四年級奧數課堂(2)

乘法的簡便計算

靈活、合理地應用乘法的結合律、交換律、分配律在四則運算中進行簡便計算，是我們小學生必須掌握的基本技能。做到這一點，既能提高運算速度，還能提高運算的準確性。

例1簡算9999×9999。

例272×108+108×46-（118×142-118×134）

例373×64+27×65

例4用簡便方法計算：

　　125×24

例5不要算出結果，比較下面兩個積的大小。

　　A=987654321×123456789

　　B=987654322×123456788

1．用簡便方法計算

　　（1）51×391÷17

　　（2）45×204-45×4

　　（3）1111111111×9999999999

　　（4）（125×74+125×26）×8

　　2．勝利村共有村民2308人，1992年1月至6月人均收入為804元，人均存款是189元，求該村平均每月總收入及半年存款數

2．想一想，在括弧內填上合適的數。

（1）12345679×9=111111111

12345679×18=（）

12345679×（）=444444444

12345679×（）=555555555

（2）11×11=121

111×111=12321

1111×1111=（）

11111×11111=（）

3．（1）觀察下面二道算式的因數有什麼特點？計算方法是怎樣的？

①76×74=5624②39×31=1209

（2）根據上面的計算方法直接寫出下面各題的得數。

43×47=84×86= 51×59=95×95=

不完整的算式填補等式

乘法中的巧算(二)

玩一玩：看誰最會拉！

34567×11＝？456789×11＝？

5。首同尾「補」的兩位數相乘一個兩位數的十位數叫做首數，也叫做頭；個位數在末尾我們叫它尾數，也叫尾。如：「58」和「52」這兩個數的首位

數相同，我們稱首同，尾數之和是「10」也叫做尾數互為補數就是尾「補」，這樣的兩個數相乘我們的巧妙方法是：一個首數加「1」後，頭×頭，尾×尾，兩數相連就是他們的積比如：58×52一個首數5＋1＝6，頭×頭＝5×6＝30，尾×尾＝8×2＝1630和16寫在一起，答案就是：3016再來玩玩吧：31×39算3×4＝121×9＝9因為9小於10，所以「12」和「9」相聯時，在「9」的前面要添一個「0」，結果就是1209孩子們會玩了嗎？

請孩子們自己玩一玩吧：老師相信你比爸爸媽媽都會玩！加油哦

63×67＝？74×76＝？

6。尾同首「補」的兩位數相乘就是尾巴相同，首數之和是「10」

方法是：頭×頭＋尾，與尾×尾連起來。例如：72×32頭×頭＋尾是7×3＋2＝23尾×尾是2×2＝4友情提醒：因為4小於10，所以23與4相連時，記得要在「4」前面補一個「0"哦。答案是：2304

你會玩了嗎？

玩一玩：但別混淆了哦！

68×48＝？46×66＝？

7.兩數的乘積是整十、整百、整千的，要先乘.為此，要牢記下面這三個特殊的等式：5×2=10　　25×4=100　　125×8=1000試一試：你打算怎樣算：351×4×25

誰的眼力好！

125×2×8×25×5×4125×2×8×34×25×5×4

他的朋友到哪裡去了？幫幫忙吧

32×25＝

125×5×16

8.仔細觀察，怎樣算最快

865×34＋865×66

再仔細哦

39×12+39×35＋39×52+39

乘法的簡便計算

靈活、合理地應用乘法的結合律、交換律、分配律在四則運算中進行簡便計算，是我們小學生必須掌握的基本技能。做到這一點，既能提高運算速度，還能提高運算的準確性。

例1簡算9999×9999。

例272×108+108×46-（118×142-118×134）

例373×64+27×65

例4用簡便方法計算：

　　125×24

例5不要算出結果，比較下面兩個積的大小。

　　A=987654321×123456789

　　B=987654322×123456788

1．用簡便方法計算

　　（1）51×391÷17

　　（2）45×204-45×4

　　（3）1111111111×9999999999

　　（4）（125×74+125×26）×8

　　2．勝利村共有村民2308人，1992年1月至6月人均收入為804元，人均存款是189元，求該村平均每月總收入及半年存款數

2．想一想，在括弧內填上合適的數。

（1）12345679×9=111111111

12345679×18=（）

12345679×（）=444444444

12345679×（）=555555555

（2）11×11=121

111×111=12321

1111×1111=（）

11111×11111=（）

3．（1）觀察下面二道算式的因數有什麼特點？計算方法是怎樣的？

①76×74=5624②39×31=1209

（2）根據上面的計算方法直接寫出下面各題的得數。

43×47=84×86= 51×59=95×95=

不完整的算式填補等式

乘法中的巧算(二)

