求數列通項公式的常用方法

在高考中數列部分的考查既是重點又是難點，不論是選擇題或填空題中對基礎知識的檢驗，還是壓軸題中與其他章節知識的綜合，抓住數列的通項公式通常是解題的關鍵。

　　求數列通項公式常用以下幾種方法：

　　一、題目已知或通過簡單推理判斷出是等比數列或等差數列，直接用其通項公式。

　　例：在數列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求該數列的通項公式an。

　　解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出數列{an}為a1=1，d=2的等差數列。所以an=2n-1。此類題主要是用等比、等差數列的定義判斷，是較簡單的基礎小題。

　　二、已知數列的前n項和，用公式

　　S1 (n=1)

　　Sn-Sn-1 (n2)

　　例：已知數列{an}的前n項和Sn=n2-9n，第k項滿足5

　　(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6

　　解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8 ∴k=8 選 (B)

　　此類題在解時要注意考慮n=1的情況。

　　三、已知an與Sn的關係時，通常用轉化的方法，先求出Sn與n的關係，再由上面的(二)方法求通項公式。

　　例：已知數列{an}的前n項和Sn滿足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求數列{an}的通項公式。

　　解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，兩邊同除以SnSn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-} 是以-為首項，-1為公差的等差數列，∴-= -，Sn= -，

　　再用(二)的方法：當n2時，an=Sn-Sn-1=-，當n=1時不適合此式，所以，

　　- (n=1)

　　- (n2)

　　四、用累加、累積的方法求通項公式

　　對於題中給出an與an+1、an-1的遞推式子，常用累加、累積的方法求通項公式。

　　例：設數列{an}是首項為1的正項數列，且滿足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求數列{an}的通項公式

　　解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解為[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0

　　又∵{an}是首項為1的正項數列，∴an+1+an ≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,這n-1個式子，將其相乘得：∴ -=-，

　　又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈N*)

　　五、用構造數列方法求通項公式

　　題目中若給出的是遞推關係式，而用累加、累積、迭代等又不易求通項公式時，可以考慮通過變形，構造出含有 an(或Sn)的式子，使其成為等比或等差數列，從而求出an(或Sn)與n的關係，這是近一、二年來的高考熱點，因此既是重點也是難點。

　　例：已知數列{an}中，a1＝2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,……

　　(1)求{an}通項公式 (2)略

　　解：由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--＝ (--1)(an--)

　　∴{an--}是首項為a1--，公比為--1的等比數列。

　　由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--) ，於是an=(--1)n-1(2--)+-

　　又例：在數列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n∈N*)，證明數列{an-n}是等比數列。

　　證明：本題即證an+1-(n+1)=q(an-n) (q為非0常數)

　　由an+1=4an-3n+1，可變形為an+1-(n+1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，

　　所以數列{an-n}是首項為1，公比為4的等比數列。

　　若將此問改為求an的通項公式，則仍可以通過求出{an-n}的通項公式，再轉化到an的通項公式上來。

　　又例：設數列{an}的首項a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通項公式。(2)略

　　解：由an=-，n=2,3,4,……，整理為1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首項為1-a1，公比為--的等比數列，得an=1-(1-a1)(--)n-1