線性代數複習別有洞天：思而去罔（一）

有同學認為：線性代數不好學，因為它比較抽象，不像高數可以畫圖，藉助直觀的圖形去理解。難道線性代數只能抽象地理解嗎？當然不是。我與這個同學進行了討論，很快就發現了幾個讓這個貌似抽象的傢伙接地氣的方式：二維向量不就是中學咱們常在平面上畫的箭頭嗎？兩個二維向量線性相關，表現在代數上是對應分量成比例，表現在幾何上不就是平面上的向量平行或共線嗎？矩陣是一張數表，C語言中定義的二維數組不就是一個矩陣嗎？我們電腦中用的EXCEL，如果在一塊矩形區域的每個小格都存了數字不就是一個矩陣嗎？多想一步，別有洞天。我們平時的學習是否太拘泥於課本，而忽略了主動地思考，進而失去了融會貫通的機會呢？

學而不思則罔，思而不學則殆。真正的學習應該是學與思的均衡。在這種狀態下學習，不僅能夠做到對知識的透徹理解，而且能體會到學習的樂趣。記得有人說過：真正的學人應該是好奇的、探索的。帶著好奇心，主動去探索，就會有別樣的收穫。

以下僅為跨考教育數學教研室劉瑋宇老師個人的粗淺體會，拋磚引玉，期待與廣大考生交流切磋。

一、內容

1. 二階常係數齊次線性微分方程的解為什麼是這個樣子？

儘管二階常係數齊次和非齊次線性微分方程考綱有明確要求，但我相信仍不少考生沒有思考過這個問題。他們可能覺得微分方程會識別類型，記住解法就行了，沒必要知道為什麼要這樣解。有的老師也給學生建議：「像背單詞一樣把二階常係數齊次和非齊次線性微分方程的解法背下來」。這樣有個問題：很容易忘。如何對抗遺忘？思考！多思考，找到知識之間的聯繫就不容易忘了。如何思考？提問是思考的一個開端。拒絕機械地記憶，能簡單推導的可以推導；不好推導的，可以「理解性地記憶」。比如上面的問題，咱們可以把三種形式的解代入微分方程中算算，對理解，對記憶都有幫助。

2. 考研數學中有不少「推廣」，有多少同學總結過這些嗎：有多少推廣？推廣前後有哪些相同和不同？

（1）一維隨機變數與多維隨機變數

在學習多維隨機變數時，我們可以先回顧一維隨機變數的內容。那麼，關於一維隨機變數我們學習了哪些內容呢？

首先是定義，什麼是隨機變數？隨機變數是定義在樣本空間上的函數（與高數中的函數不同）。它的作用是把隨機試驗的可能結果數量化了，便於用數學工具處理。那麼什麼是二維隨機變數（多維我們主要考慮二維）？就是把兩個定義在同一個樣本空間上的隨機變數放在一起考慮，或者說是定義在樣本空間上的向量值函數。

繼續回憶：如何描述一個隨機變數X？通用的工具是不是分布函數？分布函數F(x)是什麼？它是概率，是隨機變數X落入(負無窮, x]這個區間的概率。那麼推廣過來，我們要描述一個二維隨機變數(X,Y)，也可以用分布函數。一維對應著一元函數F(x)，二維自然對應二元函數F(x, y)；一維分布函數是X落入一個區間的概率，相應地二維分布函數是(X,Y)落入一個區域的概率，與(負無窮, x]這個區間對應，這個區域是(負無窮, x]乘(負無窮, y]。

在討論了分布函數的概念後，我們可以進一步討論分布函數的性質。思考一下，一維隨機變數的分布函數有哪些性質？「單調不減」，「0,1之間」和「右連續」，並且這三條性質合起來是一個函數可以作為某個隨機變數的分布函數的充要條件。那麼推廣一下，不難得到二維隨機變數的分布函數的性質，有需要注意的地方嗎？第一條和第三條性質需要加上「關於x」（或者「關於y」）。「關於」是什麼意思？就是把另一個變數固定，再考慮問題。第二條性質推廣前的部分內容是F(正無窮)=1，F(負無窮)=0，推廣之後變為F(正無窮,正無窮)=1，F(負無窮，y)=0，F(x,負無窮)=0，F(負無窮,負無窮)=0。為什麼會這樣？關鍵在F(x, y)中那個逗號，是「且」的意思。還有一條性質可以結合圖形來理解，考得不多。當然二維隨機變數的分布函數的這幾條性質是否是充要條件？這點考研不要求。

我們知道，描述一維隨機變數，除了分布函數外，還有分布律和概率密度。它們是與離散型和連續型隨機變數對應的。那麼二維隨機變數是否也有離散型和連續型，也有相應的分布律和概率密度？對應推廣過來不就行了？