玩一玩：看誰最會拉！

34567×11＝？456789×11＝？

5。首同尾「補」的兩位數相乘一個兩位數的十位數叫做首數，也叫做頭；個位數在末尾我們叫它尾數，也叫尾。如：「58」和「52」這兩個數的首位

數相同，我們稱首同，尾數之和是「10」也叫做尾數互為補數就是尾「補」，這樣的兩個數相乘我們的巧妙方法是：一個首數加「1」後，頭×頭，尾×尾，兩數相連就是他們的積比如：58×52一個首數5＋1＝6，頭×頭＝5×6＝30，尾×尾＝8×2＝1630和16寫在一起，答案就是：3016再來玩玩吧：31×39算3×4＝121×9＝9因為9小於10，所以「12」和「9」相聯時，在「9」的前面要添一個「0」，結果就是1209孩子們會玩了嗎？

請孩子們自己玩一玩吧：老師相信你比爸爸媽媽都會玩！加油哦

63×67＝？74×76＝？

6。尾同首「補」的兩位數相乘就是尾巴相同，首數之和是「10」

方法是：頭×頭＋尾，與尾×尾連起來。例如：72×32頭×頭＋尾是7×3＋2＝23尾×尾是2×2＝4友情提醒：因為4小於10，所以23與4相連時，記得要在「4」前面補一個「0"哦。答案是：2304

你會玩了嗎？

玩一玩：但別混淆了哦！

68×48＝？46×66＝？

7.兩數的乘積是整十、整百、整千的，要先乘.為此，要牢記下面這三個特殊的等式：5×2=10　　25×4=100　　125×8=1000試一試：你打算怎樣算：351×4×25

