11.5（1） 變限積分與原函數的存在性

來自專欄數學分析教學筆記

本文我們開始學習華東師大第四版《數學分析》第11章第5節：微積分學基本定理 定積分計算（續）。

這是第一部分。 設 上可積。

變上限的積分 .

注意 第一，積分上限與積分變數不要混淆；

第二，積分過程完成後積分變數消失，留下了積分限，故稱「積分上限函數」。

定理9.9 在 上連續。

證明

這裡由可積性，則存在

定理9.10（原函數存在定理） 若 在 上連續，則

證明 由導數的定義式可得結論，留給讀者。

注意 定理9.10不僅告訴我們連續函數存在原函數，而且以變限積分給出了一個原函數。

設 在 連續， 是它的一個原函數.

由原函數之間的關係，只需注意到 則

於是我們再次推出了牛頓-萊布尼茨公式。

下面是本文的難點，積分第二中值定理。

定理9.11（積分第二中值定理）設函數 在 上可積。則若函數 在 上單調遞減，且 ，則存在 ，使得

證明 我們利用定積分的性質。

首先 單調，從而可積，因此這些式子都是有意義的。根據區間可加性，

又 可積，所以有界，記 所以由可積準則，

現在把注意力集中到 上，這裡其實需要用到阿貝爾變換。

阿貝爾變換 若 則有恆等式

令 則 連續，記其最小值和最大值分別為 ,則

另一邊的不等式完全類似，所以我們有

,

從而

由 的任意性，我們有

最後由介值定理，存在

看起來寫得很長，其實仍要基於可積準則，以及我們處理多個函數乘積的常用技巧，以及重要的阿貝爾變換。

對於初學者而言，這確實是一個有一定難度的定理，大家反覆研讀幾次，力爭掌握。

推論1 若函數 在 上單調增加，且 則存在 ,使得

證明 做相反數代換。令 , 在 上滿足上述定理的條件，所以 ,再做回相反數代換得

推論2 設函數 在 上可積， 為單調函數，則存在 使得

證明 不妨 單調遞減，令 由積分第二中值定理，我們有

移項即得結論。

上面的定理編排沒有完全照搬教材，其實上面三個結論都可以稱之為積分第二中值定理，它在判定反常積分的收斂性時，將幫助我們證明重要的狄利克雷判別法和阿貝爾判別法。