平展上同調——碧海潮生

06-05

平展上同調——碧海潮生

來自專欄數學沉思錄

構造韋依上同調並不容易。我們來看Serre的一個例子：

考慮橢圓曲線 $C$ 的自同態環 $End(C)$ ， $End(C)otimes_{mathbb{Z}} mathbb{Q}$ 在 $2$ 維線性空間 $H^{1}(C)$ 上有一個自然的作用。對於定義在 $mathbb{F}_{p^{2}}$ 上的超奇異橢圓曲線 $C$ ， $End(C) imes mathbb{Q}$ 是 $mathbb{Q}$ 上的可除四元數代數，因而在 $mathbb{R}$ 上和 $mathbb{Q}_{p}$ 上（從而在 $mathbb{Q}$ 上）不存在 $2$ 維表示。也就是說，韋依上同調的係數必須要在 $mathbb{Q}_{ell},ell eq p$ 中尋找.

平展拓撲

回顧概形上的平展拓撲：

設 $X$ 是一個概形. 以 $Et/X$ 記對象為平展態射 $U o X$ ，態射為 $X$ -態射 $U o V$ （一定是平展態射）的範疇；一個平展覆蓋是指一族 $X$ -態射 $(f_{i}:U_{i} o U)_{iin I}$ 滿足 $U=igcup_{iin I}f(U_{i})$ . 這定義了一個Grothendieck拓撲，稱為 $X$ 的（small） etale site，記為 $X_{et}$ .

$ell$ -進上同調論

回到有限域 $mathbb{F}_{q}$ 上的射影簇 $X$ ，一個自然的想法是 $H^{i}(X_{et},mathbb{Q}_{ell})(ell eq p)$ 能否給出韋依上同調——這被證明是一個失敗的嘗試。另一方面，Grothendieck與其合作者成功地構造了所謂的 $ell$ -進上同調論：

設 $X$ 是一個概形. 對每個 $iin mathbb{N}$ ，定義
$H^{i}(X,mathbb{Z}_{ell}):=varprojlim_{n}H^{i}_{et}(X,mathbb{Z}/ell^{n}mathbb{Z})$
以及定義

$H^{i}(X,mathbb{Q}_{ell}):= H^{i}(X,mathbb{Z}_{ell})otimes_{mathbb{Z}_{ell}}mathbb{Q}_{ell}.$
稱之為 $X$ 的 $ell$ -進上同調群.

可以證明這樣一個以 $mathbb{Q}_{ell}$ 為係數的 $ell$ -進上同調 $H^{ast}(X,mathbb{Q}_{ell})$ 是一個韋依上同調. 我們必須指出， $ell$ -進上同調的構造以及韋依上同調的（1）-（8）的驗證絕不是簡單的.

欲知後事如何，請聽下回分解

失學兒童：Motive——Grothendieck的夢想?

zhuanlan.zhihu.com
推薦閱讀：

※1. （Unstable） Homotopy groups
※拓撲學Ⅱ|筆記整理（6）——商空間，閉曲面，代數拓撲起步

TAG:代數 | 群論 | 代數拓撲 |