天公鬥巧乃如是——開普勒怎樣為天空「立法」（下）

06-06

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天公鬥巧乃如是——開普勒怎樣為天空「立法」（上）

兩位巨匠攜手

1588年，丹麥國王腓德烈二世駕崩，樞密院選出4位攝政大臣掌握國家大權，輔佐登基的幼君。攝政大臣中有第谷的好友，第谷依然能每年領取優厚的津貼，汶島的天文工作依然照樣進行。1597年，攝政時期結束，成年後的新君獨掌大權，他立即大大削減每年給第谷的津貼，以至汶島的天文工作到了難以為繼的地步。第谷對此滿腹憤恨，他遣散助手，結束了汶島持續21年之久的天文觀測，離開汶島遠走他鄉。

當時，在布拉格的波希米亞兼匈牙利的國王魯道夫二世對第谷出色的天文工作早有耳聞。1599年6月，魯道夫二世聘用第谷為皇家數學家，給予高薪，並將布拉格郊外的貝納特基城堡賜給他。正在此際，德國青年天文學家開普勒於1600年2月3日前來拜訪他。第谷還記得開普勒寄贈的書《宇宙的神秘》，對開普勒的理論思維能力留下了深刻印象，因此熱情地接待了開普勒。

▲ 第谷與開普勒進行了幾次深談，其中特別討論了如何根據行星觀測資料來論證第谷宇宙體系的問題。

第谷與開普勒進行了幾次深談，其中特別討論了如何根據行星觀測資料來論證第谷宇宙體系的問題。第谷對此一籌莫展，但開普勒則提出了探討這一問題的幾種設想和某些數學技巧，第谷聽了有豁然開朗之感。於是第谷決定讓開普勒先研究火星運動理論，在開普勒立下不向他人泄露的字據之後，第谷把火星觀測資料交給了他，開普勒便開始了對火星運動的研究。

開普勒在第谷處工作4個月後，於1600年初夏返回奧地利格拉茨的家中。當時格拉茨的統治者採取嚴厲措施迫害新教徒，他的一家人也遭受很大的壓力。他不得不在1600年10月19日攜全家投奔第谷。開普勒向第谷提出這樣的條件：他為第谷進行天文計算和理論研究，而第谷則供養他全家的生活，第谷寬厚地答應了。從此天文學史上的兩位巨匠正式攜手合作。

▲第谷和開普勒的雕像

可是，在此後的日子裡兩位天文學家之間的關係並不十分和諧。第谷出身貴族、聲名顯赫、生活奢侈、性格粗暴，開普勒出身貧寒、鮮為人知、生活儉樸、性格溫順，可以說兩人在各方面都截然不同。雖然第谷要求開普勒做理論研究，但只向他提供與研究火星運動有關的部分觀測資料，其他更多的觀測資料開普勒卻無從獲得。開普勒渴望探索行星運動的一些規律性問題，感到迫切需要第谷的豐富而精確的天文觀測資料。面對如此局面，開普勒只能慢慢等待。儘管這樣，兩人始終沒有因發生爭執而分手。開普勒說：「上帝用不可改變的命運把我和第谷聯繫在一起，即使我們發生了嚴重的爭執也不許我們分手。」

1601年秋，第谷參加一位貴族的晚宴後突然發病，不幸於這年10月24日去世。臨終前把開普勒叫到床前，把自己長期積累的行星運動資料全都交給開普勒，囑咐他一定要尊重觀測事實，同時要求他運用自己的宇宙體系來進行行星運動的理論研究。還對開普勒說，為了感謝魯道夫皇帝的知遇之恩，自己本打算編一部以「魯道夫」命名的高精度星表，但現在只能託付給他了。開普勒一一含淚答應。

後來開普勒創造性地完成了這一囑託。第谷與開普勒兩位巨匠的合作是天文學史上的重大事件，是天文實測工作與理論思維相結合取得巨大成就的典範。

首戰面積定律

第谷去世後數日，魯道夫二世任命開普勒接任第谷為皇家數學家。開普勒深知第谷觀測資料的重大科學價值，他獲得第谷的這些資料後，開始繼續研究火星的運動。然而不久，第谷的女婿暨遺產繼承人騰納格爾要求開普勒將這些資料歸還給他，或者花重金購買。由於第谷沒有立下字據，開普勒無法證明他的合法所有權，不得不把這些資料全部還給騰納格爾。而後者卻將這些資料束之高閣。此後幾年中，開普勒被迫停止了對行星運動的探討。在做了其他方面的一些研究之後，他決定再次轉入對火星運動的研究，為此必須使用第谷的觀測資料，便與騰納格爾談判。結果達成了如下協議：開普勒可以借用第谷的天文觀測資料，但與此項工作有關的研究成果必須得到騰納格爾同意後才能出版。

