一年級華羅庚學校數學課本下冊第九講： 分組與組式

第九講分組與組式課本上的算題，多數是已經列好算式要求計算出結果。但在這一講里，往往是知道結果或要達到的目標，請你回答如何才能得出這種結果或達到目標值。為此就要求同學們在掌握好以前所學數學知識的基礎上，還要進一步做到：仔細地觀察，發現題中給出的一些數中存在的規律，並且大膽地進行嘗試，培養思維的靈活性和敏捷性。例1如下圖所示把1、2、3、4、5、6、7、8、9九個數字分成兩部分，再組成兩個數，填入下面的兩個方框里，使兩個數的和等於99999解：把九個數字分成兩部分，組成兩個數，要求相加之和由五個9組成，可見一個數應是五位數，且9應在最高位，另一個是四位數。把除9之外的其餘八個數字分成四對，每對的和是9，它們應是1和8，2和7，3和6，4和5。它們可以組成以下算式，如：可見分組方法是多種多樣的。例2給你1、2、3、4、16、17、18、19這八個數，要求：①把它們分成四組，使每組的兩個數相加之和相等。②再用這八個數組成如下的兩個算式。□+□-□=□□+□-□=□①解：仔細觀察可發現：在這八個數中，前四個都是一位數，且後一個數比前一個數大1；後四個都是兩位數，也是後一個數比前一個數大1。因此把它們互相搭配後，可使每組的兩數之和相等。分組如下：（1，19）；（2，18）；（3，17）；（4，16）。可以看出，每組的兩數之和都等於20。②解：如下圖所示，由於1+19=2+18，3+17=4+16因此可以組成符合題目要求的算式如下：注意：符合題目要求的算式不只這些，同學們自己還可以再寫出一些。例3在1、2、3、4、5、6、7之間放幾個「+」號，使它們的和等於100，試試看。1234567=100解：對這類題目一是要大膽嘗試，邊想邊寫，千萬不要只想不寫！二是可以先考慮與目標值（此題是100）較接近的大數，再考慮用較小的數進行調整、修正，使式子的得數逐漸接近目標值，也就是使之轉化為較簡單的情況。（1）對此題可考慮先在67前面放一個「+」號，這樣比100還小33，也就是說，轉化成了較簡單的情況：12345=33再考慮在23前放個「+」號，它比33還小10，這樣問題又轉化為：145=10這就很容易看出來了：1+4+5=10所以最後可以確定組成的算式是：1+23+4+5+67=100（2）此題還可以有另外的解法，邊看邊想可得出：34+56=90剩下的三個數：1+2+7=10所以最後可以組成如下的算式：1+2+34+56+7=100。例4某公園裡有三棵樹，它們的樹齡分別由1、2、3、4、5、6這六個數字中的不同的兩個數字組成，而且其中一棵的樹齡正好是其他兩棵樹齡和的一半，你知道這三棵樹各是多少歲嗎？解：這道題的實質就是：把1、2、3、4、5、6六個數分成三組，每組兩個數，組成二位數，使其中的兩個二位數之和等於第三個二位數的2倍。順便說一下，把生活中的趣味問題轉化成為純數學型的題目是一種重要的本領，同學們要從小就注意增強這種能力，以便將來能夠運用數學知識解決實際工作中遇到的難題。仔細觀察、大膽嘗試，將這六個數分組、組合，可得出的三個數是：12，34，56，因為12+56=34×2即這三棵樹的樹齡是12歲、34歲、56歲。這道題有幾種不同的答案，請你動動腦筋找出另外的答案。習題九1．用10、11、12、13這四個數編兩道加減順序不同的混合算式，要求算式符合下面的形式。□+□-□=□□-□+□=□2．用2、3、4、5、6、7、8、9這八個數，每個數只准用一次，編兩道加減混合算式，要求算式符合下面的形式。□+□-□=□□-□+□=□3．公園裡有三棵樹，它們的樹齡分別由1、2、3、4、5、6這六個數字中的不同的兩個數字組成，而其中一棵的樹齡正好是其他兩棵樹齡和的一半，你知道這三棵樹各是多少歲嗎？4．某公園裡有三棵古樹，它們的樹齡分別由1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數字中的不同的三個數字所組成，而且其中一棵的樹齡正好是其他兩棵樹齡和的一半，你知道這三棵樹各是多少歲嗎？5．見圖。有一天，電鐘從牆上掉下來，鐘面摔成了三塊。小明一看，三塊的形狀雖然不同，但三塊上的數相加之和卻相等。你知道鐘面碎成了什麼樣子嗎？每塊鐘面上的數相加之和是多少？6．在1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數字中，不改變它們的順序，在它們中間添上加、減兩種符號，使所得的結果等於100。你能組成下面這樣的算式嗎？123456789=1007．用1、2、3、4、5、6、7這七個數字組成五個數，使組成的兩個兩位數與三個一位數相加之和正好等於100，你能夠辦得到嗎？