誰的眼力好！

125×2×8×25×5×4125×2×8×34×25×5×4

他的朋友到哪裡去了？幫幫忙吧

32×25＝

125×5×16

8.仔細觀察，怎樣算最快

865×34＋865×66

再仔細哦

39×12+39×35＋39×52+39

四則混合運算

例1120-（81+380÷19）

例228與4的積，減去35除以5的商，差是幾？

例3列式並計算

　　（1）36除1728，再減去28，差是多少？

　　（2）1728除以36，再減去28，求差。

　　（3）1728縮小36倍後比28多多少？

　　（4）28比1728除以36的商小几？

　　（5）把1728縮小36倍後再減去28，差是多少？

例4在下面的算式中添上運算符號或括弧，使它們的得數都等於100。其中，每一式子中的數字3，可以任意組成多位數，如33，333，……

　　333333=100

　　3333333=100

　　33333333=100

　　333333333=100

　　3333333333=100

（1）36除1728，再減去28，差是多少？

1728÷36－28＝20

　　（2）1728除以36，再減去28，求差。

1728÷36－28＝20

　　（3）1728縮小36倍後比28多多少？

1728÷36－28＝20

　　（4）28比1728除以36的商小几？

1728÷36－28＝20

　　（5）把1728縮小36倍後再減去28，差是多少？

1728÷36－28＝20

在下面的算式中添上運算符號或括弧，使它們的得數都等於100。其中，每一式子中的數字3，可以任意組成多位數，如33，333，……

　　333333=100

　　3333333=100

33×3÷3×3+3÷3＝100

　　33333333=100

3333÷33－3÷3=100

　　333333333=100

33×3÷3×3×3÷3+3÷3＝100

　　3333333333=100

3333÷33－33÷33=100

年齡問題

是一類與計算有關的問題，它通常以和倍，差倍或和差等問題的形式出現，有些年齡問題往往是和，差，倍數等問題的綜合，需的加以解決。

解答年齡問題，要靈活運用一下三個規律：

1.無論是哪一年，兩人的年齡差總是不變的。

2.隨著時間的向前或向後推移，幾個人的年齡總是在減少或增加相等的數量。

3.隨著時間的變化，兩人年齡之間的倍數關係也會發生變化。 例1.爸爸今年43歲，兒子今年11歲，幾年後爸爸的年齡是兒子的3倍？

例2.媽媽今年的年齡是小紅的4倍，3年前媽媽和小紅的年齡和是39歲。媽媽和小紅今年各幾歲？

例3.今年小紅的年齡是小梅的5倍，3年後小紅的年齡是小梅的2倍，二人今年各幾歲？

例4甜甜的爸爸今年28歲，媽媽26歲，再過幾年她的爸爸和媽**年齡和是80歲？

例5小雨一家由小雨和她的爸媽組成。爸爸比媽媽大3歲。今年全家年齡總和是71歲，8年前年齡總和是49歲，今年3人各幾歲？

線段長度的總和

一條大線段上有若干點，而任意兩個點之間都可以認為存在著一條線段，掌握了規律就很容易計算出所含線段的總數。

　如一條線段包括兩個端點在內共有6個點，則包含的線段條數可如下計算：

　　5+4＋3＋2＋1＝（5＋1）×5＋2＝15（條）

　　假如這6個點之間相鄰兩點的距離都知道，能不能方便地計算這15條線段的長度總和呢？

例1求下圖中的所有線段長度的總和。單位：米

例2一條大線段包括兩個端點在內共有21個點，它包含多少條線段？且知相鄰兩點距離都是4厘米，

那麼所有線段長度總和有多少？

例3下圖中有多少條線段？線段長度總和為多少？圖中線段上相鄰兩點都相距5厘米。

1．下圖中的線段長度總和是多少？單位：厘米

2．一條大線段上有9個點（包括兩頭的端點），相鄰兩點距離都是10厘米。它包含多少條線段？所有線段長度總和有多少？

3.圖7－5中，每條線段上相鄰兩點之距離都是8厘米。求各圖中所有線段長度總和。

　4．求下圖中包含的各個角的角度總和。

數長方形

例1下圖中包含多少個長方形？

例2下圖中有多少個長方形？其中有多少個是正方形？

例3下圖中有多少個長方形？

4圖8－4中有多少個長方形？其中有多少個是正方形？

練習： 1．圖8－5兩個圖中各有多少個長方形？

位值原則

例一一個兩位數，它的兩個數字掉換位置以後得到一個新的數，請問這兩個數的差與數中的兩個數字有什麼關係？

例二一個三位數，它的百位數字與個位掉換位置以後得到一個新的數，請問這兩個三位數數的差與數中掉換的兩個數字有什麼關係？

