旋轉中的比值，常規思路你為何想不到？

來自專欄愛數學做數學

前言：本次試題為陶發武、方衛老師原創，向兩位創造者表示敬意！

題目

如圖1，已知，矩形ABCD與矩形OEFG全等，O為矩形ABCD對角線交點.當OE與OD重合時，邊OG與邊AB交於點H.

(1)若點H與點A也重合時，求AD：DC的值.

(2)若S矩形ABCD=3S四邊形ODAH，求AD:DC的值.

(3)如圖2，矩形保持（2）中的形狀不變，當矩形OEFG繞點O逆時針旋轉45°時，OE交AD於M.求四邊形OMAH與矩形ABCD的面積之比.

解析：

(1)點H與點A重合，觀察∠DOH，它便與∠DOA重合，意味著∠DOA=∠DOH=90°，當一個矩形對角線互相垂直時，它就變成了正方形.比值第一關完美通過！

(2)四邊形ODAH可看成是△BAD減掉△BOH之後得到的，其中四邊形ODAH是矩形ABCD面積的三分之一，而△BAD是矩形ABCD面積的二分之一，於是我們可以得到△BOH面積是矩形ABCD面積的六分之一，即△BOH面積是△AOB面積的三分之二，則左側的△AOH面積等於△BOH的一半，且它們等高，因此底AH為BH的一半，同時圖中△BOH與△BAD是相似三角形，於是我們將△BOH與△BAD的面積關係找出來，為1：3.同時因為△BOH∽△BAD，知道它們的相似比為1：√3，面對如此眾多的數量關係，理清它們的最佳方式就是設其中一條邊為x，然後用含x的代數式表示出其餘所有需要的邊。不妨設AH=x，於是BH=2x，由相似比可得BD=2√3x，O為BD中點，故OB=√3x，特殊直角三角形出現了，它就是Rt△BOH，∠OBH=30°，於是開始勢如破竹，AD=√3x，DC=AB=3x，比值為1：√3

(3)在前一問的條件下，又增加了旋轉角45°，我們的突破口就從這個新增加的條件開始，45°最容易令人聯想到的圖形是等腰直角三角形，同時由於∠DOM=45°，∠MOH=90°，則∠BOH=45°，過點M、H分別向BD作垂線，所構成的圖形恰好是「一線三直角」

我們採用類似上一問的設置未知數的辦法來尋求邊長之間的數量關係，設DN=y，則MN=√3y，ON=√3y，OD=(1+√3)y，於是OB=(1+√3)y，而OB被點K所分成的兩部分恰好也為1：√3，於是OK=y，BK=√3y，我們只需要分別求出△DOM和△BOH的面積，它們的底分別是OD、OB，高分別為MN、KH，再用△ABD面積相減即可得到四邊形OMAH的面積，至此基本障礙已經清除，剩下任務就輕鬆了，解答過程如下：

反思：

在解決第2問時，面積法的使用上，也可以將其中某個圖形的面積作為單位面積，然後將其餘圖形面積用它表示，關鍵是得到那一對等高三角形和一對相似三角形，數量關係便由它們開始。

在思考第3問時，面對前面已經得到的30°角，又新增了45°角，所以優先應考慮構造等腰直角三角形和含30°角的直角三角形，同時腦海中一定要存留常規思路中的基本圖形，即一線三直角，當我們作完垂線後，基本圖形便顯現出來。