▲ 由火星觀測資料定出地球的軌道

▲開普勒第二定律，也稱面積定律：在相等時間內，太陽和運動著的行星的連線所掃過的面積都是相等的。這一定律實際揭示了行星繞太陽公轉的角動量守恆。

在第谷生前，開普勒曾對他說將在一星期之內解決火星的問題。事實上，他「與火星的戰鬥」持續了多年。開普勒重新得到了第谷的資料，立即全力以赴研究火星的運動。起初，他按照第谷的囑咐，使用第谷宇宙體系為基本框架來探討這個問題，但毫無所獲。於是他轉而改用哥白尼日心體系為基本框架來展開研究，即根據第谷測量的火星在天空的位置，求出火星環繞太陽的軌道。由於觀測時地球也在運動，那麼為了求得火星的軌道，必須先確定地球的運動軌道。為此他設想了一個很巧妙的辦法，簡述如下。根據自古希臘以來一直傳承的觀念，所有行星的軌道都是圓周。他先假定地球和火星的軌道都是圓周，但太陽不在圓周的中心，即軌道都是偏心圓。然後選擇從火星沖日出發，在各個相繼的火星年（686.930天），即火星環繞太陽一周回到其軌道上原來位置時，來確定地球的位置。火星沖日每2年又50天便會發生一次，在第谷的觀測資料中，不乏其記錄。如上圖所示，由於火星的軌道面與黃道面十分接近，可以把火星M、地球E1和太陽S看成在同一平面上。設在某一瞬時適逢火星沖日，也就是M、E?和S三點在一直線上，這時從地球E?看火星M，它的星空位置為A 。一個火星年以後，火星重新回到M點，地球來到E?點。在三角形E?SM中，∠SE?M是經過一個火星年後從地球看太陽和火星間的張角，它可以由第谷留下的觀測資料定出。下一步要求∠E?SM。作直線E?A′平行於E?A，於是∠E?SM=180°－∠SE?A′，實際上A′與A在星空上是同一點，所以∠SE?A′乃是經過一個火星年後從地球看太陽和看星空位置A之間的張角，它也可以由第谷的觀測資料定出，這樣∠E?SM也就求出。於是，若以基線SM為長度單位，從三角形E?SM（已知三角形的兩角和一條對邊解三角形）便可求得SE?(SM的倍數)。2個火星年後，地球到了E?處；3個火星年後，地球到了E處……用上述類似的方法同樣可求出SE? ，SE?……於是他定出了地球的偏心圓軌道。

地球的軌道確定後，開普勒又進一步考慮地球在軌道上的運動速度有何變化。他排除了哥白尼因襲的行星只能做勻速圓周運動或這種運動組合的老框框，摒棄了哥白尼在定量計算地球和行星位置時不得不採用的均輪、本輪甚至本輪上的本輪，而直接採用地球和行星在環繞太陽的軌道上做非勻速運動。那麼，這種非勻速運動又遵循怎樣的規律呢？他根據第谷留下的大量觀測資料反覆進行湊算，結果得到，地球在離太陽較近時，軌道運動的速度較快，而在離太陽較遠時，軌道運動速度較慢。並進而得出如下的定量結論：在相同的時間裡，太陽到地球的連線掃過的面積相等。這一結論後來加以推廣便是行星運動第二定律，亦稱開普勒第二定律或面積定律。

開普勒十分幸運，地球的軌道確實與圓差別很小，因此他的假定與實際情況相當接近，從而使他首戰告捷。

再攻橢圓定律

開普勒在確定地球軌道、獲得面積定律以後，要進一步研究火星運動。但是，當他用第谷的10個觀測數據來模擬一個火星的偏心圓軌道，然後應用面積定律，加進第谷其他的觀測值來檢驗時，便發現出現了8′的誤差。開普勒堅信第谷的觀測資料不可能存在這樣大的誤差，他也認為剛剛取得的面積定律沒有錯。看來問題出在火星軌道偏心圓上。經過種種曲折，最後他試用某種偏心率的橢圓軌道，發現理論推算與觀測資料密切相符。於是開普勒做出結論：火星在橢圓軌道上繞太陽運動，太陽位於其中的一個焦點上。他進一步推論說，實際上所有的行星，包括地球，都在橢圓軌道上繞太陽公轉，所謂地球的偏心圓軌道實際上只是地球繞太陽的橢圓軌道偏心率很小，與圓十分接近。於是，這一結論的推廣便是行星運動第一定律，亦稱開普勒第一定律或橢圓定律。

▲ 開普勒第一定律：所有太陽系中的行星圍繞太陽運動的軌道都是橢圓。

他當時十分高興，當即繪了一幅慶勝利圖。1609年，開普勒出版了《新天文學》一書，公布了行星運動的第一定律和第二定律。由於該書運用了第谷的觀測資料，按照他與騰納格爾原先的約定，他必須徵得後者的同意。經過與後者的再次談判，兩人商定此書要出版必須由後者寫前言。在前言中，騰納格爾說，開普勒的理論是背離第谷體系的，是混亂和隨心所欲的，讀者切勿被他的冒失所迷惑……開普勒認為，此書的價值自有歷史來做出判斷，對這篇前言毫不介意，照用不誤。不過，這本書的寫法與其他學者通常採用的方法截然不同。他不是直截了當寫出研究結果，而是引導讀者追溯他的研究歷程，與他一起共同經歷失敗、磨難和成功。他列出了900頁計算，並在中間插入一段話告誡讀者：「如果這套繁雜的方法使您充滿了厭煩，那麼您自然更會對我充滿憐憫，因為我在這上面至少花費了70倍的時間……」書中還摻雜了不少帶有占星思想和神秘主義色彩的臆說。因此，人們閱讀該書只有通過披沙瀝金，才能弄清他所做出的重要發現。