例三一個三位數，各位上數字的和為15，百位上的數字比個位上的數字小5；如果把個位和百位數字對調，那麼得到的新數比原數的3倍小39。求原來的這個三位數

例四一個三位數的個位上是2，如果把這個數的個位上與百位上數字調換，原數就比新數的2倍多52。求這個數。

練習

　1．有一個六位數，它的個位上數字是6，如果將6移至第一位前面時，所得到的新的六位數是原數的4倍，那麼這個六位數是多少？

2．一個三位數，個位上數字是4，如果將這個數的個位上數字與百位上數字調換，則得到的新數比原數小297，原數是多少？

　　3．一個三位數，個位上數字是5，如果將個位上數字移作百位上數字，百位上數字移作十位上數字，十位上數字移作個位上數字，那麼所成的新數比原數大342。原數是多少？

　　4．一個兩位數，十位上的數字是個位上數字的2倍，如果把個位上數字與十位上的數字對調，那麼，所得的兩位數比原來的兩位數小36，原來的兩位數是多少？

　　5．一個三位數，十位上的數字比百位上的數字大2，個位上的數字比百位上的數字大5，這個數在450至500之間。這個數是多少？

四年級上學期奧數班測試題（歸一、歸總、年齡、盈虧問題）

1、某校安排宿舍，如果每間6人，則16人沒有床位；如果每間8人，則多出10個床位。問宿舍有多少間？學生有多少人？（10分）

2、小明今年10歲，父親38歲，再過多少年後父親的年齡正好是小明年齡的3倍？（12分）

3、修一條公路，原計劃60人工作，80天完成。現在工作20天後，又增加了30人這樣剩下的部分再用多少天可以完成？（14分）

4、媽媽今年的年齡是女兒的4倍，3年前，媽媽和女兒的年齡和是39歲。問媽媽、女兒今年各是多少歲？（12分）

5、用繩子測量井深。如果把繩子三折垂到水面，餘7米；如果把繩子5折垂到水面，餘1米。求繩長與井深。（12分）

6、修一條路，5人6天可以鋪300米，照這樣的速度，120人40天才能全部修完。由於工作需要，調走了20人，而每天每人要多鋪5米，這樣全程可提前幾天修完？（14分）

7、小紅家買來一籃橘子，分給全家人。如果其中兩人每人分3隻，其餘每人分2隻，就多出4隻；如果一人分6隻，其餘每人分4隻，那麼缺14隻。問：小紅家買來多少只橘子？小紅家共有幾人？（14分）

8、有甲、乙兩隊少先隊員去春遊，甲隊人數是乙隊人數的2倍。從甲隊調出10人到乙隊後，甲隊仍比乙隊多5人。甲隊原有多少人？（提示：畫線段圖分析）（12分）

數的數字和

書本的頁碼

巧算面積（四年級）

巧解算式謎

算式謎是一類有趣的數學問題，解決這類問題的關鍵在於靈活運用我們學過的運演算法則，適當地進行推理和判斷。下面結合教材中的幾個例題和同學們談一談如何巧妙地解答這類問題。

　　例1.在□里填上合適的數字。（九義六年制小學數學第七冊106頁）

加法原理的簡單應用

從甲城到乙城，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以坐輪船，一天中火車有4班，汽車有3班，輪船有2班。那麼一天中乘坐這些交通工具從甲城到乙城，共有多少種不同的走法？

　　分析：我們把乘坐不同班次的火車、汽車、輪船稱為不同的走法。一天中乘火車有4種走法，乘汽車有3種走法，乘輪船有2種走法。每種走法都可以從甲城到乙城，所以一天中從甲城到乙城只有4＋3＋2=9（種）不同走法。

　　總結以上規律得到加法原理：如果完成一件任務有幾類辦法，在第一類辦法中有m1種不同方法，在第二類辦法中有m2種不同方法……，在第n類辦法中有mn種不同方法。那麼完成這件任務共有N＝m1＋m2＋m3＋……＋mn種不同的方法。

　　再看下面兩例：

例1一個口袋中裝有8個小球，另一個口袋中裝有5個小球，所有這些小球的顏色各不相同。從兩個口袋中任取一個小球，共有多少種不同的取法？

分析：在兩個口袋中任取一個小球有兩類辦法，第一類辦法是從裝有8個小球的口袋中任取一個，可以有8種取法。第二類辦法是從裝有5個小球的口袋中任取一個，可以有5種取法。根據加法原理，得到不同取法的種數是N=5＋4=9（種）

　　答：從兩個口袋中任取一個小球可以有9種不同的取法。

例2如圖從甲村到乙村有2條路可走，從乙村到丙村有3條路可走， 從甲村到丙村有4條路可走，問甲村到丙村共有多少種不同的走法？

分析：從甲村到丙村可按兩類辦法完成，第一類辦法是從甲村經過乙村到達丙村，這類辦法是分兩個步驟進行的：第一步從甲村到乙村有2種走法；第二步由乙村到丙村有3種走法，這兩步缺一不可，根據乘法原理，這類辦法中共有2×3＝6（種）走法。第二類辦法是從甲村直接到達丙村，有4種走法，於是根據加法原理得到從甲村到達丙村的不同走法的種數是N＝2×3＋4＝10（種）。

