1. （Unstable） Homotopy groups

06-05

來自專欄關於Homotopy theory的一些碎碎念

題圖來自

Computational Topology

圖侵刪。(作者肯定不會跑來看的所以這句是廢話）

本專欄的Assumption是

1. 你知道什麼叫homology theory。不知道也沒關係，有問題請留言，看心情是否補充。（比如要是有人問什麼是Brown表示定理的話我還可以說一下，問什麼叫Eilenberg-MacLane space 就不管了）。

2. 作者看心情寫中文，不看心情的時候寫英文，抱怨沒有中文或者中英夾雜的請左轉出門，打賞投喂的讀者除外，你說怎麼寫我就怎麼寫。不服的來咬我。

1. Naive definition of homotopy groups

Def：對於一個正整數n，帶有選定的基點 $x_0$ 的拓撲空間X的第n個同倫群 $pi_n(X,x_0)$ ，是由從帶基點的n維球面 $(S^n,0)$ 到X的based continuous map在同倫下的等價類 $[S^n, X]$ 構成的。這裡based的含義是，這樣的映射應當能把0映射到 $x_0$ 。其中的每一個元素都代表了一組同倫（homotopic）的映射。

Remark:為了方便起見，我們假設0是球面赤道上的一個點。

這個定義看上去沒有那麼自然：為什麼我們用n維球面映射到X？為什麼映射的同倫類能構成一個群？就算它是群了，我們又能通過這些群知道什麼呢？

如果你能問出上面的問題中的某一個，說明你的數學感覺不錯。

對於群結構的描述，你可以在任何一本定義了homotopy group的書，或者下面Hatcher的chapter 4上找到，最基本的例子是大家都學過的基本群。對於高維的同倫群，群加法的一個圖像化的描述是這樣的：假設[f]和[g]都是 $pi_n(X,x_0)$ 中的元素，則我們如下定義[f+g]:考慮這麼一個映射，它把 $S^n$ 的赤道收縮到一個點上。然後讓上半個球面（其實現在已經是一個n維球面了）到X的映射是f，下半球面到X的映射是g，那麼你得到了一個新的 $S^n$ 到X的based映射。

Exercise：求逆映射的表達式。

至於為什麼是群，Hatcher上有個畫圖的解釋，這裡就不贅述了。這裡有一個完全形式或者抽象的說法： $S^n$ 是所謂的cogroup object，有學代數幾何的同學可以和group object的觀點對比一下。

為什麼我要強調based map呢？因為群的結構需要有based map才能用一種自然的方式定義。有興趣的圍觀群眾可以試試，反正我是不會。

2.Homotopy lifting-extension properties

Ref：Homotopy lifting property

Def: Given a pair of spaces ${displaystyle Xsupseteq Y}$ . Set ${displaystyle Tcolon =(X imes {0})cup (Y imes [0,1]) subseteq X imes [0,1]}$

Given additionally a map ${displaystyle pi colon E o B,}$

, one says that ${displaystyle (X,Y,pi ),}$

has the homotopy lifting extension property if for any homotopy ${displaystyle fcolon X imes [0,1] o B,}$

, and for any lifting ${displaystyle { ilde {g}}colon T o E}$ of ${displaystyle g=f|_{T},}$ ,

there exists a homotopy ${displaystyle { ilde {f}}colon X imes [0,1] o E}$ such that ${displaystyle pi { ilde {f}}=f,}$ , and extends ${displaystyle { ilde {g}},}$

(i.e., such that ${displaystyle { ilde {f}}|_{T}={ ilde {g}},}$ ).

The homotopy lifting property of $displaystyle (X,pi ),$ is obtained by taking ${displaystyle Y=emptyset }$ , so that ${displaystyle T,}$ above is simply ${displaystyle X imes {0}}$ .

The homotopy extension property of ${displaystyle (X,Y),}$ is obtained by taking ${displaystyle pi ,}$ to be a constant map, so that ${displaystyle pi ,}$ is irrelevant in that every map to $E$ is trivially the lift of a constant map to the image point of ${displaystyle pi ,}$ .

這段全是抄wiki的。因為我實在懶得用tikz畫交換圖了。。。

在最早的homotopy theory裡面，homotopy lifting 和homotopy extension是分開的兩個性質，但是後來發現有統一的表達式。

這兩個property看上去似乎很奇怪，但在之後的代數拓撲裡面起的作用是很重要的。比如Obstruction theory就是關於map有extension property的條件的，而更廣泛的意義下的obstruction如果能被證明不存在（如Goerss-Hopkins-Miller theorem)則我們會有很好的性質。（這段跑火車了……請多指正）。extension是把映射的source從小的空間extend到大的空間上，而lifting則是把image提升到大的空間上。

如果你學過同調代數，你會發現裡面有injective module 和projective module，這兩種module分別是關於lifting和extension的。這裡的lifting 和extension當然和上面我們說的homotopy lifting/extension是不一樣的，僅僅提出做個類比。

在代數拓撲中，我們用的更多的是homotopy lifting property。

3.fibration and cofibration

Def：如果映射 ${displaystyle pi colon E o B,}$ 對所有 $f：X o B$ 都具有homotopy lifting property，即可以找到一個 $X imes I$ 到 $E$ 的映射，並且滿足交換圖