▲ 開普勒的慶勝利圖。圖中虛線是火星的橢圓軌道，實線是輔助圓，幾個三角形用於證明面積定律對橢圓軌道也嚴格成立。圖的右上方是開普勒剛發現行星運動第一定律時欣喜地畫下的天文女神像。

值得玩味的是，不能想當然地以為第一定律發現在前。其實，第一定律和第二定律的排序並不是按照發現的先後，而是按照定律內在的邏輯關係。顯然，只有先確定了行星的軌道如何，才能描述它在軌道上怎樣運動。如果不諳熟這段歷史，是很容易產生誤解的。

力克調和定律

開普勒一直懷有宇宙是一個和諧整體的強烈信念。開普勒發現了行星運動第一和第二定律，但這兩個定律只是孤立地對各個行星的軌道進行探討，還沒有涉及各行星的軌道彼此間的關係問題，而他認為這種關係是肯定存在的。雖然他早年在《宇宙的神秘》一書中曾提出各個行星所在的天球之間的距離由不同的正多面體的外接球、內切球半徑的比例所決定，但後來他已不滿足於這樣的構想了。因為這種構想似乎更適合於一個靜態的宇宙，對於一個不斷運動著的宇宙，各顆行星在軌道上的運動速度，是否會與它們離太陽的距離之間存在著某種關係呢？這是一個更困難也更費時間的研究課題，他迫切需要研究經費。1609～1610年間，開普勒給魯道夫二世國王寫了一封文筆詼諧的信，大意是說，此番與戰神（指火星）惡鬥，賴皇上之功德，使醜虜俯首就擒。然戰神種族繁衍天界，父木星而祖土星，姐金星而弟水星，不堪離散之苦，常思為戰神雪恥。若吾皇能撥十萬軍餉，重擂戰鼓，則何愁不把群醜一鼓蕩平。但是這個時候，國王統治的境內天主教與新教的宗教衝突四起，戰爭不斷，國庫空虛，他正自顧不暇，哪裡還能夠給他提供研究經費，因此這封信如石沉大海。開普勒任皇家數學家的工薪往往在幾個月中偶爾拿到一次，其他月份拖欠著分文不付。為維持一家人的生計，他不得不編纂星占曆書和為他人占星算命，聊補無米之炊。後來他不得不離開布拉格，來到林茨的一所學校執教。開普勒在林茨的生活稍稍穩定後，又開始了對行星運動的研究。應用哥白尼的行星離太陽的距離數據和第谷的觀測資料，經過很多年不斷試算，其間遭遇無數次失敗，他終於在1619年獲得以下定律：各顆行星繞太陽公轉周期的平方與它們到太陽平均距離的立方成正比。這一定律稱行星運動第三定律，也稱開普勒第三定律或調和定律。他在1619年出版的《天體的和諧》一書中正式公布了這條定律。在該書中，開普勒興奮地寫道：「大功告成，書已經寫出來了，無論是現在有人讀它，還是將來才有人讀，都沒有關係，甚至可能要等待一個世紀才有讀者，正如上帝等了6000年才有信奉者一樣」。可見他對這一發現是多麼欣喜若狂呀！

▲ 開普勒與魯道夫二世國王

1617～1621年，開普勒分三卷出版了《哥白尼天文學概要》，這套書的主要內容並不是系統介紹哥白尼的天文學，而是建立在哥白尼日心說基礎上的他的天文理論，即融入了開普勒三定律的新日心地動說。他僅僅使用了7個橢圓 (包括地球在內的6顆行星繞太陽公轉以及月球繞地球運轉的軌道全都是橢圓) 就代替了哥白尼理論中的30多個圓，因此開普勒的理論更和諧、更簡潔，精度也更高。

在林茨，開普勒的最後一項重要工作是《魯道夫星表》的編纂和出版，他的行星運動三定律和所撰寫的《哥白尼天文學概要》為該星表的編製奠定了理論基礎。1621～1624年他基本完成該星表的編纂，因未籌到印刷費用耽誤了多年，直至1627年才最終出版，內含行星表、太陽表和1000多顆恆星的星表。《魯道夫星表》的精度極高，它的誤差只有10′左右。在此後150年中都被當作標準星表使用。

▲ 開普勒建立的新日心地動說，他僅僅使用了7個橢圓就代替了哥白尼理論中的30多個圓。

開普勒的一生顛沛流離。雖然在貧困陰影的籠罩下，他始終殫精竭慮、敢於創新、不畏艱辛地從事天文學研究，終於成為發展哥白尼日心說的關鍵性人物，成為世人公認的「天空立法者」。他的功績在天文學史乃至整個科學史上都足以彪炳千秋。