思維決定客觀實在嗎？

06-05

思維決定客觀實在嗎？

周末與家人偶爾探討起一道電視節目遊戲題，感覺能引發更深層次的思考：人的思維能影響客觀實體嗎？聽上去有點唯心的意思。?

電視節目是這樣的：?

已知三扇門後面分別有兩輛自行車和一輛汽車，如果嘉賓能猜中哪扇門後面是汽車，那汽車就歸嘉賓所有了。嘉賓先選定一扇門（不打開）。這時主持人打開嘉賓未選擇的兩扇門中的一扇（主持人知道哪扇門後面有汽車），打開並露出門後的自行車。現在嘉賓可以選擇換門或不換，換能否使得到汽車的機會變大？?

這道題給人的直覺是，主持人打開門後，剩下兩扇門有汽車的概率是一樣的，都是五五開，所以換與不換門無關緊要，換門並不會提高中大獎的概率。?從家人在朋友圈發布題目後廣大朋友的回答來看，絕大多數人持有這樣的觀點。即使在最後公布所謂正確答案後，很多人還覺得難以置信。?

這是一道典型的三門問題，或者叫蒙提霍爾問題、蒙提霍爾悖論。蒙提霍爾是美國那個電視節目的主持人，所以以他的名字命名。?

仔細分析，這道題的概率問題和直覺是有差異的。這道題有許多解法，正規的有貝葉斯概率方法等等，比較繞。個人覺得下面的思路簡單易想：?

開始，由於信息缺失，嘉賓任選一門，選中汽車的概率為1/3，未選中的概率為2/3。此後，主持人故意打開一扇沒有汽車的門，如果嘉賓不換門，也就是說主持人開門這個動作對嘉賓沒有影響，則從整個事件中看，嘉賓選中汽車的概率沒有變，仍是最初的選擇，1/3。?

如果嘉賓選擇換門，因為主持人總會打開一扇沒有汽車的門，則意味著，如果嘉賓開始時沒有選中汽車（2/3概率），則經過換門，一定會換到有汽車的門上；若嘉賓開始時選中了汽車（1/3概率），則經過換門，一定會換到沒有汽車的門上。則經過換門操作，使得原先沒選中汽車的操作變成了選中汽車，反之亦然。則綜合看來，相當於能選中汽車的概率變為2/3。換門操作使得原先1/3的概率提升到了2/3，提升了1倍。

我為此還編了個小程序，用選擇上千上萬次的方式驗證了上述結果。?

初看此題違反直覺，細想道理蘊含其中：通過換門操作，嘉賓將主持人知道汽車位置的這一信息考慮了進來。由於信息量的增加，使得嘉賓選中汽車的概率大增。?

問題還沒有完。如果不是三門問題，是四門、五門、n門問題，答案又是什麼呢？?

同樣可以借鑒前面的思路：開始時嘉賓選中汽車的概率為1/n，選不中的概率為（n-1）/n。當主持人打開一扇非汽車門後，如果嘉賓不換門，選中汽車的概率仍是1/n。如果嘉賓在剩下的門中再隨機選一扇，則此時能選中汽車事件發生的前提是第一次未選中，此次選中的概率為1/（n-2），即綜合概率為P=[(n-1)/n]*[1/(n-2)]=(n-1)/[n*(n-2)]。驗證，當n=3時，?P=2/3；當n=4時，P=3/8；當n=5時，P=4/15。無論n是多少，換門總比不換要好，因為?不換門選中的概率總是1/n，換門後的概率總是不換門的(n-1)/(n-2)倍，這總是個大於1的數。但隨著n的增大，這個概率增加效益越來越小。當n趨向於無窮時，換門後選中的概率也趨向於1/n，與不換門一致。

說到這裡，思考仍沒有停止。上述換門之後增加選中概率的關鍵在於主持人知道汽車的位置，通過主持人開門和嘉賓換門的操作將這個信息注入到選擇過程中，使得選中概率增加。如果主持人也不知道汽車的確切位置，結果又會怎樣？