　　答：從甲村到達丙村共有10種不同的走法。

練習：

　　1.書架上有6種不同的語文書、5本不同的數學書，8種不同的故事書，從這三種書中任選一本，共有多少種不同的取法？

　　2.用0、1、2、3四個數字，可以組成多少個能被3整除的沒有重複數字的三位數？（參考答案：1.19種 2.10個）

合理分類正確解題

在數學問題中有一類被稱作「數字問題」的題目，與同學們在書本上學到的一些數學問題相比，似乎「不太規則」，有的數學課外參考書稱它為「雜類問題」。解答這類題目要求同學們要認真審題，悉心研究題意，關鍵是做到合理分類，這樣才能正確解題。

　　例1在1～1999內，是3的倍數，不是5的倍數的數一共有多少個？為什麼？　　

　　[分析與解]這道題要求3的倍數有多少個，但有兩個條件限制：（1）規定在1～1999內；（2）只是3的倍數，但不是5的倍數。比如：3×5=15，15是3的倍數，但它同時又是5的倍數，不符合題目要求，所以在1999內，15以及15的倍數都不能算進去。這樣在1～1999內就把3的倍數分為兩類：一類是3的所有倍數；一類是15以及15的倍數。然後從3的所有倍數的個數中減去15以及15的倍數的個數，即為題目所求的問題。有三種解法：

　　解法（一）在1～1999內3的倍數共有：1999÷3=666……1。餘1，不到3的1倍，可以不考慮。在1～1999內15的倍數共有：1999÷15=133……4。餘4，不到15的1倍，也不考慮。兩者相減，便是所求的問題：666-133=533（個）。

　　解法（二）在1～1999內3的倍數共有666個，那麼，666中又包含多少個5的倍數呢？666÷5=133……1。餘1，比5小，可以不考慮。兩者相減，便是所求的問題：666-133=533（個）。

　　解法（三）把數字分段來考慮：比如在1～30中，3的倍數有10個，但要去掉同時能被3、5整除的數2個，還剩10-2=8（個）。1999÷30=66……19。餘數19，19÷3=6……1。餘數1比3小，不考慮，但要注意，在最後的6個3的倍數中，有一個是5的倍數（1995），應去掉。每段8個，共有：8×66+（6-1）=533（個）。

　　例243位同學，他們身上帶的錢從8分到5角，錢數都各不相同，每個同學都把身上帶的全部錢各自買了畫片，畫片只有兩種，3分一張和5分一張，每人都盡量多買5分一張的畫片。問所買的3分畫片的總數是多少張？

　　[分析與解]先來分析一下題目的要求：

　　（1）從8分到5角就是以「分」為單位，從8到50的43個連續自然數，這正好與43個同學一一對應。

　　（2）每個同學都把身上帶的全部錢各自買畫片，就是每人都不許有餘錢。

　　（3）每人既要把錢花光，又要盡量多買5分一張的畫片。

　　我們把錢數是5的倍數（0、15、20、25、30、35、40、45、50）的九個人分為一類。他們不能買3分一張的畫片。

　　錢數被5除餘3分（8、13、18、23、28、33、38、43、48）的九個人分為另一類。他們可以買1張3分的畫片，9人共買9張。

　　錢數被5除餘1分（11、16、21、26、31、36、41、46）的八個人分為第三類。因為他們身上所余的錢數不是3的倍數，只好退下一個5分與餘數1分合成6分，這樣每人可以買2張3分畫片，8人共買：2×8=16（張）。

　　用同樣的方法，把錢數被5除餘2分的8個人再分為一類，每人可買3分畫片4張，共買：4×8=32（張）。

　　把錢數被5除餘4分的9個人也分為一類，他們每人可買3分畫片3張，共買：3×9=27（張）。

　　因此，他們所買3分畫片的總數共是：

　　9+16+32+27=84（張）。

簡單的倍數問題

小朋友們，你見過關於倍數的問題嗎？那麼，你知道什麼是倍數問題嗎？倍數問題是指已知一個數或者幾個數的和（差）及相互之間的倍數關係，求其中一個數或者幾個數的問題。它包括求1倍數或幾倍數問題、和倍問題、差倍問題等。現在我們就來學習這三類比較簡單的倍數問題。