下面的這些「推廣」，你能否自己總結？

（2）一元函數極限與二重極限

（3）一元函數連續與二元函數連續

（4）一元函數可微與多元函數可微

（5）定積分與二重積分

（6）二重積分與三重積分

3. 學數學同時也學了英語，理解了漢語同時也記住了數學符號。這狀態聽起來不錯，要不要試一下？

(1) 微分的符號為什麼是「d」？為什麼常用「I」表示一個定積分？矩陣轉置的符號為什麼是「T」？

「d」是微分的英文differential的首字母；「I」是積分的英文integral 的首字母；「T」是轉置的英文transpose 的首字母。

(2) 微分方程的類型不少，你能根據名字識別它們嗎？

關於微分方程，我們在基礎階段要掌握的是識別和求解。

對於可分離變數的微分方程，如何識別？關鍵信息就在它的名字中——「可分離變數」。如果所給微分方程的x和y是完全可以分開的，那麼這就屬於此類方程。它的解法也與名字「可分離變數」直接相關——通過恆等變形把x和y的式子移到等式的兩邊，然後兩邊求不定積分即可。

對於齊次微分方程，也可以通過名稱識別：齊次是什麼意思？字面含義是次數相等。「齊次微分方程」的「齊次」指方程的每一項關於x、y次數都相等，如x的平方，x乘y，y的平方均為二次項（注意 「齊次線性方程組」中的「齊次」是指每個方程的每一項關於x的次數相等； 「二階常係數齊次線性微分方程」中的「齊次」指微分方程的每一項關於x的次數相等（都是零次））。那麼如果一個一階微分方程，每一項x、y次數都相等，那麼就屬於此類型。

對於一階線性微分方程，識別的關鍵也在其名字——「一階線性」。「一階」體現在導數的最高階數是一階，「線性」在數學中即一次的意思，如線性函數即為一次函數，體現在微分方程關於y的導數和y是一次的，即不會出現y的導數的平方或y的導數乘以y這種非線性的項。

對於二階常係數非齊次線性微分方程，可以類似按關鍵字「二階」、「常係數」、「非齊次」和「線性」理解。

其實，這部分內容也可以理解成「顧名思義」。如果你也覺得挺有意思，那不妨自己主動去發現。

4. 有時，我們可以用聯想把數學和其它學科聯繫起來，體會某種「異質同構」的樂趣。

（1）求極限的題目中，如果是這種類型的：分子分母均為若干個無窮大的加減，可以用「抓大頭」這種方法。所謂「抓大頭」就是原極限等於從分子分母中分別抓出起決定作用的無窮大再算極限。這種做法是不是用點像「射人先射馬，擒賊先擒王」，或者「首犯必辦，脅從不論」？

（2）還有一種求極限的題目，分子或分母中有一項（非因子）是冪指型函數。有同學直接把這個冪指型函數的極限算出來，再算剩餘部分的極限。想想他犯了什麼錯誤？是犯了刻舟求劍的錯誤，還是形而上學的錯誤？想想這些是不是有點意思？

二、方法

1. 在數學上，我們學習一個新的內容，一般是按照定義、性質和計算來學習。那麼大家複習時，也可以從這三個方面來進行。

比如極限、連續、可導，比如行列式、矩陣、向量等。

2. 我們學習一種方法，可以問自己這兩個問題：何時用？怎麼用？把這兩個問題回答完整了，這種方法也掌握得差不多了。

比如不定積分的分部積分法，何時用？被積函數是兩個不同類型的函數之積或者被積函數含有對數函數，反三角函數這類求導之後比自身簡單的函數。怎麼用? 選擇被積函數的一部分作為u，剩下的部分作為v的導數。那麼什麼樣的函數適合作為u呢？我們觀察分部積分公式會發現，用了公式後是要對u求導數的，那麼u自然要選擇求導後比自己簡單的函數。所以，適合作為u的除了上面提到的兩類函數外，還有多項式。那麼什麼樣的函數作為v的導數呢？再觀察分部積分公式，可以認為要用這個公式，第一步是把v的導數「往微分號d里拿」，即湊微分。所以易湊微分的函數適合作為v的導數，比如正餘弦函數，指數函數等。

再比如帶拉格朗日余項的泰勒公式（帶皮亞諾余項的泰勒公式主要用來算極限），何時用？出現高階導數（大於等於二階）時。怎麼用？選一個函數，選一個點，把函數在該點展開。函數的選擇比較容易，一般題目中就一個函數；點的選擇有點講究，一般是找給出信息比較多的點，最好包含導數信息。

三、其它

套用電影《肖申克的救贖》中的台詞：既然我們已經思考了這麼多，為什麼不再多思考一步呢？

1. 我們需要的是靈丹妙藥嗎？

課程、輔導書和方法能給我們不小的幫助，但真正使我們能力增強的是我們的主動思考和不懈付出。

2. 作為準研究生的我們應當如何？

研究從主動思考開始，思而去罔。

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