8．把0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個數字分別填到下面方框里，每個數只准用一次，使下面的三個算式都成立。□+□=□□-□=□□×□=□□9．在1至9的九個數字中，已填入方框的三個數字除外，選擇適當的數字填入方框中，使下面的等式成立。10．見下圖。把1、2、3、4、5、6這六個數字分成三組。第一組一個數字，作為一位數當乘數；第二組二個數字，組成一個二位數當被乘數；第三組三個數字，組成一個三位數當作積。最後用這三個數寫成下列乘法算式。□□×□=□□□習題九解答1．解：在10、11、12、13四個數中，相鄰的兩個數，後邊的數比前邊的數大1，所以可以寫成一個等式：10+13=11+12對這個等式進行變換，可以得到符合題目要求的兩個等式：2．解：根據這八個數之間的相互關係，首先可以寫出兩個等式：2+5=3+46+9=7+8再根據運算規律，對這兩個等式進行變換，就可以得到符合要求的兩個算式：還可以變換出其他形式的算式，同學們還可以試著寫出一些。3．解：此題與例4相同，除在例4中求出的一個答案外還有以下各種答案也符合題意：21+65=43×2三棵樹的樹齡分別是21歲、43歲、65歲。16+52=34×2三棵樹的樹齡分別是16歲、34歲、52歲。25+61=43×2三棵樹的樹齡分別是25歲、43歲、61歲。4．解：此題與例4類似。可以這樣考慮：用1、2、3組成最小的三位數，用7、8、9組成較大的三位數，將兩個數相加得數取其半就是中間數：123+789=912912÷2=456所以三棵古樹的樹齡分別是123歲、456歲、789歲。5．解：鐘面上的12個數是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。不難看出這些數有個特點：最小的1和最大的12相加得13，次小的2和次大的11相加得13……中間的6和7相加得13，即可見，三塊鐘面上的數若按下面的方式組合，它們的和將會相等：（1，2，11，12），（3，4，9，10），（5，6，7，8）。每塊鐘面上的數之和是：1+2+11+12=3+4+9+10=5+6+7+8=26。6．解：為了減少嘗試的次數，可以先考慮接近100的較大的數，用加上或減去較小的數進行逐步調正，最後得到目標值100。經嘗試知可組成以下算式：①123+45-67+8-9=100可以這樣想123-100=23，所以要想辦法再減去23。加45減67等於減去22；再加8減9等於減1，恰好滿足要求。②123-45-67+89=100可以這樣想：從123中減去45和67後得11，然後和89相加，得數正好是100。③123+4-5+67-89=100這個算式與①的解法思路相似。123比100大23，要減去它才能達到目標值100。加4減5等於減1，加67減89等於減22，結果正好滿足要求。以下還有：④123-4-5-6-7+8-9=100⑤12+3+4+5-6-7+89=100⑥12-3-4+5-6+7+89=100⑦1+2+3-4+5+6+78+9=100⑧1+2+34-5+67-8+9=100⑨12+3-4+5+67+8+9=100⑩1+23-4+56+7+8+9=1007．解：在1至7這七個數里，能使五個數的和的個位數是0的有以下三組：1、2、4、6、7；1、3、4、5、7；2、3、4、5、6把這三組數分別作為算式中的個位數字，每組中剩下的兩個數就可以作為十位數字，因而所組成的三個得數均勻100的豎式如下圖8．解：題目要求用0到9這十個數字組成一道加法算式、一道減法算式，一道乘法算式，而且乘法算式里的積是兩位數，其餘算式中的各個數都是一位數。由於乘法算式受限制最強，所以抓住它入手分析。□×□=□□又因為「0」是較特殊的數，按題目要求每個數只許用一次，這就定了「0」只能在乘法算式的乘積的個位數的方框中出現。這是因為0加減任何數都得原來的數；0與任何數相乘都得0，都會破壞每個數字只使用一次的要求，個位數是0的乘法算式有2×5=10，4×5=20，6×5=30，8×5=40。究竟選用哪個乘法算式呢？就要看剩下的數能不能組成加法算式和減法算式。經試驗可知選4×5=20後剩下的是1、3、6、7、8、9六個數，用它們可組成1+7=8，3+6=9兩個等式。經變換可得符合題目要求的一組算式（同學們還可以變換出其他形式的答案）。9．解：先根據只有9×6=54和8×7=56再用把剩下的數字進行檢驗，可得出兩種符合要求的答案：10．解：經多次嘗試，可得出符合題目要求的答案如下．
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