第12講 年齡問題

　　年齡問題是一類以「年齡為內容」的數學應用題。

　　年齡問題的主要特點是：二人年齡的差保持不變，它不隨歲月的流逝而改變；二人的年齡隨著歲月的變化，將增或減同一個自然數；二人年齡的倍數關係隨著年齡的增長而發生變化，年齡增大，倍數變小。

　　根據題目的條件，我們常將年齡問題化為「差倍問題」、「和差問題」、「和倍問題」進行求解。

例1 兒子今年10歲，5年前母親的年齡是他的6倍，母親今年多少歲？

分析與解：兒子今年10歲，5年前的年齡為5歲，那麼5年前母親的年齡為5×6＝30（歲），因此母親今年是

　　30＋5=35（歲）。

例2 今年爸爸48歲，兒子20歲，幾年前爸爸的年齡是兒子的5倍？

分析與解：今年爸爸與兒子的年齡差為「48——20」歲，因為二人的年齡差不隨時間的變化而改變，所以當爸爸的年齡為兒子的5倍時，兩人的年齡差還是這個數，這樣就可以用「差倍問題」的解法。當爸爸的年齡是兒子年齡的5倍時，兒子的年齡是

　　（48——20）÷（5——1）＝7（歲）。

　　由20－7＝13（歲），推知13年前爸爸的年齡是兒子年齡的5倍。

例3 兄弟二人的年齡相差5歲，兄3年後的年齡為弟4年前的3倍。問：兄、弟二人今年各多少歲？

分析與解：根據題意，作示意圖如下：

　　由上圖可以看出，兄3年後的年齡比弟4年前的年齡大5＋3＋4＝12（歲），由「差倍問題」解得，弟4年前的年齡為（5＋3＋4）÷（3－1）＝6（歲）。由此得到

　　弟今年6＋4＝10（歲），

　　兄今年10＋5＝15（歲）。

例4 今年兄弟二人年齡之和為55歲，哥哥某一年的歲數與弟弟今年的歲數相同，那一年哥哥的歲數恰好是弟弟歲數的2倍，請問哥哥今年多少歲？

分析與解：在哥哥的歲數是弟弟的歲數2倍的那一年，若把弟弟歲數看成一份，那麼哥哥的歲數比弟弟多一份，哥哥與弟弟的年齡差是1份。又因為那一年哥哥歲數與今年弟弟歲數相等，所以今年弟弟歲數為2份，今年哥哥歲數為2＋1=3（份）（見下頁圖）。

　　由「和倍問題」解得，哥哥今年的歲數為

　　55÷(3+2)×3=33(歲)。

例5 哥哥5年前的年齡與妹妹4年後的年齡相等，哥哥2年後的年齡與妹妹8年後的年齡和為97歲，請問二人今年各多少歲？

分析與解：由「哥哥5年前的年齡與妹妹4年後的年齡相等」可知兄妹二人的年齡差為「4＋5」歲。由「哥哥2年後的年齡與妹妹8年後的年齡和為97歲」，可知兄妹二人今年的年齡和為「97——2——8」歲。由「和差問題」解得，

　　兄[（97——2——8）＋（4＋5）]÷2＝48（歲），

　　妹[（97——2——8）-（4＋5）]÷2=39（歲）。

例6 1994年父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的4倍。2000年，父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的2倍。問：父親出生在哪一年？

分析與解：如果用1段線表示兄弟二人1994年的年齡和，則父親1994年的年齡要用4段線來表示（見下頁圖）。

　　父親在2000年的年齡應是4段線再加6歲，而兄弟二人在2000年的年齡之和是1段線再加2×6＝12（歲），它是父親年齡的一半，也就是2段線再加3歲。由

　　1段＋12歲=2段＋3歲，

　　推知1段是9歲。所以父親1994年的年齡是9×4＝36（歲），他出生於

　　1994——36＝1958（年）。

　　例7今年父親的年齡為兒子的年齡的4倍，20年後父親的年齡為兒子的年齡的2倍。問：父子今年各多少歲？

解法一：假設父親的年齡一直是兒子年齡的4倍，那麼每過一年兒子增加一歲，父親就要增加4歲。這樣，20年後兒子增加20歲，父親就要增加80歲，比兒子多增加了80－20＝60（歲）。

　　事實上，20年後父親的年齡為兒子的年齡的2倍，根據剛才的假設，多增加的60歲，正好相當於20年後兒子年齡的（4——2＝）2倍，因此，今年兒子的年齡為

　　（20×4－20）÷（4－2）－20＝10（歲），

　　父親今年的年齡為10×4＝40（歲）。

解法二：如果用1段線表示兒子今年的年齡，那麼父親今年的年齡要用4段線來表示（見下圖）。

　　20年後，父親的年齡應是4段線再加上20歲，而兒子的年齡應是1段線再加上20歲，是父親年齡的一半，也就是2段線再加上10歲。由

　　1段＋20=2段＋10，

　　求得1段是10歲，即兒子今年10歲，從而父親今年40歲。

例8 今年爺爺78歲，長孫27歲，次孫23歲，三孫16歲。問：幾年後爺爺的年齡等於三個孫子年齡之和？

　　分析：今年三個孫子的年齡和為27＋23＋16=66（歲），爺爺比三個孫子的年齡和多78——66＝12（歲）。每過一年，爺爺增加一歲，而三個孫子的年齡和卻要增加1＋1＋1＝3（歲），比爺爺多增加3－1＝2（歲）。因而只需求出12裡面有幾個2即可。

解：[78－（27＋23＋16）]÷（1＋1＋1－1）＝6（年）。

　　答：6年後爺爺的年齡等於三個孫子年齡的和。