典型例題

一、 求1倍數或幾倍數

例【1】 果園有蘋果樹1200棵，梨樹的棵數比蘋果樹的2倍多80棵。梨樹有多少棵？

分析根據題意，可以畫出線段圖：

由「梨樹的棵數比蘋果樹的2倍多80棵」可知：蘋果樹的棵數是1倍數（1200棵），梨樹的棵數比蘋果樹的2倍多80棵，先求出蘋果樹棵數的2倍（1200棵×2＝2400棵），再求比它多80棵的數。

解 1200×2＋80

＝2400＋80

＝2480（棵）

答：梨樹有2480棵。

例【2】 果園有梨樹2480棵，梨樹的棵數比蘋果樹的2倍多80棵。蘋果樹有多少棵？

分析根據題意，可以畫出線段圖：

由「梨樹的棵數比蘋果樹的2倍多80棵」可知，蘋果樹的棵數是1倍數，梨樹是2480棵，減去多的80棵，正好是蘋果樹棵數的2倍。求1倍數用除法，由此可以求出蘋果樹的棵數。

解 （2480－80）÷2

＝2400÷2

＝1200（棵）

答：蘋果樹有1200棵。

小結 解答求1倍數或幾倍數的問題時，特別要注意分清是屬於求幾倍數的題，還是求1倍數的題。求幾倍多幾或幾倍少的量，都要先求出幾倍數，然後再加或減，即先乘再加或減。反之，已知幾倍多幾或幾倍少幾的量，而求1倍數，應先減或加，求出幾倍的對應量，再除以倍數。

二、 和倍問題

例【3】 學校圖書館有科技書和文藝書共2400本，文藝書的本數是科技書的4倍。兩種書各有多少本？

分析根據題意，可以畫出下麵線段圖：

從圖中可以看出，把科技書的本數作為1倍數，文藝書的本數就是它的4倍，那麼2400本就相當於科技書本數的（1＋4）倍，由此可以先求出科技書的本數，然後再求出文藝書的本數。

解 科技書的本數：

2400÷（1＋4）

＝2400÷5

＝480（本）

文藝書的本數：

480×4＝1920（本）

或2500－480＝1920（本）

以上解答對不對呢？可以檢驗嗎？

檢驗：1920＋480＝2400（本）……和

1920÷480＝4……倍數

答：科技書有480本，文藝書有1920本。

例【4】 體育室有足球和籃球共76隻，足球的只數比籃球的3倍還多4隻，足球和籃球各有多少只？

分析把籃球的只數看作1份，那麼足球的只數就相當於籃球的3份還多4隻。足球和籃球共76隻，可以看作籃球的4份就是76－4＝72（只），這樣籃球的只數是;

（76－4）÷（3＋1）＝18（只）

足球的只數有兩種方法求得：

一種方法是知道足球和籃球共76隻，籃球18隻。可求出足球的只數：76－18＝58（只）

另一種方法是知道足球的只數比籃球的3倍多4隻，籃球18隻，可求出足球的只數：18×3＋4＝58（只）

例【5】 兩箱雞蛋共重72千克，如果從第一箱取出13千克放入第二箱，那麼第二箱雞蛋的重量是第一箱的2倍。原來第一箱和第二箱各有雞蛋多少千克？

分析不管是從第一箱取出雞蛋放入第二箱，還是從第二箱取出雞蛋放入第一箱，兩箱雞蛋的總重量為72千克，當從第一箱取出13千克放入第二箱後，第二箱雞蛋的重量是第一箱的2倍時，第一箱雞蛋的重量是72÷（2＋1）＝24千克，原來第一箱雞蛋重量就是：72÷（2＋1）＋13＝37（千克）

原來第二箱雞蛋的重量就是：72－37＝35（千克）

小結「和倍問題」的特點是：已知兩個數的和與兩個數間的倍數關係，求兩個數各是多少。解答時，我們採用代換的思路，用1倍數去代替幾倍數，看和相當於1倍數的幾倍，即除以幾，先求出1倍數，然後再求出幾倍數。解題公式是：

和÷（倍數＋1）＝1倍數

1倍數×幾倍＝幾倍數

或 和－1倍數＝幾倍數