採用不換門策略：嘉賓初始選擇，選中汽車的概率仍為1/3。後續無論主持人開哪扇門，都不會改變之前嘉賓已經選好的結果，最終選中的概率就是1/3。

採用換門策略：若嘉賓最後通過換門而選中汽車，那麼最初一定是未選中汽車，此事件概率2/3。在不知道嘉賓選中未選中汽車的情況下，由主持人來選擇，他也是隨機的。理論上，他選中汽車的概率也是1/3。若主持人選中，則表明嘉賓失敗，嘉賓不存在後續換與不換門的選擇機會了。因此，若要使嘉賓最終能選中汽車，一定要排除掉主持人選中汽車的事件。前面說了這一事件的概率是1/3，因此，嘉賓換門後能選中汽車的概率是(2/3)*(1/2)/(1-1/3)=1/2。概率由原先的1/3變為1/2。這裡概率的增加，是由於主持人先選擇，用一個既定事實排除了一些可能性，使得嘉賓選中的概率增加。這個結果和本文開始時大家的認知是一致的。也就是說，大家之所以認為換與不換無關緊要，是忽略了主持人是否知道汽車位置這一事實。只有在主持人也不知道位置的前提下，換與不換門才無所謂。如果換門，概率可能與原先保持一樣，也可能提升，反正不會有害。?

同樣，若是n門問題，在主持人也不知情的情況下，嘉賓若最終能選中汽車，一定要排除掉主持人選中汽車的事件概率1/n。嘉賓換門後能選中汽車的概率是P=[(n-1)/n]*[1/(n-1)]/(1-1/n)=1/(n-1)，與不換門相同。

現在思考一下嘉賓的思維過程，如果嘉賓在選擇之後，當主持人詢問他是否更換主意時，他不知道主持人是否事先知道汽車的位置，那麼若選擇更改，則更改後的中獎概率取決於主持人。而嘉賓是不知道主持人的思想的。也就是說，主持人的思想，而不是外在動作，影響了嘉賓同樣操作的中獎概率。在嘉賓看來，這個主持人冥冥之中的思維，影響了獲獎概率這個客觀實在。這好像從某個角度體現出人的思維對客觀實在的影響。

由此更容易讓人聯想到貝爾不等式。?

?貝爾不等式是存在完備局域隱變數理論的不等式。當年貝爾提出此式是為了說明量子理論如果符合上式就說明是完備局域隱變數理論，也就是說還有更底層的精確理論參數我們未知。但近幾十年的試驗顯示，量子力學確實不符合貝爾不等式，因此也說明了量子理論不是局域隱變數的，與傳統宏觀「測得准」的邏輯背道而馳。回過頭來說三門問題，這是宏觀問題，應該符合貝爾不等式。

我們將嘉賓的兩次選擇作為兩個糾纏在一起的客體，設有汽車為+，無汽車為-。則

序號選擇一門1x 選擇一門2y 選擇一門3z 選擇二門1x 選擇二門2y 選擇二門3z 概率

1 + - - + - - N1

2 - + - - + - N2

3 - - + - - + N3

Pxy的意義是第一次選擇1號門結果和第二次選擇2號門結果的協作性，一致的為正，不一致的為負，那麼Pxy=-N1-N2+N3。

同理，Pxz=-N1+N2-N3，Pzy=N1-N2-N3。

|Pxz-Pzy|=|-2N1+2N2|=2|-N1+N2|<=2|-N1+N2+N3|=2N3（等概率事件）。

因為所有出現的概率和為1，既N1+N2+N3=1

帶入上式可得

|Pxz-Pzy|<=N3+(1-N1-N2)

|Pxz-Pzy|<=1+Pxy。

因此，電視遊戲這個例子是符合貝爾不等式的。反過來想，這道電視遊戲題，裡面也蘊含著牽扯到局域隱變數理論判別式的貝爾不等式，反映出量子通信、量子糾纏基本原理的另外一面。