張益唐：又一個陳景潤般的華人解析數論學家

　　2015年8月23日晚，數學家張益唐在清華大學做了《我對數學的理解》的主題演講，本場演講由百人傳媒主辦，現場聽眾雲集，大家紛紛來一睹這位當代著名華人數學家的風采。蝌蚪君也在現場聆聽了張教授的精彩演講。

　　本次講座中最重要的人物是「張益唐」。 最重要的數學概念是「解析數論」。

　　很多人可能對「張益唐」與「解析數論」都還不太了解，蝌蚪君為你略說一二。

張益唐的師承

　　張益唐究竟是何許人？這個問題如果放在3年前來問，估計知道這個名字的人極少，因為他一共只發表過3篇學術論文。張益唐的學術經歷非常坎坷，在成名之前，他只是美國一個普通大學的數學講師，可以說是默默無聞。

　　但張益唐本來就不是等閑之輩。他1978年考入北京大學數學系，師從潘承彪教授攻讀碩士學位。潘承彪教授是著名數論（關於整數的學問，很多問題與素數有關）專家潘承洞的弟弟，他們兩兄弟寫過一本專著叫做《哥德巴赫猜想》（中、英文版）。自從新中國成立以後，華羅庚放棄在美國的優異待遇，發表熱情洋溢的愛國宣言：「良園雖好,卻非久居之地」，毅然回國把中國的解析數論提高到一個國際性的高度以來，以潘家兩兄弟，王元，陳景潤等為代表的中國數學家就在這一艱深的領域進行了富有成果的研究。

　　因此可以說，張益唐的學術背景本來就是「出身名門」。

什麼是解析數論

　　解析數論是在初等數論無法解決很多具體問題的情況下發展起來的，是數論中以分析方法作為研究工具的一個分支。什麼是分析方法呢？加減乘除這種不是分析方法，分析方法就是以概率，極限以及微積分等高等數學為工具的方法。

　　比如，歐幾里德證明素數的個數是無限的，那麼素數在正整數中的出現的概率是多少呢？用解析數論的辦法可以證明：如果有1到n一共n個連續的正整數，那麼素數在這n個數中出現的概率近似是1/log（n）。

　　這種概率的看法並不是精確的，但卻是解析數論研究的基本觀念。

　　在解析數論中，另外要做的事情就是用分析的辦法估計一些求和的大小。

　　比如，所有素數的倒數之和是發散的，也就是說，這個和是無窮大，但具體是怎麼發散到無窮大的，則需要深入的分析。對於所有素數的倒數和，可以證明它的發散方式是以「對數的對數」方式趨向於無窮。

解析數論的特點

　　如果我們有了一個可以表達出所有素數的通項公式，那麼一些解析數論範圍的問題，就自動轉到初等數論的範圍內。可惜的是，我們並沒有素數的通項公式——也就是說我們並不完全掌握素數的在整數里的分布規律到底是什麼，給你一個很大的素數，你無法預測下一個素數是多少——正因為這個基本的困難，現在數學家只能有一些「估計」的辦法來處理數論問題。

　　因此，「估計」也就成了解析數論的特點。

解析數論怎麼做？主要是估計主項與余項

　　在張益唐之前，有一篇8年前發表的論文，是最接近要證明的孿生素數猜想的。這篇論文就是美國人Glodston 、匈牙利人Pintz以及土耳其人Yidirim三位數學家完成的，按照作者個人名字的首字母，簡稱為GPY論文。該論文雖然看上去非常接近「孿生素數猜想」，但仍然不能證明存在一對素數，其間隔總小於某一特定的有限值。

　　後來，美國數學研究所的召集了世界上所有的相關的數學家對這一問題進行評估，最後的評估結論就是：這個問題沒有辦法解決。

　　張益唐後來說：「GPY論文非常複雜，技術性很強，但對我來講看懂這個論文不太困難，因為我在這方面的訓練還是夠的。解析數論，歸結到最後，往往是你去算一個很複雜的求和，而算這個東西呢，你不可能精確得算出來它等於多少。算出來的結果往往有兩部分，一部分是主項，另外一部分是余項（或者叫誤差項），往往計算的結果是涉及到這兩個方面。」

　　在解析數論中，因為素數分布的極不規則，往往要做兩部分證明，首先要證明主項是正的，然後要證明誤差項取了絕對值以後不能超過主項。

　　張益唐打了一個比方，他說2015年是愛因斯坦廣義相對論100周年，第一次世界大戰以後愛丁頓等物理學家去非洲與巴西通過日全食來檢測光線在引力場中的偏折。他看霍金的《時間簡史》里介紹，這個測光線偏折的物理實驗中誤差比較大。這用數論的語言來說就是余項差不多跟主項一樣大了。物理試驗有這樣大的誤差， 但在數論研究中，就要比這種物理試驗更嚴格。

張益唐做了什麼研究工作

　　張益唐1992年畢業於美國普渡大學，獲得博士學位，但他並沒有進入一個好的大學取得教職，而是在江湖上流浪了8年，後來在朋友的介紹下，他才在美國一個普通大學取得了數學講師的資格。張益唐研究的其中一個學術問題通常被稱為「素數間隔」（bound gaps）。在素數中，指差為2的素數對（p和p+2同為素數）又稱為孿生素數，比如（3，5）、（5，7）、（11，13）、（17，19）等。隨著數字變大，人們可以觀察到的孿生素數越來越少。

　　再過了10多年，一直到2013年5月，在數學江湖上名不見經傳的張益唐突然在權威學術刊物《數學年刊》發表了一篇題為 「Bounded Gaps Between Prime Numbers」（《素數間的有限間隔》）的文章。

　　在這篇文章中，他證明了孿生素數猜想的一個弱化形式：在不依賴未經證明推論（比如黎曼猜想）的前提下，發現存在無窮多差小於7000萬的素數對，從而在孿生素數猜想這個此前沒有數學家能實質推動的著名問題的道路上邁出了革命性的一大步。他的論文一經發表，立馬引起數學界與新聞界的巨大轟動。加州大學伯克利分校數學教授愛德華·弗倫克爾稱他的證明蘊含著「文藝復興的美感」。

　　從此，張益唐突然躋身世界一流數學家的行列，而且在最近的世界數學家大會上做1小時的邀請報告。

陳景潤之後的又一個華人解析數論學家

　　中國曾經是一個解析數論的大國。

　　30多年前的1978年，這是科學的春天。 1978年3月，中共中央、國務院在北京隆重召開了為期13天的全國科學大會。全國科學大會在人民大會堂舉行閉幕式和授獎儀式。大會閉幕前，宣讀了中國科學院院長郭沫若的書面講話《科學的春天》。在這一特定的歷史時期，徐遲的報告文學作品《哥德巴赫猜想》把數學家陳景潤塑造成為一個家喻戶曉的數學家。

　　那麼，如果要問，三十多年以後，誰是華人數學家中又一個取得「陳景潤」般數學成就的解析數論學家，答案可能是唯一的，那就是「張益唐」。

來源：蝌蚪五線譜