題十二解答習題十二解答1．甲先把一行黑子走99步頂住乙方白子，以後乙走多少格，甲在另一行也走多少格，最後甲必取勝．2．見例3說明中第1款．3．見例3說明中第2款，其12個制高點如下圖所示．4．參加遊戲的人無論按多少次電鈕都無法把圖a變為圖b．事實上只需證明左上角3×3的矩形不能互相轉換就行了．為此，我們分別用數字1、0、－1分別代換紅、黃、藍三種顏色．注意每按一次電鈕，同時改變顏色的三個方格的數字和雖可能改變，但被3除餘數是不變的，圖a左上角9個數字和被3除餘數是0，圖b左上角9個數字和被3除餘數是1，故圖a永變不成圖b．5．Q1到E有16格，Q2到E有13格，可記為（16，13）乙應把棋走成（8，13）或（7，4）．往後只要不犯錯誤，便可取勝．file:///C|/DocumentsandSettings/Administrator/桌面/小學1-6年級奧數書/小學生6年級數學奧數/11218_SR.HTM[2010-07-048:24:20]
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